统考版2025届高考数学二轮专题闯关导练一客观题专练解析几何13文含解析

PAGE解析几何(13)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2024·河南八市联盟测试]抛物线y＝eq\f(1,4)x2的准线方程为()A．y＝－1B．y＝1C．x＝－1D．x＝－eq\f(1,16)2．[2024·济南市高考模拟试题]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝13．[2024·开封市高三模拟试题]关于渐近线方程为x±y＝0的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等②离心率是eq\r(2)③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等④顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离比值为eq\r(2).其中全部正确结论的编号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④4．[2024·惠州市高三第一次调研考试试题]若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是()A．6B．8C．9D．105．[2024·合肥市高三调研性检测]已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝16．[2024·惠州市高三第一次调研考试试题]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3的公共点的个数为()A．1B．2C．4D．07．[2024·武汉市中学毕业生调研]曲线C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线C2：eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(0＜k＜9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等8．[2024·大同市高三学情调研测试试题]已知双曲线eq\f(y2,m2)－eq\f(x2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x，则此双曲线的离心率为()A.eq\f(13,4)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\f(\r(13),3)D.eq\f(\r(13),4)9．[2024·湖北鄂州调研]过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率为eq\r(3)的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝()A．2B．1C.eq\r(3)D．410．[2024·大同市高三学情调研测试试题]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2)，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,18)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,10)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝111．[2024·北京朝阳区检测]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝()A．1B．13C．17D．1或1312．[2024·河南省豫北名校高三质量考评]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)虚轴的上端点为B，垂直于x轴的直线l与双曲线C交于P，Q两点，若四边形OBPQ为平行四边形(O为坐标原点)，且直线OP的倾斜角为θ，θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(3)]B．(eq\r(3)，eq\r(6)]C．(2，eq\r(6)]D．(eq\r(6)，4]二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2024·四川成都一诊]已知双曲线C：x2－y2＝1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为________．14．[2024·湖南省长沙市高三调研试题]设椭圆C：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,48)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点Q在椭圆C上，且满意|QF1|＝eq\f(2,3)|QF2|，则△QF1F2的面积为________．15．[2024·河北六校模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的方程为____________．16．[2024·石家庄市重点中学高三毕业班摸底考试]已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若|BD|＝|DF1|，则椭圆C的离心率为________．解析几何(13)1．答案：A解析：抛物线y＝eq\f(1,4)x2的标准方程为x2＝4y，所以抛物线y＝eq\f(1,4)x2的准线方程为y＝－1.故选A.2．答案：B解析：由题意知2a＝6,2c＝eq\f(1,3)×6，所以a＝3，c＝1，则b＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以此椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.故选B.3．答案：C解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故此双曲线为等轴双曲线，即a＝b，c＝eq\r(2)a，则离心率e＝eq\r(2)，故①②均正确．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×eq\f(b2,a)＝2a，故等于实轴长，③正确．不妨取一个顶点(a,0)，其到渐近线x±y＝0的距离d1＝eq\f(a,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)a，焦点到渐近线的距离d2＝b，又a＝b，所以eq\f(d1,d2)＝eq\f(\r(2),2)，故④错误．综上可知，正确结论的编号为①②③，故选C.4．答案：C解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M的横坐标xM＝9，即点M到y轴的距离是9，故选C.5．答案：D解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝eq\r(2)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1；当焦点在y轴上时，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝2eq\r(2)，所以双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.综上所述，该双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1，故选D.6．答案：B解析：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x.由离心率e＝eq\f(c,a)＝2得eq\f(c2,a2)＝4，即eq\f(a2＋b2,a2)＝4，得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以一条渐近线的方程为y＝eq\r(3)x.联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x,x－22＋y2＝3))，消去y整理得4x2－4x＋1＝0，因为Δ＝16－4×4＝0，所以渐近线y＝eq\r(3)x与圆(x－2)2＋y2＝3只有一个公共点．由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3的公共点的个数为2，选B.7．答案：D解析：因为0＜k＜9，所以25－k＞9－k＞0，所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a2，短半轴长为b2，半焦距为c2，则ceq\o\al(2,2)＝aeq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)＝25－k－(9－k)＝16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c1，则ceq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝25－9＝16，所以曲线C1和曲线C2的焦距相等，故选D.8．答案：B解析：由题意可知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(m,n)x＝±eq\f(2,3)x，即eq\f(n,m)＝eq\f(3,2)，所以e2＝1＋eq\f(n2,m2)＝eq\f(13,4)，故e＝eq\f(\r(13),2)，故选B.9．答案：A解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝eq\f(π,3)，|AF|＝4，∴|BF|＝eq\f(1,2)|AF|＝2，则xA＝2＋eq\f(p,2)，∴|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝2＋p＝4，得p＝2，故选A.10．答案：D解析：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由e2＝eq\f(c2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，得a2＝2b2，依据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a，所以4a＝16，即a＝4，a2＝16，b2＝8，则椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.故选D.11．答案：B解析：由题意，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得eq\f(4,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13，故选B.12．答案：D解析：由题意知P，Q两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，且|PQ|＝|OB|＝b.易得点P位于第一象限，则可设P(m，eq\f(b,2))，m>0，将点P的坐标代入双曲线方程，得m＝eq\f(\r(5),2)a，则P(eq\f(\r(5),2)a，eq\f(b,2))，所以直线OP的斜率k＝tanθ＝eq\f(\f(b,2),\f(\r(5),2)a)＝eq\f(b,\r(5)a).因为θ∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，所以1<tanθ≤eq\r(3)，即1<eq\f(b,\r(5)a)≤eq\r(3)，得eq\r(5)<eq\f(b,a)≤eq\r(15)，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)∈(eq\r(6)，4]，故选D.13．答案：1解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为x±y＝0，右焦点F(eq\r(2)，0)，所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为eq\f(|\r(2)|,\r(12＋12))＝1.14．答案：48解析：因为|QF1|＝eq\f(2,3)|QF2|，|QF1|＋|QF2|＝20，所以|QF1|＝8，|QF2|＝12.又|F1F2|2＝4×(100－48)＝208，所以|QF1|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，所以△QF1F2是直角三角形，所以S△QF1F2＝eq\f(1,2)×|QF1|×|QF2|＝eq\f(1,2)×8×12＝48.15．答案：y2＝16x解析：设圆的圆心为M(xM，yM)．依据题意可知圆心M在抛物线C上．又圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝6，即xM＝6－eq\f(p,2)，又由题意可知xM＝eq\f(p,4)，∴eq\f(p,4)＝6－eq\f(p,2)，解得p＝8.∴抛物线C的方程为y2＝16x.16．答案：eq\f(\r(3),3)解析：如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq\f(a,