湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2025届九年级数学第一学期开学达标检测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共8页湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2025届九年级数学第一学期开学达标检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若，则函数的图象可能是A． B． C． D．2、（4分）在实数0，，，-1中，最小的是（）A．0 B． C． D．3、（4分）如图，在中，，若.则正方形与正方形的面积和为（）A．25 B．144 C．150 D．1694、（4分）某品牌鞋店在一个月内销售某款女鞋，各种尺码鞋的销量如下表所示：尺码/厘米

22.5

23

23.5

24

24.5

销售量/双

35

40

30

17

8

通过分析上述数据，对鞋店业主的进货最有意义的是A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差5、（4分）在平面直角坐标系中，点）平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位6、（4分）《中国诗词大会》是央视科教频道自主研发的一档大型文化益智节目，节目带动全民感受诗词之趣，分享诗词之美，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．比赛中除了来自复旦附中的才女武亦姝表现出色外，其他选手的实力也不容小觑．下表是随机抽取的10名挑战者答对的题目数量的统计表，则这10名挑战者答对的题目数量的中位数为答对题数（）答对题数4578人数3421A．4 B．5 C．6 D．77、（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（）A．18 B．20 C．22 D．268、（4分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐为__________．10、（4分）若一组数据的平均数为17，方差为2，则另一组数据的平均数和方差分别为（）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，311、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；……按此规律操作下去，得到的正方形的面积是______________．12、（4分）分解因式：2x2-8x+8=__________.13、（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与重合，点落到处，折痕为．（1）求证：；（2）连结，判断四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．15、（8分）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲乙两种型号的设备可供选购．经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花14万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花4万元．（1）直接写出甲乙两种型号设备每台的价格分别为多少万元；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过90万元，你认为该公司有几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若该公司使用新设备进行生产，已知甲型设备每台的产量为240吨/月，乙型设备每台的产量为180吨/月，每月要求总产量不低于2040吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．16、（8分）（1）如图1，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，求BD的长．（2）如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，长度分别是8和6，求菱形的周长．17、（10分）如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.18、（10分）某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时出发，已知先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计先遣队比大部队早0.5小时到达目的地，求先遣队与大部队的行进速度。B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原参加旅游的同学有x人，则根据题意可列方程___________________________.20、（4分）用换元法解方程+3＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____．21、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为_____．22、（4分）若最简二次根式和是同类二次根式，则______.23、（4分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若AB＝6，则OE＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，直线与轴、轴分别相交于.点的坐标为，点是线段上的一点.（1）求的值；（2）若的面积为2，求点的坐标.25、（10分）为了解某校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽查了该校八年级部分学生,对其每周平均课外阅读时间进行统计,根据统计数据绘制成如图的两幅尚不完整的统计图:（1）本次共抽取了多少人?并请将图1的条形图补充完整；（2）这组数据的众数是________；求出这组数据的平均数；（3）若全校有1500人,请你估计每周平均课外阅读时间为3小时的学生多少人?26、（12分）已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．（1）设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当S=9时，求点P的坐标；（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】

根据kb>0，可知k>0，b>0或k<0，b<0，然后分情况讨论直线的位置关系．【详解】由题意可知：可知k>0，b>0或k<0，b<0，

当k>0，b>0时，

直线经过一、二、三象限，

当k<0，b<0

直线经过二、三、四象限，

故选(A)本题考查一次函数的图像，解题的关键是清楚kb大小和图像的关系.2、B【解析】

正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】|-3|=3，

根据实数比较大小的方法，可得

-＜−1＜0＜3，

所以在实数0、-、|-3|、-1中，最小的是-．

故选：B．考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3、D【解析】

根据勾股定理求出AC2+BC2，根据正方形的面积公式进行计算即可.【详解】在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=169，则正方形与正方形的面积和=AC2+BC2=169，故选D.本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.4、B【解析】

解：众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．故选B．5、C【解析】

先求出点A关于y轴的对称点，即可知道平移的规律.【详解】∵点关于y轴的对称点为（2,3）∴应把点向右平移个单位，故选C.此题主要考查直角坐标系的坐标变换，解题的关键是熟知找到点A关于y轴的对称点.6、B【解析】

将这组数据从小到大的顺序排列后，根据中位数的定义就可以求解．【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置第1和第6个数是1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是1．

故选：B．本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．7、A【解析】

根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．【详解】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝1．故选A．本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．8、C【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可.【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故此选项错误．故选C．考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】

根据勾股定理可得Rt△AOH中，AO=，根据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得到HG=-1，故可求解.【详解】如图，∵的顶点，，∴AH=1，HO=2，∴Rt△AOH中，AO=，由题可知，OF平方∠AOB，∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE，∴∠AGO=∠EOG，∴∠AGO=∠AOG，∴AG=AO=，∴HG=-1，∴G故填：.此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知等腰三角形和勾股定理的性质运用.10、B【解析】

根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【详解】∵数据x1+1，x1+1，，xn+1的平均数为17，∴x1+1，x1+1，，xn+1的平均数为18，∵数据x1+1，x1+1，，xn+1的方差为1，∴数据x1+1，x1+1，，xn+1的方差不变，还是1；故选B．本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x1，，xn的平均数为，方差为S1，那么另一组数据ax1+b，ax1+b，，axn+b的平均数为a+b，方差为a1S1．11、【解析】

