2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|A.(−1,1) B.(0,1) C.(−1,+∞) D.(0,+∞)2.函数fx=x−1A.1,4 B.1,4

C.−∞,1∪4,+∞ 3.已知角α的终边经过点−1,2，则tan2α的值为(

)A.45 B.−45 C.−4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y=x2+sinx B.y=x5.已知f(x)，α∈3π2,2π，则sinA.35 B.−35 C.46.等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2,a3,a6A.−24 B.−3 C.3 D.87.已知函数fx=lnx+ax，则“a<0”是“函数A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1axA.a≤−2 B.a<0 C.−3<a≤−2 D.−3≤a≤−29.已知正实数a，b满足不等式ab+1<a+b，则函数f(x)=logax+b的图象可能为A.B.C.D.10.关于函数f(x)=sin|x|+|①f(x)是偶函数

②f(x)在区间(π③f(x)在[−π,π]有4个零点

④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.设i是虚数单位，若复数a+i2−i为纯虚数，那么实数a=

．12.已知α∈π2,π，sinα=45，则13.已知(x−ax)7展开式中x5的系数为21，则实数a14.数列an的前n项和记为Sn，若Sn=n2+3n2，n∈N+，则数列an的通项公式为an=15.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，有以下四个说法：①在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；③大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；④在图2的四条曲线(S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．其中，所有正确说法的序号是

．16.已知函数f(x)=2x①若a=1，则函数f(x)至少有一个零点；②存在实数a，k，使得函数f(x)无零点；③若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点；④对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)在▵ABC中，∠A=60(1)求sinC(2)若a=7，求▵ABC的面积．18.(本小题12分)已知函数fx=cos2ωx+3sinωx(1)求fx的解析式及fx在(2)若函数fx在区间0,t(t>0)上有且仅有1个零点，求条件①：函数fx的最小正周期为π；条件②：函数fx的图象经过点0,12；条件③：函数fx的最大值为19.(本小题12分)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．(1)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；(2)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(0<a<98)人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小．20.(本小题12分)已知函数f(x)=12ax2+(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是−1，求a的值．21.(本小题12分)已知函数fx(1)求fx在点1,f(2)判断fx(3)证明：函数y=fx−xex22.(本小题12分)设λ为正实数，若各项均为正数的数列an满足：∀n∈N∗，都有an+1≥(1)判断以下两个数列是否为P(2)数列：数列A：3，5，8，13，21；数列B：log25，π，5(2)若数列bn满足b1>0且bn+1=bn+(3)若各项均为整数的数列an是P(1)数列，且an的前m(m≥2)项和a1+a2+a3参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.B

10.C

11.1212.−3+413.−3

14.n+1

n2

15.①④．

16.①②④

17.解：(1)根据正弦定理asinA=csinC，A=60​∘，c=37a．

可得sinC=c×sinAa=37×sin60∘

=37×32=3314；

(2)当a=7时，

由c=3718.(1)由题可知，fx=sin选择①②：因为T=2π2ω=π，所以ω=1.又因为f(0)=1+m=所以f(x)=sin因为0≤x≤π2，所以π6所以函数f(x)的最小值为−12，最大值为选择①③：因为为T=2π2ω=π又因为函数f(x)的最大值为m+32=所以f(x)=sin因为0≤x≤π2，所以π6所以函数f(x)的最小值为0，最大值为32选择②③：因为f(0)=1+m=12，所以因为函数f(x)的最大值为m+32=有矛盾，该条件组合不合题意．(2)选择①②：令sin(2x+π6)=0，则当k=1,2时，函数的零点为5π12由于函数fx在区间0,t上有且仅有1个零点，所以5π所以t的取值范围是5π12选择①③：令sin(2x+则2x+π6=2kπ+所以x=kπ+π2,k∈Z当k=0时，函数的零点分别为π2由于函数fx在区间上0,t有且仅有1个零点，所以π所以t的取值范围是[π

19.解：(1)由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2500×5601000=1400．

(2)由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2001000=15．

用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．

随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

所以PX=0=C301501−153=64125，

PX=1=20.(1)f′(x)=ax2当a≥0时，f′(x)>0，从而函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−1o或此时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(o,(f′(x)+0−f(x)f∴f(x)的单调增区间是(o,−1o，单调减区间是(2)①当a≥0时，由(1)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a令a2=−1，得a=−2，这与②当−1≤a<0时，−1o≥1，由(1)得函数f(x)在令a2=−1，得a=−2，这与③当a<−1时，0<−1o<1，由(1)得函数f(x)令f−1o=−1综上，当f(x)在(0,1]上的最大值是−1时，a=−e．

21.(1)由fx=xln所以f′1=ln所以fx在点1,f(1)处的切线方程为y−0=−1(x−1)，即x+y−1=0(2)f′x=lnx+1−2x，令当0<x<12，ℎ’(x)>当x>12时，ℎ’(x)<所以ℎ(x)≤ℎ1即f′x=lnx+1−2x<0对(0,+∞)恒成立，所以又f1=ln1−1(3)要证函数y=fx−xe即证fx−xe即证xlnx−xex+2x<0即证lnx<令g(x)=lnx−x+1，求导得当0<x<1，g′x>0，函数gx当x>1时，g′x<0，函数gx所以g(x)≤g(1)=ln1−1+1=0，所以要证lnx<ex−2，可证令φ(x)=ex−2−(x−1)=当x>0时，φ′(x)>0，所以函数φ(x)在所以φ(x)>φ(0)=0，即ex所以x−1<ex−2所以函数y=fx−xe

22.(1)根据定义，P(2)数列应满足∀n∈N∗，都有即an+1对于数列A：有5−3=2≥2，8−5=3≥2，13−8=5≥2，21−13=8≥2均满足，所以数列A是P(2)数列；对于数列B，因为5−π<2不满足，所以数列B不是P(2)数列．(2)不存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)说明理由如下：假设存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)则∀n∈N∗，都有bn+1因为bn+1所以bn+1当n>1λ2所以，不存在正实数λ，使得数列bn是P(λ)(3)因为数列an是P(1)数列，所以a所以am所以am−1≤am−1，am−2≤am−1所以a1即150≤mam−所以am因为数列an是整数列，所以am+m假设am+m=30，必有150m因为m∈N∗，所以