寒假作业11分式方程与应用（18道经典题型6道中考真题）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业11分式方程与应用1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题、行程问题、销售问题等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；关于的分式方程的个数为1个，故选A．2．分式方程的解为（

）A． B．， C． D．此方程无解【答案】C【解析】去分母得：，，解得，检验，当时，，原方程的解为：，故选C．3．小明和小亮解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，则判断错误的是（）小明的解法：小亮的解法：解：去分母得：①解：去分母得：①去括号得：②去括号得：②移项得：③移项得：③合并同类项得：④合并同类项得：④系数化为1得：⑤系数化为1得：⑤是原分式方程的解⑥A．小明的步骤①错误，漏乘 B．小明的步骤②、③、④都正确C．小明的步骤⑤错误 D．小亮的解答完全正确【答案】D【解析】根据题意得：小亮的解答没有检验过程，出错，步骤⑤出错；小明的步骤①错误，漏乘，小明的步骤②、③、④都正确，小明的步骤⑤错误．故选D．4．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程，要比规定工期多用5天；③

，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的【答案】A【解析】某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，甲工作了4天，乙工作了天，即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，故选A．5．若方程的根为，则m的值是（

）A．0 B．3 C． D．1【答案】C【解析】∵方程的根为，∴将代入得，，解得．故选C．6．若关于的分式方程有增根，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】去分母得：，关于的分式方程有增根，，解得：，故选B．7．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是自行车速度的倍，设自行车的速度为．根据题意，下列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵自行车的速度为，汽车的速度是自行车速度的倍，汽车的速度是，又，∴．故选B.8．若分式方程有增根，则a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或2【答案】C【解析】方程两边都乘，得，∵原方程有增根，∴最简公分母，∴增根是或，当时，方程化为：，解得：；当时，方程化为，即，解得或．故选C．9．解方程：(1)；(2)．【解析】（1）方程变形得，，方程两边同时乘以最简公分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为得，，检验：把代入最简公分母得，，∴原方程的解是.（2）方程变形得，，方程两边同时乘以最简公分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为得，，检验：把代入最简公分母得，，∴原方程无解．10．2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图，我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣，某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？【解析】设款套装的单价是元，则A款套装的单价是元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：A款套装的单价是元，款套装的单价是元．11．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（

）A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】，去分母得，解得，∵方程的解为非负数，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范围是且，故选A．12．若关于x的分式方程无解，则k的取值是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】，，，，∵关于x的分式方程无解，∴当时，即时，分式方程无解；当时，，此时分式方程有增根，∴，解得或，∴当时，即，解得；∴当时，即，无解；综上所述，k的取值是或．故选B．13．如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【解析】解分式方程得：，∵分式方程有整数解，∴为的倍数，且，即，解不等式组，得，∵不等式组有且只有四个整数解，∴，解得，综上所述，.故选A.14.学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表：(1)在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；(2)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；(3)为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量．【解析】（1）购买甲种足球的数量为个，购买乙种足球的数量为个.（2）∵购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，∴，解得：，经检验是原方程的解，，答：甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元.（3）设购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，（元），（元），由题意得：，．答：这所学校最多可购买25个乙种足球．15．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程的两个解分别为、，则______，______；(2)方程的两个解中较大的一个为______；(3)关于x的方程的两个解分别为（），求的值．【解析】（1）∵方程的两个解分别为、，∴，，故答案为：，2.（2）设方程的两个解分别为a，b，则，，∴或，∴两个解中较大的一个为3；故答案为：3.（3）∵，∴，即，∴或，或，∵，∴，，∴．16．定义一种新运算，例如．依据上面的公式解决下列问题：(1)求的结果；(2)若，求k的值．【解析】（1）根据题意得：.（2）∵，∴，∴．经检验是原方程的解．17．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是____；（只填序号）(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．【解析】（1）①当，时，解方程得，经检验，是该分式方程的解，又，∴是关于的分式方程的“方程数对”.②当，时，解方程得，经检验，是该分式方程的解，又，故不是关于的分式方程的“方程数对”，故答案为：①.（2）∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，∴是关于的分式方程的解，将代入分式方程中，得，解得；（3）∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，∴是关于的分式方程的解，将代入分式方程中，得，则，∵，∴．18．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，；…(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是．(2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．(3)方程的解为．【解析】（1）根据上面的规律，猜想关于的方程的两个解是，，故答案为：，.（2），，，，或，，，经检验：，是原方程的解；（3）令，则原方程可化为：，，，，或，解得，，经检验：，是原方程的解，故答案为：，．19．（2023·四川内江·中考真题）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，由题意得，故选D．20．（2023年黑龙江中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】去分母得：，解得，∵分式方程的解是负数，∴，，即，解得：且，故选D．21．（2023湖南永州中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是．【答案】【解析】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，∴，解得，故答案为：．22．（2023江苏无锡中考真题）方程的解是：．【答案】【解析】去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，检验：把代入最简公分母中，得，∴原分式方程的解为：，故答案为：.23．（2023年重庆中考真题A卷）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．【答案】4【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∵不等式组至少有2个整数解，∴，解得：.由得，解得：，∵y的值是非负整数，，∴当a=5时，y=2；当a=3时，y=1；当a=1时，y=0，∵y=2是分式方程的增根，∴a=5舍去，∴满足条件的a的值为1，3，∴，故答案为4．24．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(1)乙队单独施工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