2024-2025学年十五校教育集团·鄂豫皖五十三校高三（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年十五校教育集团·鄂豫皖五十三校高三（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p：有些实数的相反数是正数，则 ¬p是(

)A.∀x∈R，−x<0 B.∀x∈R，−x≤0

C.∃x0∈R，−x02.若复数z=2+im−i的实部与虚部相等，则实数m的值为(

)A.−3 B.−1 C.1 D.33.已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布N(164,σ2)，若P(X≥170)=0.3，则P(158<X<170)=A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.84.已知P(A−)=14，P(B−A.512 B.58 C.385.已知a=3π，b=eπ，c=A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b6.已知实数a，b满足4a2−2ab+b2=5A.(−∞,10] B.[10,+∞) C.[103,10]7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，若一过焦点F的斜率k=22的直线与双曲线交于A、B两点A.32 B.322 C.8.函数f(x)=ln||x|−1|与函数g(x)=sinπA.6 B.7 C.8 D.9二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(A.D1E与平面CC1D1D的夹角的正弦值为13

B.A1点到D1E的距离为42310.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i=1,2,⋯,7)，则下列说法正确的是(

)A.若a4=7，a1+a2+a3<a5+a6+a7，则这样的数列共有360个

B.若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有11.已知S={(x,y)|(x−2)2+(y−m)2=1，y≥0}∪{(x,y)|(x−2)2+(y+m)A.当m=12时，S∩{(x,y)|y=0}={(2−32,0),(2+32,0)}

B.当m=52+1时，P有1个元素

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2+2x13.已知集合A，B，C均是集合{1,3,5,7,9}的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合{A,B,C}的个数为______．14.二阶魔方是一个2×2×2的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同(即通过整体旋转后相同)的情况只算一种，则任意二阶魔方共有______种不同的状态.(提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=π6,c=2．

(1)证明：a=1tanC+316.(本小题15分)

已知公差不为0的等差数列{an}满足a3=6，a2，a4，a8成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=22，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过F2时，△PQF1的周长为8．

(1)18.(本小题17分)

设函数f(x)=xlnx．

(1)分析f(x)的单调性和极值；

(2)设g(x)=f(x+1e)+1e，若对任意的x≥0，都有g(x)≥mx成立，求实数m的取值范围；

(3)若x1≠19.(本小题17分)

某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有n(n∈N∗)瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案：

方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测；

方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组(n=mk,m∈Z)，每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测．

已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X为方案二某小组的检测次数，E(X)为方案二的检测次数的数学期望．

(1)记E(X)的最大值为E，求证：E<2n+p−1n；

(2)能否认为E(X)<n恒成立？说明理由，并以此说明方案二的合理性；参考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.ABD

12.112

13.4060

14.3674160

15.解：(1)因为asinA=csinC，B=π6，

则a=2sinAsinC=2sin(B+C)sinC=cosC+3sinCsinC=1tanC+3；

(2)由bsinB=csinC，得b=116.解：(1)设公差d不为0的等差数列{an}满足a3=6，a2，a4，a8成等比数列，

故a42=a2⋅a8，整理得(6+d)2=(6−d)(6+5d)，解得d=2或0(舍去)；

故an=2n；

(2)由(1)得：bn17.解：(1)当直线l过F2时，

则△PQF1的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a，

又△PQF1的周长为8，

则a=2，

又|F1F2|=22，

则c=2，

则b=a2−c2=2，

即椭圆C的方程为x24+y22=1；

(2)已知直线l过点E(1,0)，

设直线方程为x=my+1，

联立x=my+1x24+y218.解：(1)f(x)=xlnx，定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，

令f′(x)=0，即lnx+1=0，解得x=1e，

令f′(x)<0，解得0<x<1e，令f′(x)>0，解得x>1e，

所以f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=1e处取得极小值，极小值为f(1e)=1eln1e=−1e．

(2)g(x)=f(x+1e)+1e=(x+1e)ln(x+1e)+1e，(x≥0)，

因为g(x)−mx≥0，即构造函数ℎ(x)=(x+1e)ln(x+1e)+1e−mx，x≥0，

则ℎ′(x)=ln(x+1e)+(x+1e)×1(x+1e)−m=ln(x+1e)+1−m，

可知ℎ(0)=0，若要ℎ(x)≥0，必须要求ℎ′(0)≥0，

即−1+1−m≥0，得m≤0，

当x≥0，m≤0时，ℎ′(x)=ln(x+1e)+1−m≥0′恒成立，

ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，

故实数m的取值范围为(−∞,0]．

(3)证明：记m(x)=xlnx−12x2+12，则m′(x)=1+lnx−x，

记n(x)=1+lnx−x，n′(x)=1x−1=1−xx，n′(1)=0，

当x∈(0,1)时，n′(x)>0，n(x)为增函数，

19.解：(1)证明：方案二中某小组的检测次数X可能取值为1或m+1，

当一次检测中未检测出S成分时，检测次数为1，概率为1−pm，

当一次检测出S成分时，再对该小组的m瓶逐一检测，检测次数为m+1，概率为pm，

E(X)=1×(1−pm)+(m+1)pm=1+mpm，

又因为n=mk，

所以k个小组的检测次数期望为E′=kE(X)=k+kmpm，

要证明(E′)max=E<2n+p−1n，

即证k+kmpm<2n+p−1n恒成立，

即证nm+npm<2n+p−1n，

又因为n属于正整数，

所以1m+pm<2+p−1n2，

令g(m)=1m+pm，ℎ(n)=2+p−1n2，

又0<p<1，

所以g(m)在[1,+∞)上单调递减，ℎ(n)在[1,+∞)单调递增，

所以g(m)max=g(1)=1+p，ℎ(n)min=1+p，

所以g(m)≤ℎ(n)在[1,+∞)恒成立，

E≤2n+p−1n，当m=n=1时取等号，

而原题说这些试剂中部分含有少