第四章第一节　导数的概念及其意义导数的运算

第四章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算【课程标准】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.【考情分析】考点考法:高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题.核心素养:数学抽象、数学运算、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|x(2)函数y=f(x)的导函数2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为yf(x0)=f'(x0)(xx0).【微点拨】求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxf(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.导数的运算法则若f'(x),g'(x)存在,则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'[cf(x)]'=cf'(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【微点拨】在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13421.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率B.函数f(x)=sin(x)的导数f'(x)=cosxC.求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的【解析】选BCD.Bf(x)=sin(x)=sinx,则f'(x)=cosx.×C求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误.×D“在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率;而对于“过某点”的切线,则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程,在曲线上某点处的切线只有一条,但过某点的切线可以不止一条.×2.(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点(1,e2)A.y=e4x B.y=e2C.y=e4x+e4 D.y=e2【解析】选C.设曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为ye2因为y=ex所以y'=ex(x所以k=e4所以ye2=e4(所以曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y=e3.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'(π4)cosxsinx,则f'(π4)=1【解析】f'(x)=f'(π4)sinxcosx令x=π4,得f'(π4)=22f'(π解得f'(π4)=124.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为1e;b的值为1【解析】y'=aex+lnx+1,所以ae+1=2,【巧记结论·速算】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【即时练】1.已知函数f(x)满足以下三个条件:①f(x)的导函数f'(x)为奇函数;②f(0)≠0;③在区间[2,1]上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)=x2+1(答案不唯一).

【解析】由条件①知f(x)为偶函数,可设f(x)=ax2+c,因为f(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在区间[2,1]上单调递增,所以a<0,因此满足条件的一个解析式为f(x)=x2+1.2.(多选题)已知函数f(x)的图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是()A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2)C.f(3)f(2)>f'(3) D.f(3)f(2)<f'(2)【解析】选BCD.由题图可知,f'(2)>f'(3)>0,故A错误,B正确.设A(2,f(2)),B(3,f(3)),则f(3)f(2)=f(3)-f由题图知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)f(2)<f'(2),故C,D正确.【核心考点·分类突破】考点一导数的概念[例1](1)已知函数f(x)可导,则f(2+2Δx)-A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)【解析】选B.因为函数f(x)可导,所以f'(x)=f(x所以f(2+2Δx)-f(2)函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为3,在x=2处的导数为4.

【解析】函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为22-122-1=3;因为f'(x)=2x,所以f(x(3)(多选题)环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用f(b)-f(a)b-a的大小评价在[下列四个结论正确的是()A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强【解析】选ABC.f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的负数,在[t1,t2]在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,D错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,B正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,C正确.【解题技法】求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)f(x0);(2)求平均变化率ΔyΔx(3)得导数f'(x0)=,简记作:一差、二比、三极限.【对点训练】1.(多选题)某市开始全面实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.下列四个结论正确的是()A.在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大B.在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大C.在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢D.甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大【解析】选BC.对于A,在[t1,t2]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以甲的平均分出量小于乙,说法错误.对于B,在[t2,t3]这段时间内,甲的增长量小于乙的增长量,所以乙的平均分出量大于甲,说法正确.对于C,在t2时刻,乙的图象比甲的图象陡,瞬时增长率大,说法正确.对于D,甲的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,说法错误.2.如图,函数f(x)的图象是折线段f(x),其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1+Δx【解析】由题图可得在x∈[0,2]上,函数图象上每一点处的斜率都是4-00-2=2.由导数的几何意义知考点二导数的运算[例2](1)(多选题)下列求导正确的是()A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2B.(x3lnx)'=3x2lnx+x2C.(2sinxx2)D.(2x+cosx)'=2xln2sinx【解析】选ABD.对于A,[(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正确;对于B,(x3lnx)'=(x3)'lnx+x3(lnx)'=3x2lnx+x2,故B正确;对于C,(2sinxx2)'=(2sinx)'x对于D,(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2sinx,故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3+x2f'(1)+2x1,则f'(2)=()A.1 B.9 C.6 D.4【解析】选C.因为f(x)=x3+x2f'(1)+2x1,所以f'(x)=3x2+2xf'(1)+2,把x=1代入f'(x),得f'(1)=3×12+2f'(1)+2,解得f'(1)=5,所以f'(x)=3x210x+2,所以f'(2)=6.(3)求下列函数的导数:①y=(3x34x)(2x+1);②y=lnx③y=11-2x2;④y=cos(3【解析】①方法一:y=(3x34x)(2x+1)=6x4+3x38x24x,所以y'=24x3+9x216x4.方法二:y'=(3x34x)'·(2x+1)+(3x34x)(2x+1)'=(9x24)(2x+1)+(3x34x)·2=24x3+9x216x4.②y'=(lnxx2+2xx2)'=(lnxx2)'+(=1-③设y=u-12,u=12则y'x=y'u·u'x=(u-12)'·(12x=12u-3=12(12x2)-32=2x(12x2)-④y'=sin(3x2π6)(3x2π6=6xsin(3x2π6)【解题技法】导数的运算技巧(1)连乘积形式函数式求导:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式函数式求导:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式函数式求导:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式函数式求导:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式函数式求导:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.【对点训练】1.(多选题)下列求导运算正确的是()A.若f(x)=sin(2x+3),则f'(x)=2cos(2x+3)B.若f(x)=e2x+1,则f'(x)=e2x+1C.若f(x)=xex,则f'(xD.若f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1【解析】选ACD.f(x)=sin(2x+3),f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正确;f(x)=e2x+1,则f'(x)=2e2x+1,故B错误;f(x)=xex,f'(x)=ex-xexf(x)=xlnx,f'(x)=(x)'lnx+x(lnx)'=lnx+1,故D正确.2.已知f(x)=x(2022+lnx),若f'(x0)=2023,则x0=()A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】选B.f'(x)=2022+lnx+x·1x=2023+lnx,故由f'(x0)=2023,得2023+lnx02023,则lnx0=0,解得x0=1.3.函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=x2+f'(π3)sinx,则f(π6)=π【解析】因为f'(x)=2x+f'(π3)cosx所以f'(π3)=2π3+12f'(所以f'(π3)=4π所以f(x)=x2+4π3sinx所以f(π6)=π2364.求下列函数的导数:(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=x2(3)y=x2x;(4)y=ln【解析】(1)因为y=x3+1x所以y'=3x22x(2)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(3)因为y=x2x=2所以y'=(2x32)'(4)y'=(=1x(x考点三导数的几何意义角度1求切线方程[例3](1)金榜原创·易错对对碰已知曲线f(x)=x34x2+5x4.①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为xy4=0;

