11锐角三角函数（练习）

第一章直角三角形的边角关系第一节锐角三角函数精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2021·江苏无锡市·九年级期末）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，sinB＝，那么BC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AB的长度，然后由勾股定理求得BC的长度．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sinB＝，∴sinB＝，，∴AB＝5．∴由勾股定理，得BC＝．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练识记锐角三角函数的定义是解题关键，正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．2．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键3．（2021·山西临汾市·九年级期末）如图，在的正方形网格中，的值等于（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】构造直角三角形求解即可．【详解】解：如图，=．故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边．4．（2021·安徽合肥市·九年级期末）如图，在平面直角坐标中，点P的坐标为(3，4)，则射线OP与x轴正方向所夹锐角a的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：过P作PA⊥x轴于A，∵P（3，4），∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．5．（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，过点作于，利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】解：如图，过点作于．在中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．（2021·山东淄博市·九年级期末）如图，拦水坝的横断面是梯形，高米，斜面坡度为，则斜坡的长为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根据坡度求出AC的长度，再利用勾股定理求出AB．【详解】∵坡度，米，∴AC=12米，∴AB=米，故选：B．【点睛】此题考查已知正切值求边长，勾股定理求直角三角形边长，熟记坡度定义求出AC是解题的关键．7．（2021·广东深圳市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据正弦的定义求出∠A，根据30°的余弦值解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝，∴∠A＝30°，∴cosA＝cos30°＝，故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，掌握正弦、余弦的定义是解题的关键．8．（2021·广东揭阳市·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，因此有：sinA＝，sinB＝，cosA＝，tanA＝，故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意；由sinB＝可得b＝sinB×c，故B不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提．二、填空题9．（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知在中，，则______．【答案】或【分析】根据AC=4，BC=3因此分AB，AC为斜边两种情况讨论，当AB时，利用勾股定理求出斜边AB，sinA=；当AC为斜边时，，再由sinA=即可得.【详解】∵AC=4，BC=3（1）当AB为斜边为斜边，由勾股定理，则AB===5∴sinA==（2）当AC为斜边，则sinA=综上，答案为或.【点睛】本题考查了直角三角形中锐角三角函数，熟记锐角三角函数的计算方法是解题关键.10．（2021·浙江宁波市·九年级期末）在中，，，，则的值为________．【答案】【分析】根据正切值的定义求出结果．【详解】解：∵，，，∴．故答案是：．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切值的求解．11．（2021·北京大兴区·九年级期末）如图，在中，，，是边上的中线，则的值是______．【答案】2【分析】由题意，得到，则，结合角的正切值，即可得到答案．【详解】解：∵是边上的中线，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴；故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到．12．（2021·浙江宁波市·九年级期末）如图，已知为边上一点，则__________．【答案】【分析】先利用勾股定理求得OP的长，再由题意利用锐角的三角函数的定义，求得cosα的值．【详解】如图，作PQ⊥轴于Q，∵P(4，3)，∴OQ=4，PQ=3，∴OP=，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角的三角函数的定义，是基础题，需熟练掌握．提升篇提升篇三、解答题13．（2020·山西九年级期末）如图，在中，于点，若，，，求的长和的值．【答案】，=3【分析】先根据正弦函数值求得AC长，再由勾股定理求得AD，进而求得BD，然后利用正切函数定义求得tanB即可．【详解】解：∵，∴在中，，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴在中，．【点睛】本题考查锐角的三角函数、勾股定理，理解并掌握锐角三角函数与直角三角形的边角关系是解答的关键．14．（2021·陕西咸阳市实验中学九年级月考）如图，在菱形ABCD中，AEBC，垂直为E，对角线BD=4，，求：①边AB的长；②求ABE的正弦值．【答案】①AB=；②sin∠ABE=【分析】①连接AC，交BD于O，根据菱形的性质以及锐角三角函数的定义，即可求解；②根据菱形的面积的两种算法求出AE，结合正弦三角函数的定义，即可求解．【详解】①连接AC，交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵BD=4，tan∠CBD=，OB=2，OA=OC=1AB=；②∵四边形ABCD为菱形，BD=4，AC=2，∴BC=AB=，AC·BD=BC·AE，即4=AE，AE=，sin∠ABE=．【点睛】本题主要考查菱形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．15．（2020·浙江杭州市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．（1）求∠B的度数．（2）求tan∠BAC（结果保留根号）．【答案】（1）15°；（2）．【分析】（1）首先证明DA＝DB，再证明∠ADC＝30°即可解决问题．（2）设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CDa，BC＝2aa，推出tan∠BAC即可解决问题．【详解】（1）连接AD．∵DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，