高考数学核心考点专题训练专题13导数在解决实际问题中的应用(原卷版+解析)

专题13导数在解决实际问题中的应用一、单选题某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+1A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kA.25 B.30 C.35 D.40如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为(    )A.(l6)3π B.19设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为A. B.

C. D.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(    )A.3Sπ+4

B.Sπ+4

C.2Sπ+4如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为(    )时，其容积最大．A.34

B.23

C.13一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为(    )A.500281 B.500227 C.5传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4cm至10cm之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为10cm，长度为dcm。在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1cm匀速缩短，同时长度以每秒40cm匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为7cm时，其体积最大，此时“定海神针”的长度d为(

)cmA.20 B.40 C.60 D.80已知a>0，b∈R，且ex≥a(x−1)+b对x∈R恒成立，则a2A.12e5 B.13e5某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(xA.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤若关于x的不等式xlnx+12x2−2x−kx−k<0的解集为a,ba<b，且a,b内只有一个整数，则实数kA.[−34,ln4−23) B.[如图，有一块半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案，方案一：设腰长AD=x，周长为f (x)；方案二：设∠BAD=θ，周长g(θ)，当x，θ在定义域内增大时

(

)

A.f(x)先增大后减小，g(θ)先减小后增大

B.f(x)先增大后减小，g(θ)先增大后减小

C.f(x)先减小后增大，g(θ)先增大后减小

D.f(x)先减小后增大，g(θ)先减小后增大二、填空题如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大为________．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+127x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在t1②在t2③在t3④甲企业在0,t1,其中所有正确结论的序号是____________________．如图，平面内△AOB，△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，OA=2，OC=1，点C在△AOB的内部(不包括边界)，△ACB，△BOD的面积分别记作S1，S2，则S1S2专题13导数在解决实际问题中的应用一、单选题某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤【答案】B【解析】解：设销售利润为g(x)，得g(x)=−18x3+916ax2+12x−1−12x

=−18x3+916ax2−1，

当x=2时，g(2)=−第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式A.25 B.30 C.35 D.40【答案】A【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得

y=1250×150+825kx+2500kx2k>0

则y'=825k−5000kx3．

令y'=0，解得x=25．

当0<x<25时，y'<0；

当x>25时，y'>0，

如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为(    )A.(l6)3π B.19【答案】A【解析】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长l为定值：

4R+2H=l，

H=l2−2R，

V=SH=πR2H=πR2(l2−2R)=πR2l2−2πR3，

求导：

V'=πRl−6πR2，令V'=0，

πRl−6πR设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2A. B.

C. D.【答案】C【解析】解：曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，

∴g(x)=cosx，

则函数y=x2g(x)=x2⋅cosx，

设f(x)=x2⋅cosx，

f(−x)=−x2·cos−x=x2·cosx=f(x)，

∴y=f(x)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(    )A.3Sπ+4

B.Sπ+4

C.2Sπ+4【答案】C【解析】解：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，

则，，

∴窗户的周长，

，由L'=0，得，

时，L'<0，时，L'>0，

∴当时，L取最小值，

故选C．

如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为(    )时，其容积最大．A.34

B.23

C.13【答案】B【解析】设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，

则正六棱柱的底面边长为1−2x，高为

3x，

所以正六棱柱的体积V=6×12×sin60°×(1−2x)2×

3x

=6×

34(1−2x)

 2×

3x

=

92(4x

 3−4x

 2+x)

0<x<12，

则V'=

92(12x

 2−8x+1)．

令V'=0，得x=

12(舍去)或x=

16．

当x∈一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为(    )A.500281 B.500227 C.5【答案】A【解析】解：四棱锥如图，

设底面正方形边长的一半为x，

则有AO=(5−x)2−x2−x2=−x2−10x+25，

V=43⋅x2⋅−x2−10x+25=43−x6−10x5+25x4．

设y=−x6−10x5+25传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4cm至10cm之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为10cm，长度为dcm。在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1cm匀速缩短，同时长度以每秒40cm匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为7cm时，其体积最大，此时“定海神针”的长度d为(

