广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-214生活中的优化问题举例（第3课时）教案_第1页
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揭阳第三中学教案表课题1.4生活中的优化问题举例（第3课时）课型新授课教学目标使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。重点难点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教具准备多媒体课时安排1教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情教学过程：一．典例分析例1．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.解：由梯形面积公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S= ①∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②由①得b=h,代入②,∴l=l′==0,∴h=,当h<时，l′<0,h>时，l′>0.∴h=时，l取最小值，此时b=例3．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x＞0，y＞0，则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜x＜2．设矩形的面积为S，则S＝2x（4－x2），0＜x＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x＝，易知x＝是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和．【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．二．课堂练习1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2m，最大容积）2．课本练习三．回顾总结解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数

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