广东市深圳市高三下学期三模数学试卷

广东市深圳市2024届高三下学期三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，则（）A． B． C． D．2．若复数的实部大于0，且，则（）A． B． C． D．3．已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线4．已知数列满足：，且数列为等差数列，则（）A．10 B．40 C．100 D．1035．如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A． B． C． D．6．已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．7．某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种8．设函数．若实数使得对任意恒成立，则（）A． B．0 C．1 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A．0 B．4 C．8 D．1610．已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（）A． B． C． D．11．如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（）A．该三棱台的体积最小值为 B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出函数的一条斜率为正的切线方程：.13．两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则.14．双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．数列中，，，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，且满足，，求.16．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为.（1）当时，求后质点移动到点O的位置的概率，（2）记后质点的位置对应的数为X，若随机变量X的期望，求p的取值范围.17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，点M在PD上，点N为BC的中点，且平面MAC.（1）证明：平面PAN，（2）若，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.18．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设，的离心率分别为，且.（1）求，的方程，（2）设P为上一点，且在第一象限内，若直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，设AB，CD的中点分别为M，N，记直线MN的斜率为k，当k取最小值时，求点P的坐标.19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位，（2）由该公式可得：.当时，试比较与的大小，并给出证明，（3）设，证明：.

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A,C,D10．【答案】B,C11．【答案】B,D12．【答案】（合理即可）13．【答案】0.8614．【答案】215．【答案】（1）解：因为，所以，所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，则，则.（2）解：由（1）问知，，则，又，则，两式相乘得，即，因此与同号，因为，所以当时，，此时，当n为奇数时，，n为偶数时，：当时，，此时，当n为奇数时，，n为偶数时，；综上，在时，；时，.16．【答案】（1）解：后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为：.（2）解：X所有可能的取值为2，0，2，4，且，，，，由，解得，又因为，故p的取值范围为.17．【答案】（1）解：连接BD交AC与点O，连接OM如图所示：

易知平面PBD与平面MAC的交线为OM，平面MAC，，又O为BD的中点，M为PD的中点.取PA的中点E，连接EM，EN，，，EMCN为平行四边形，，又平面PAN，平面PAN，平面PAN.（2）解：取AB的中点S，连结PS，CS，，，且，又，且，，，又AB，SC是平面ABCD内两条相交的直线，平面ABCD.以S为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，由M为PD的中点，N为BC的中点，可得，，，，设是平面PAN的法向量，则即，可取，设是平面MAC的法向量，则即，可取，设平面PAN与平面MAC的夹角为，则，即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为.18．【答案】（1）解：依题意可得，得，由，得，解得，故的方程为，的方程为.（2）解：易知，设，直线，的斜率分别为，则，，，在，即有，可得为定值.设直线的方程为：，联立可得恒成立，设，则有，可求得，设直线的方程为：，，同理可得，则由可得：，点P在第一象限内，故，当且仅当，即时取等号，而，故等号可以取到.即当k取最小值时，，联立，可解得，故的方程为：，的方程为：，联立可解得，即有.另外可以分别设直线方程和求解