根据正比例函数的性质得到，，均为等腰直角三角形，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．【详解】∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴正方形的边长为1，面积为1．∵直线l为正比例函数的图象，∴，，均为等腰直角三角形，∴，，正方形的边长为，面积为．同理，正方形的边长为，面积为……所以正方形的面积是．本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到，，均为等腰直角三角形，正确找出规律是解题的关键．12、2(x-2)2【解析】

先运用提公因式法，再运用完全平方公式.【详解】：2x2-8x+8=.故答案为2(x-2)2.本题考核知识点：因式分解.解题关键点：熟练掌握分解因式的基本方法.13、有两个角相等的三角形是等腰三角形【解析】

根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.【详解】∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形．证明见解析.【解析】

（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠1，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．【详解】解:（1）由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，∠C=∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠1．∴∠1=∠1．在△ABE和△AD′F中∵∴△ABE≌△AD′F（ASA）．（2）四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠2．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠2=∠3．∴∠4=∠3．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．考点：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．15、（1）甲型号每台10万元，乙型号每台8万元；（2）有6种购买方案；（3）最省钱的购买方案为：选购甲型设备4台，乙型设备6台．【解析】

（1）设甲型设备每台的价格为x万元，乙型设备每台的价格为y万元，根据“购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花14万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花4万元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10-m）台，由于购买节省能源的新设备的资金不超过90万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出各购买方案；（3）由每月要求总产量不低于2040吨，可得出关于m的一元一次不等式，解之结合（2）的结论即可找出m的值，再利用总价=单价×数量求出两种购买方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）设甲型号每台万元，乙型号每台万元，则，解得；甲型号每台万元，乙型号每台万元（2）设购买甲型台，乙型台，根据题意得，，解得，，∵取非负整数，，∴有6种购买方案；（3）根据题意，得，解得，，∴当时，购买资金为10×4+8×6=88（万元），当时，购买资金为10×5+8×5=90（万元），则最省钱的购买方案为：选购甲型设备4台，乙型设备6台．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．16、（1）10；（2）1【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OB=OC，∵∠BOC=11°，∴∠BCA=30°，∵在Rt△ABC中，AB=5，∴AC=2AB=10，∴BD=AC=10；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AC═×8=4，OB=BD=×6=3，AC⊥BD，∴AB==5，∴菱形的周长为1．17、见解析【解析】

先由四边形为矩形，得出AE=CD，∠E=∠D，再由对顶角相等，即可证明△AEF≌△CDF即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠E，AE=CD，又∵∠AFE=∠CFD，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF(AAS)，∴EF=DF.18、大部队的行进速度为5千米/时,先遣队的行进速度为6千米/时【解析】【分析】设大部队的行进速度为x千米/时,则先遣队的行进速度为1.2x千米/时.由“先遣队比大部队早0.5小时到达目的地”，即时间关系可以列出，求解可得.【详解】设大部队的行进速度为x千米/时,则先遣队的行进速度为1.2x千米/时.根据题意,可列出方程.解得

.经检验,

是原方程的根,且符合题意.当

时,答:大部队的行进速度为5千米/时,先遣队的行进速度为6千米/时【点睛】本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据时间差关系列出方程.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】分析:等量关系为：原来人均单价-实际人均单价=3，把相关数值代入即可．详解:原来人均单价为，实际人均单价为，那么所列方程为,故答案为：点睛:考查列分式方程；得到人均单价的关系式是解决本题的关键.20、3y2+3y﹣2＝1【解析】

设，则原方程化为3y﹣+3＝1，，再整理即可．【详解】﹣+3＝1，设＝y，则原方程化为：3y﹣+3＝1，即3y2+3y﹣2＝1，故答案为：3y2+3y﹣2＝1．本题考查了解分式方程，能够正确换元是解此题的关键．21、1【解析】

首先证明OE=BC，再由AE+EO=4，推出AB+BC=8，然后计算周长即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=1，故答案为：1．本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握是解题的关键.22、4【解析】

根据被开方数相同列式计算即可.【详解】∵最简二次根式和是同类二次根式，∴a-1=11-2a，∴a=4.故答案为：4.本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.23、3【解析】

根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE是三角形的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE＝AB．【详解】解：在▱ABCD中，OA＝OC，∵点E是BC的中点，∴OE是三角形的中位线，∴OE＝AB＝3故答案为3本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）k=（2）（-，1）【解析】

(1)将点E的坐标代入一次函数解析式中,即可得出关于k的一元一次方程,解方程即可得出结论;(2)结合(1)中得k值可得出一次函数解析式,由点E的坐标可得出线段OE的长度,根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标,将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标,由此即可得出结论【详解】(1)将点E(-4,0)代入到y=kx+3中,得:0=-4k+3=0,解得:k=(2)∵k=∴直线EF的解析式为∵点E的坐标为(-4,0),∴OE=4∴△OPE=OP・∴=1令中y=1