2024-2025学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2

PAGE2.3.2学习目标核心素养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简洁二面角平面角的大小．(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，驾驭面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3.熟识线面垂直、面面垂直的转化．(重点)1.通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．2.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．1．二面角的概念(1)定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②这两个半平面叫做二面角的面．(3)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q.(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AO B．(5)二面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°．当两个二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0°，当两个二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.思索：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？[提示]无关．如图，依据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．2．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，假如它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β．(4)判定定理：文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β思索：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？[提示]不肯定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．1．如图所示的二面角可记为()A．α­β­l B．M­l­NC．l­M­N D．l­β­αB[依据二面角的记法规则可知B正确．]2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个 B．有两个C．有多数个 D．不存在C[经过l的任一平面都和α垂直．]3．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________．90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]二面角的计算问题【例1】如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值．[解]如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．设点H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，则cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即二面角的余弦值为eq\f(1,3).1．求二面角的大小关键是作出平面角求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．2．确定二面角的平面角的方法定义法在二面角的棱上找一个特别点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角eq\a\vs4\al([跟进训练])1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝eq\f(1,2)AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．[证明]因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明](1)法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为等腰直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.证明面面垂直常用的方法定义法即说明两个半平面所成的二面角是直二面角判定定理法在其中一个平面内找寻一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直性质法两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面eq\a\vs4\al([跟进训练])2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明]连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.线面、面面垂直的综合[探究问题]1．如图所示，如何作出二面角P­AB­Q的平面角？[提示]过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连接OP，则∠POH即为二面角P­AB­Q的平面角．2．线面、面面垂直关系是如何转化的？[提示]欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．【例3】如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1(1)求证：A1E⊥BD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD.思路探究：(1)欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；(2)要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某始终线垂直于另一个面．[证明]连接AC，设AC∩DB＝O，连接A1O，OE，(1)因为AA1⊥底面ABCD，所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝所以BD⊥平面ACEA1，因为A1E⊂平面ACEA1，所以A1E⊥BD.(2)在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，因为BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1­BD­E的平面角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何学问，得EO＝eq\r(3)a，A1O＝eq\r(6)a，A1E＝3a，满意A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.本例中，条件不变，试求二面角E­BD­C的正切值．[解]连接AC交BD于O，连接OE(图略).由例题中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.∴∠EOC为二面角E­BD­C的平面角．设正方体棱长为a，则CE＝eq\f(a,2)，OC＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△OCE中，tan∠EOC＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(\f(a,2),\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(2),2).所以二面角E­BD­C的正切值为eq\f(\r(2),2).线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此动身才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要留意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．1．求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A．互为余角 B．相等C．其和为周角 D．互为补角D[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A145°[依据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC