高考数学一轮难题复习三角函数与解三角形典型解答题(学生版+解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习三角函数与解三角形典型解答题1．终边相同角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．几种特殊位置的角的集合(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．(6)终边在y＝x上的角的集合：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．(7)终边在y＝－x上的角的集合：{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z}．(8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k·45°，k∈Z}．3．1弧度的角在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．4．正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.5．角度制与弧度制的换算(1)1°＝eq\f(π,180)rad.(2)1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.6．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).相关公式：(1)l＝eq\f(nπr,180)＝|α|r.(2)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)|α|r2.7．利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y.(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x.(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．8．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sinα＝±eq\r(1－cos2α).(2)商的关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).9．三种三角函数的性质正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象定义域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1](有界性)[－1,1](有界性)R零点{x|x＝kπ，k∈Z}{x|x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}{x|x＝kπ，k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ))，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)减区间[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)对称性对称轴x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．(3)图象变换y＝sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．11．准确记忆六组诱导公式对于“eq\f(kπ,2)±α，看象限．12．三角函数恒等变换(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α＋β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α－β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，2α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α≠kπ±\f(π,4)，k∈Z)).(2)辅助角公式acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))cosx＋\f(b,\r(a2＋b2))sinx))，令sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，cosθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，∴acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)，其中θ为辅助角，tanθ＝eq\f(a,b).13．正弦定理及其变形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.14．余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.15．面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC.例题1．就实数的取值范围，讨论关于的函数与轴的交点个数.试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习三角函数与解三角形典型解答题1．终边相同角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．几种特殊位置的角的集合(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．(6)终边在y＝x上的角的集合：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．(7)终边在y＝－x上的角的集合：{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z}．(8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k·45°，k∈Z}．3．1弧度的角在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．4．正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.5．角度制与弧度制的换算(1)1°＝eq\f(π,180)rad.(2)1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.6．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).相关公式：(1)l＝eq\f(nπr,180)＝|α|r.(2)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)|α|r2.7．利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y.(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x.(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．8．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sinα＝±eq\r(1－cos2α).(2)商的关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).9．三种三角函数的性质正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象定义域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1](有界性)[－1,1](有界性)R零点{x|x＝kπ，k∈Z}{x|x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}{x|x＝kπ，k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ))，eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)减区间[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)对称性对称轴x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．(3)图象变换y＝sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．11．准确记忆六组诱导公式对于“eq\f(kπ,2)±α，看象限．12．三角函数恒等变换(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α＋β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α－β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，2α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，α≠kπ±\f(π,4)，k∈Z)).(2)辅助角公式acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))cosx＋\f(b,\r(a2＋b2))sinx))，令sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，cosθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，∴acosx＋bsinx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)，其中θ为辅助角，tanθ＝eq\f(a,b).13．正弦定理及其变形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.14．余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b