2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省浙南名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z1=1−i，z2=2−i，则复数zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合A={(x,y)|y=|x|},B={(x,y)|y=1|x|}，则A∩B=A.{−1,1} B.{(−1,1)，(1,1)}

C.(0,+∞) D.(0,1)3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语⋅子路》.意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守.根据上述材料，“身正”是“令行”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1x+1−a.若f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(−∞,1) D.(−∞,1]5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有(

)A.20种 B.40种 C.80种 D.160种6.将函数g(x)=cos(ωx+π12)(ω∈N∗)的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，若A.2 B.3 C.4 D.57.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P，A.2 B.1+2 C.8.已知x0为函数f(x)=x2exA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知非零向量a,b,cA.若a(b⋅c)=0，则b⊥c

B.若(a+b)⊥(a−b)10.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中AB=4，M，N，D，Q分别为棱AB，AC，B1C1A.B1C1/​/平面QMN

B.AA1=6

C.点Q到平面11.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，cos〈FA,FB〉=−1，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为k1，k2，且两切线交于点M.N为抛物线A.若|AF|+|BF|=2，则AF⋅BF=−1

B.直线PN的倾斜角α≥π4

C.若k1+k2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sinα−3cosα=113.已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计.若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1.将这10名学生体重W(kg)作为样本，则样本的方差为______．14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值.四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始)，然后将所有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15；四进制数1230四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2A1C1=4，M，N分别为棱AB，B116.(本小题15分)

已知b>0，函数f(x)=x2−x−(x−1)ln(bx)在点(1,f(1))处的切线过点(0,−1)．

(1)求实数b的值；

(2)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增；

(3)若对∀x≥1，17.(本小题15分)

如图，四边形ABCD中，AB=1，CD=AD=2，BC=3，∠BAD+∠BCD=π．

(1)求∠BAD；

(2)P为边BC上一点，且△PCD的面积为3，求△ABP的外接圆半径．18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,63)在椭圆上，且直线PF1与PF2的斜率之积为−23．

(1)求C的方程；

(2)直线l：y=kx+m(k>0,m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．

(ⅰ)若A，B19.(本小题17分)

密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学.研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学.20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离.加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的.这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨.某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码.记符合上述条件的正整数的个数为an．

(1)求数列{an}的前5项和；

(2)求a2n(n∈N∗)的表达式和a31×37的值；

(3)记bn参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.B

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.−113.13．

14.1315.(1)证：连接AB1，如图所示：

因为M，N分别为AB，BB1的中点，所以MN/​/AB1，

因为△ABC是正三角形，所以CM⊥AB，

又A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以CM⊥A1A，

又A1A∩AB=A，A1A，AB⊂平面A1ABB1，所以CM⊥平面A1ABB1，

又因为B1B⊂平面A1ABB1，所以CM⊥B1B，

易得AB1=B1B=22，所以AB2=AB12+B1B2，所以AB1⊥B1B，

又因为AB1/​/MN，所以MN⊥BB1，因为MN∩CM=M，MN，CM⊂平面MCN，

所以B1B⊥平面MCN；16.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x+1x−ln(bx)−2，

故f′(1)=1−lnb，又f(1)=0，

∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(1−lnb)(x−1)，

将点(0,−1)代入得1−lnb=1，解得b=1．

(2)证明：由(1)知f(x)=x2−x−(x−1)lnx，

则f′(x)=2x+1x−lnx−2，

令g(x)=f′(x)=2x+1x−lnx−2，

则g′(x)=2−1x2−1x=(x−1)(2x+1)x2，

当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

∴x=1时，函数g(x)即f′(x)取得极小值即最小值，

∴f′(x)≥f′(1)=1>0，

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．

(3)对∀x≥1，f(x)≥a(x−1)恒成立，即对∀x≥1，x(x−1)−(x−1)lnx≥a(x−1)恒成立，

当x=1时，上式显然恒成立；

当x>1时，上式转化为x−lnx≥a17.解：(1)因为∠BAD+∠BCD=π，所以cos∠BAD=−cos∠BCD，

在△ABD中，由余弦定理得：

BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD=5−4cos∠BAD，①

在△BCD中，由余弦定理得：

BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=13+12cos∠BAD，②

①②两式作差得：8+16cos∠BAD=0，解得cos∠BAD=−12，

因为∠BAD∈(0,π)，所以∠BAD=2π3；

(2)因为AB=1，CD=AD=2，BC=3，∠BAD+∠BCD=π，

由(1)知BD2=5−4cos2π3=7，

可得BD=7，且∠PCD=∠BCD=π3，

则S△PCD=12PC⋅CDsin∠PCD=32PC=3，所以PC=2，

在△PCD中，由余弦定理，

可得PD2=CD2+PC2−2CD⋅PCcos∠PCD=418.解：(1)设C的焦距为2c(c>0)，则F1(−c,0)，F2(c,0)，

故kPF1⋅kPF2=631+c×631−c=−23，解得c=2，

因为点P在椭圆上，所以1a2+23b2=1，

所以1a2+23b2=1c=2a2=b2+c2，解得b2=1，a2=3，

所以C的方程为x23+y2=1．

(2)(ⅰ)由题，A(0,m),B(−mk,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

因为A，B恰为弦MN的两个三等分点，所以BA=NB=AM，

则OA=12(OB+OM)，即x1−mk=0,12y1=m，解得x1=mky1=2m，所以M(mk,2m)19.解：(1)由题意可得a1=1；

小于等于2且与2互质的正整数有1，所以a2=1；

小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以a3=2；

小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以a4=2；

小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以a5=4．

所以数列{an}的前5项和为1+1+2+2+4=10．

(2)若2为质数，