②曲线过点(2,f(2))的切线方程为xy4=0或y+2=0.

【解析】①因为f'(x)=3x28x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y(2)=x2,即xy4=0.②设切点坐标为(x0,x034x02因为f'(x0)=3x028x所以切线方程为y(2)=(3x028x0+5)(又切线过点(x0,x034x02所以x034x02+5x02=(3x028整理得(x02)2(x01)=0,解得x0=2或x0=1,所以经过点(2,2)的曲线f(x)的切线方程为xy4=0或y+2=0.(2)(2023·临沂模拟)函数f(x)=xln(x),则曲线y=f(x)在x=e处的切线方程为2xy+e=0.

【解析】易得切点为(e,e),f'(x)=ln(x)+1,则f'(e)=2,所以切线方程为y(e)=2(x+e),即2xy+e=0.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程分别为y=1ex,y=1e【解析】因为y=ln|x|,当x>0时y=lnx,设切点为(x0,lnx0),由y'=1x,所以y'|x=x0=1x0,所以切线方程为ylnx0又切线过坐标原点,所以lnx0=1x0(x0),解得x0=e,所以切线方程为y1=1e(xe),即y=当x<0时y=ln(x),设切点为(x1,ln(x1)),由y'=1x,所以y'|x=x1=1x1,所以切线方程为yln(x1又切线过坐标原点,所以ln(x1)=1x1(x1),解得x1=e,所以切线方程为y1=1-e(x+e),即【解题技法】求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为yy0=f'(x0)(xx0);(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程yf(x1)=f'(x1)(xx1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程yf(x1)=f'(x1)(xx1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.角度2求切点坐标[例4](1)已知曲线y=x223lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(A.3 B.2 C.1 D.1【解析】选A.设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x3x,得切线斜率k=x03x0=2,所以x(2)(2023·贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0).

【解析】因为f(x)=x3+(a1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a1)x+a.又f(x)为奇函数,所以f(x)=f(x)恒成立,即x3+(a1)x2ax=x3(a1)x2ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3x02+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切点P(x0,f(x0))的坐标为【解题技法】求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标.角度3求参数的值(范围)[例5](1)(2023·重庆模拟)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切,则a=e.

【解析】设切点坐标为(t,aln(t+1)),对函数y=aln(x+1)求导得y'=ax所以at+1=1,aln((2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(∞,4)∪(0,+∞).

【解析】因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a)ex0,切线斜率k=(x0+1+a)ex0,切线方程为:y(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex所以(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0整理得x02+ax0因为切线有两条,所以Δ=a2+4a>0,解得a<4或a>0,故a的取值范围是(∞,4)∪(0,+∞).【解题技法】利用导数的几何意义求参数的方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.【对点训练】1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=2e2lnx+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为()A.4exy+e2=0 B.4exye2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+ye2=0【解析】选B.因为f(x)=2e2lnx+x2,所以f'(x)=2e2x所以f(e)=2e2lne+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y3e2=4e(xe),即4exye2=0.2.(2023·泸州模拟)已知曲线y=acosxx在点(π,aπ)处的切线方程为y=2π2x+b,A.4π B.2 C.4π D【解析】选D.令y=f(x)=acos则f'(x)=-a曲线在点(π,aπ)处的切线的斜率为f'(π)=aπ2=2π23.设a∈R,函数f(x)=ex+aex是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,【解析】由f(x)为偶函数,易得a=1.所以f(x)=ex+ex,f'(x)=exex.设切点为(x0,y0),则f'(x0)=ex0e-x0=32【重难突破】两曲线的公切线问题的求法解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解.(2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=f(类型一求两曲线的公切线[例1](2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex1与y=lnx+1的公共切线,则l的方程为y=ex1或y=x.

【解析】直线l与曲线y=ex1相切,设切点为(a,ea1),y'=ex,切线的斜率为ea,切线方程为yea+1=ea(xa),即y=eaxaea+ea1.直线l与y=lnx+1相切,设切点为(b,lnb+1),y'=1x,切线的斜率为1b,切线方程为ylnb1=1b(xb),即y=1bx+lnb.直线l是曲线y=ex1与y=lnx+1解得a=1,所以l的方程为y=ex1或y=x.类型二切点相同的公切线问题[例2](2023·金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=lnx的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为12e【解析】设公共点为P(x0,y0)(x0>0),则ax02=lnx由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,由g(x)=lnx,得g'(x)=1x因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0,y0)处有共同的切线,所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=1x0,得a=所以12x02·x即lnx0=12,得x0=e所以a=12x02