2025届高考数学二轮复习第一部分第3讲专题训练3平面向量和复数含解析新人教版

PAGE第一部分第3讲专题训练三平面对量和复数一、选择题1．(2024·兰州二诊)复数z＝(1＋i)2，则|z|＝(C)A．0 B．1C．2 D．3【解析】由题得z＝2i，所以|z|＝2．故选C．2．(2024·长春期末)(2＋eq\r(2)i)(1－eq\r(2)i)＝(A)A．4－eq\r(2)i B．－eq\r(2)iC．4＋eq\r(2)i D．eq\r(2)i【解析】由题意，依据复数的运算(2＋eq\r(2)i)(1－eq\r(2)i)＝2＋2－eq\r(2)i＝4－eq\r(2)i.故选A．3．(2024·北京房山区期末)已知复数z＝eq\f(i,\r(2)＋i)，则z的虚部为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(\r(2),3)【解析】z＝eq\f(i,\r(2)＋i)＝eq\f(\r(2)－ii,\r(2)＋i\r(2)－i)＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2)i,3)，故z的虚部为eq\f(\r(2),3)，故选B．4．(2024·陕西西安高三月考)已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a＋(1－a)i的共轭复数eq\x\to(z)在复平面内对应的点位于第三象限，且z·eq\x\to(z)＝5，则z＝(A)A．－1＋2i B．－1－2iC．2－i D．－2＋3i【解析】由z·eq\x\to(z)＝5可得a2＋(1－a)2＝5，解得a＝－1或a＝2，所以z＝－1＋2i或z＝2－i，因为eq\x\to(z)在复平面内对应的点位于第三象限，所以z＝－1＋2i，故选A．5．(2024·辽宁省沈阳市一模)已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为eq\f(2π,3)，则|a－b|＝(D)A．eq\r(7) B．eq\r(6)C．eq\r(5) D．eq\r(3)【解析】∵a·b＝1×1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b∴|a－b|＝eq\r(3)，故选D．6．(2024·陕西省汉中市质检)已知平面对量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，且a∥b，则m＝(D)A．4 B．1C．－1 D．－4【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(2，m)，且a∥b，∴m＋4＝0，解得m＝－4．故选D．7．(2024·九师联盟质量检测)已知向量a＝(－1,2)，b＝(0,1)，若向量xa－b与a＋b垂直，则实数x的值为(B)A．eq\f(5,7) B．eq\f(3,7)C．－eq\f(1,7) D．－eq\f(2,7)【解析】由题意得：xa－b＝(－x,2x－1)，a＋b＝(－1,3)，∵xa－b与a＋b垂直，∴(xa－b)·(a＋b)＝x＋6x－3＝0，解得：x＝eq\f(3,7)，故选B．8．(2024·合肥质检)若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq\r(7)，则|b|＝(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(7),2)C．1 D．2【解析】因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos〈a，b〉，又〈a，b〉＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq\r(7)，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，即2|b|2＋|b|－3＝0，解得|b|＝－eq\f(3,2)(舍去)或|b|＝1．故选C．9．(2024·烟台二模)已知a，b均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))”是“|a－b|>1”的(B)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】因为|a－b|>1⇒(a－b)2>1⇒a2－2a·b＋b2>1⇒1－2×1×1×cosθ＋1>1⇒cosθ<eq\f(1,2)⇒θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，所以“θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))”是“|a－b|>1”的充分不必要条件．故选B．10．(2024·江西省红色七校第一次联考)在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，AB＝4，AC＝3，则eq\o(BC,\s\up6(→))在eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影是(D)A．4 B．3C．－4 D．－3【解析】依据平面对量的数量积可得eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，再结合图形求出eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影即可．如图所示：∵|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，又AB＝4，AC＝3，∴BC＝5．∴eq\o(BC,\s\up6(→))在eq\o(CA,\s\up6(→))方向上的投影是：|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－∠ACB)＝－|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos∠ACB＝－3，故选D．11．(2024·长春质监)已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为(A)A．1 B．2C．eq\r(5) D．3【解析】因为a＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a|＝eq\r(cosθ－22＋sin2θ)＝eq\r(1－4cosθ＋4)＝eq\r(5－4cosθ)，因为θ∈R，所以－1≤cosθ≤1，故|a|的最小值为eq\r(5－4)＝1．故选A．12．(2024·湖南师大附中其次次月考)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两个动点，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).若M是线段AB的中点，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值为(C)A．8＋4eq\r(3) B．8－4eq\r(3)C．12 D．4【解析】因为M是线段AB的中点，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，从而eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)\o(OA,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(OB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，由圆的方程可知圆O的半径为4，即|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4，又因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝60°，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝8，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)×16－eq\f(1,3)×16＋eq\f(1,2)×8＝8＋4＝12．二、填空题13．(2024·宁德质检)复数z＝eq\f(1＋2i,1－i)的实部为__－eq\f(1,2)__.【解析】复数z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，则复数z的实部为－eq\f(1,2).14．(2024·开封三模)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a∥b，则x＝__1__.【解析】由题得2x－(x＋1)＝0，所以x＝1．15．(2024·江苏省扬州市调研)梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝3DC＝3，若M为线段BC的中点，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值是__－eq\f(3,2)__.【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，得A(0,0)，B(3,0)，C(1,3)，D(0,3)，M(2，eq\f(3,2))则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2，eq\f(3,2))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－3,3)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))·(－3,3)＝2×(－3)＋eq\f(3,2)×3＝－eq\f(3,2).16．(2024·上海向明中学11月月考)已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.给出下列命题：①对随意z∈C，都有D(z)>0；②若eq\x\to(z)是z的共轭复数，则D(eq\x\to(z))＝D(z)恒成立；③若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2；④对随意z1，z2，z3∈C，D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立．则其中全部的真命题的序号是__②④__.【解析】对于①，当z＝0时，D(z)＝||0||＝|0|＋|0|＝0，命题①错误；对于②，eq\x\to(z)＝a－bi，则D(eq\x\to(z))＝||eq\x\to(z)||＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝||z||＝D(z)，命题②正确；对于③，若z1＝1＋i，z2＝1－i，满意D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，但z1≠z2，命题③错误；对于④，设z1＝m＋ni，z2＝c＋di，z3＝e＋fi，m，n，c，d，e，f∈R，则D(z1，z2)＝||z