)cmA.20 B.40 C.60 D.80【答案】A【解析】解：依题意，设变化时间为x，变化过程中，其底面半径为10−x(cm)，长度为d+40x(cm)，

可得f(x)=π(10−x)2(d+40x)，

由4⩽10−x⩽10可得0≤x≤6.

f'(x)=2π(x−10)(40x+d)+40π(x−10)2=2π(x−10)(60x+d−200)，

令f'(x)=0可得x=10(舍)或x=d−20060，

∵金箍棒底面半径为7cm时，其体积最大．

故x=3为f(x)的一个极大值点，∴d−200已知a>0，b∈R，且ex≥a(x−1)+b对x∈R恒成立，则aA.12e5 B.13e5【答案】B【解析】解：设f(x)=ex−a(x−1)−b，

可得f'(x)=ex−a，

当a≤0时，f'(x)>0，f(x)递增，f(x)无最小值；

当a>0时，x>lna时，f'(x)>0，f(x)递增；x<lna时，f'(x)<0，f(x)递减，

可得x=lna处，f(x)取得最小值2a−alna−b，

由ex≥a(x−1)+b对x∈R恒成立，可得b≤2a−alna，

则a2b≤2a3−a3lna，

设g(a)=2a3−a3lna，g'(a)=6a2−(3a2lna+a2)=5a2某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+1A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤【答案】B【解析】解：设销售利润为g(x)，得g(x)=−18x3+916ax2+12x−1−12x=−18x3+916ax2−1，

当x=2时，g(2)=−若关于x的不等式xlnx+12x2−2x−kx−k<0的解集为a,ba<b，且a,bA.[−34,ln4−23) B.[【答案】D【解析】解：不等式，

即，

令，

gx=kx+k，

f'x=lnx+x−1，

gx过点M−1,0，当x=1时，

f'x=0，当x>1时，f'x>0,fx为增函数，

当0<x<1时，f'x<0,fx为减函数，

则fx的最小值为f(1)=−32，

记A1,−32，，记B2,ln4−2，如图，有一块半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案，方案一：设腰长AD=x，周长为f (x)；方案二：设∠BAD=θ，周长g(θ)，当x，θ在定义域内增大时

(

)

A.f(x)先增大后减小，g(θ)先减小后增大

B.f(x)先增大后减小，g(θ)先增大后减小

C.f(x)先减小后增大，g(θ)先增大后减小

D.f(x)先减小后增大，g(θ)先减小后增大【答案】A【解析】解：方案一：如图所示，连接OD，OC，则OC=OD=OA=OB=R，

在△OAD中，设∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得

x2=2R2−2R2⋅cosθ，θ∈(0,90°)，

∴cosθ=2R2−x22R2；x∈(0,2R)．

在△OCD中，∠COD=180°−2θ，

同理DC2=2R2−2R2⋅cos(180°−2θ)

=2R2(1+cos2θ)=2R2⋅2cos2θ=4R2⋅cos2θ，

∴DC=2R⋅cosθ=2R⋅2R2−x22R2=2R−x2二、填空题如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大为________．【答案】3【解析】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．

设∠AOD=θ(θ∈(0,π2))．

OE=2cosθ，DE=2sinθ．

可得CD=2OE=4cosθ，

∴梯形ABCD的面积S=12(4+4cosθ)×2sinθ

=4sinθ(1+cosθ)，

S2=16sin2θ(1+2cosθ+cos2θ)

=16(1−cos2θ)(1+2cosθ+cos2θ)

令cosθ=t∈(0,1)．

则S2=16(1−t2)(1+2t+t2)=f(t)．

则f'(t)=−32(t+1)2(2t−1)．

f某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+127x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100【答案】225【解析】【解答】解：设产品单价为m，

因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2=kx(其中k为非零常数)，

又生产100件这样的产品时，单价为50万元，

所以502=k100，解得k=250000，则m2=250000x．

记生产x件产品时，总利润为f(x)，

则f(x)=mx−C(x)=500x−1200−127x2(x>0)，f'(x)=250x−227x，

由f'(x)>0为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与