重庆市名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

秘密★启用前重庆市名校联盟20232024学年度第二期期中联考数学试题（高2025届）【命题学校：潼南中学命题人：李倩审题人：龙希胜、徐厚燕】（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】求导，再将代入即可.【详解】，所以.故选：C.2.为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的3000名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这3000名观众中男、女人数之比为，若样本容量为300，则不同的抽样结果共有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先按比例分别计算出男女观众的人数与样本数，由于是抽取，故只需用组合数列式，再按乘法原理相乘即可.【详解】在这3000名观众中，男性人数为：人；女性人数为：人.因为要按性别比例分层随机抽样，且样本容量为300，所以抽取的样本中，男性观众的人数为：，女性观众人数为：.所以不同抽取结果共有：.故选：B3.已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】，则，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.故选：D.4.现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分步计数乘法原理及古典概型概率公式就可以得到结果.【详解】对这三个部分着色，只需要三步完成，第一步给区域①着色有2种方法，第二步给区域②着色有2种方法，第三步给区域③着色有2种方法，根据分步计数乘法原理，对这三部分着色共有种不同方法，若要对这三个部分着色且任意有公共边的两块着不同颜色，则按如下三步完成，第一步给区域①着色有2种方法，第二步给区域②着色仅有1种方法，第三步给区域③着色仅有1种方法，根据分步计数乘法原理，对这三部分着色共有种不同方法，设事件“任意有公共边的两块着不同颜色”，则由古典概型的概率公式得，故选：B.5.的展开式中，的系数为（）A.20 B.15 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】由，写出展开式的通项，再代入计算可得.【详解】因为，其中展开式的通项为（且），令，解得，所以，即的展开式中的系数为.

故选：B6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求参数的取值范围.【详解】由得，当在区间上单调递增时，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，对应函数在上单调递减，则，故.故选：A7.现将《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》、《诗经》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《论语》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（）A.50 B.80 C.120 D.150【答案】A【解析】【分析】按甲乙丙人各分得书籍本数分类即可，注意平均分与不平均分的情况.【详解】5本书分给甲乙丙3人，每人至少本，则人书籍本数分为，，；，，两类；第一类，，的情况：若甲分本，已分得书籍，则另两人一人本，人本，共有种，若甲分本，即再取本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，故第一类情况共有+种；第二类，，情况：若甲分本，已分得书籍，另两人各本，共有种，若甲分本，另两人一人本，人本，共有种，故第二类情况共有+种；所以不同的分发方式种数共.故答案为：.8.已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.【详解】不等式可化为，设，则原不等式可化为，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，所以．故不等式的解集为.故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（）A.若甲和乙相邻，共有48种排法 B.若甲不排第一个共有96种排法C.若甲与丙不相邻，共有36种排法 D.若甲在乙的前面，共有60种排法【答案】ABD【解析】【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项.【详解】选项A:若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序共有种排法，A对;选项B：若甲不排第一个，则甲有4种排法，其余全排，共有种，B对；选项C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C错；选项D，若甲在乙的前面，只需在5个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余3个人全排，共有种排法，D对.故选：ABD.10.小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（）A. B.C. D.事件相互独立【答案】AC【解析】【分析】对于A：由古典概型概率公式计算即可判断；对于B：由条件概率公式计算即可判断；对于C：由全概率公式计算可判断；对于D：由独立乘法公式计算即可判断.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：因为，，所以事件不相互独立，故D错误.故选：AC11.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（）A.在上是“弱减函数”B.在上是“弱减函数”C.若在上是“弱减函数”，则D.若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【解析】【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；对于B，，在上，函数单调递减，，，∴在单调递增，故B正确；对于C，若在单调递减，由，得，∴，在单调递增，故C正确；对于D，在上单调递减，在上恒成立，令，，令，，∴在上单调递减，，∴，∴上单调递减，，∴，在上单调递增，在上恒成立，∴，令，，∴在上单调递增，，∴，综上：，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.除以7余数是______．【答案】1【解析】【分析】根据二项式定理解决整除问题.【详解】，所以除以7的余数为1.故答案为：1.13.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次掷出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于4”，则______．【答案】【解析】【分析】利用古典概型概率公式分别求出，再根据条件概率公式求结论.【详解】用表示随机试验“先后两次掷一枚质地均匀的骰子”的结果，表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，则，随机试验“先后两次掷一枚质地均匀的骰子”的样本空间中共有个样本点，事件所包含的样本点的个数为个，事件所包含样本点的有，共7个，由古典概型概率公式可得，，由条件概率公式可得，故答案为：.14.已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先把转化为，设，原问题就转化成在单调递减，然后利用在上，恒成立，分离参数，结合基本（均值）不等式，可求的取值范围.【详解】由，且，所以.设，，则原问题转化为在单调递减恒成立.因为在恒成立，所以，恒成立.因为（当且仅当即时取“”）所以.故答案为：【点睛】方法点睛：本题的关键是把把转化为，设，原问题就转化成在单调递减，然后利用函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知展开式中，第三项的二项式系数与第四项的二项式系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）【答案】（1）6（2）225【解析】【分析】（1）求得第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，进而可得，求解即可；（2）根据通项公式可得时，对应的项是有理项，求得各有理项，可求展开式中有理项的系数之和.【小问1详解】依题意，展开式的通项公式为:，显然第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数系数为，因此，解得，所以的值为6.【小问2详解】由（1）知，当时，对应的项是有理项，当时，展开式中对应的有理项为；当时，展开式中对应的有理项为当时，展开式中对应的有理项为所以展开式中有理项的系数之和为16.已知函数在时取得极值．（1）求实数的值；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，即可得解；（2）对于任意的恒成立，只需要即可，利用导数求出函数的最小值即可.【小问1详解】易知，依题意，解得，此时，当或时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极值，所以；【小问2详解】由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；所以，由题意可得，解得，所以的取值范围为.17.第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．（1）甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？（2）在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．【答案】（1）乙（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出甲，乙，丙进入决赛的概率，比较大小确定结论，（2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.【小问1详解】甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，丙进入决赛的概率为，因为，所以，所以乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．【小问2详解】当时，丙进入决赛的概率为，所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3，可得；，，，所以随机变量的分布列为：012318.已知函数在定义域上有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，然后利用判别式以及韦达定理求解；（2）计算，然后代入的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解.【小问1详解】由已知，因为函数在定义域上有两个极值点，所以，解得，所以实数的取值范围为；【小问2详解】由（1）得，，即两个极值点为方程的两根，则，所以代入得，其中，则，得，设，则，当时，，即在上单调递增，又，所以.19.设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，设，且轴，求两点间的最短距离；（3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）代入，求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）由题意可得，令求导分析单调性得到最小值即可；（3）令，求导后再次构造函数，分析的单调性，结合题意得到实数的取值范围即可.【小问1详解】当时，，则，，则，所以函数在点处的切线方程为.【小问2详解】当