2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.4概率的基本性质教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE10.1.4概率的基本性质素养目标·定方向素养目标学法指导1．娴熟驾驭性质1，性质2．(数学抽象)2．会推断两个事务的互斥与对立关系.(逻辑推理)3．能够利用性质3(互斥事务的概率公式)，性质4(对立事务的概率公式)求解概率问题.(数学运算)4．能够解决实际生活中的概率问题.(数据分析)当干脆求某一事务的概率较为困难时，可转化为求几个互斥事务的概率之和或其对立事务的概率，体验了正难则反的思想.必备学问·探新知学问点概率的基本性质性质1对随意的事务A，都有__P(A)≥0__.性质2必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝__1__，P(∅)＝__0__.性质3假如事务A和事务B互斥，那么P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__.性质4假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝__1－P(A)__，P(A)＝__1－P(B)__.性质5假如A⊆B，那么P(A)__≤__P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事务，我们有P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)－P(A∩B)__.[学问解读]1．概率的加法公式(1)当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事务的概率加法公式.(2)一般地，假如A1，A2，…，Am是两两互斥的事务，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).(3)P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1．2．求困难事务的概率通常有两种方法(1)将所求事务转化成彼此互斥事务的并事务；(2)先求其对立事务的概率，再求所求事务的概率.关键实力·攻重难题型探究题型一互斥事务概率公式的应用典例1(1)抛掷一个骰子，视察出现的点，设事务A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝eq\f(1,6)，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事务A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事务B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，求这3只球中既有红球又有白球的概率.[解析](1)设事务C为“出现1点或2点”，因为事务A、B是互斥事务，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，所以出现1点或出现2点的概率是eq\f(1,3).(2)因为A，B是互斥事务，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5)，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是eq\f(4,5).[归纳提升](1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事务互斥时才能运用，假如A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.【对点练习】❶经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析]记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F两两互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：记“至少3人排队等候”为事务H，则其对立事务为事务G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．题型二概率一般加法公式(性质6)的应用典例2甲、乙、丙、丁四人参与4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.[解析]设事务A为“甲跑第一棒”，事务B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能.即(1,4).故P(A∩B)＝eq\f(1,12).所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12).[归纳提升](1)概率的一般加法公式及互斥事务的概率加法公式在限制条件上的区分：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事务A，B是互斥事务；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事务A，B可以是互斥事务，也可以不是互斥事务.可借助图形理解.(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事务A，B的交事务A∩B的含义，精确求出其概率.【对点练习】❷在对200家公司的最新调查中发觉，40%的公司在大力探讨广告效果，50%的公司在进行短期销售预料，而30%的公司在从事这两项探讨.假设从这200家公司中任选一家，记事务A为“该公司在探讨广告效果”，记事务B为“该公司在进行短期销售预料”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).[解析]P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．题型三利用互斥与对立的概率公式多角度求解典例3假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事务A)的概率是eq\f(1,4)，取到方块(事务B)的概率是eq\f(1,4)，求取到黑色牌(事务D)的概率.[分析]先确定事务D的对立事务C(取到红色牌)，也就是事务C就是所求事务D的对立事务，而事务C包含A和B两个彼此互斥的事务，故可干脆利用互斥事务加法公式求解；然后依据对立事务概率公式求解.[解析]记“取出的是红色牌”为事务C，则C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事务A与事务B互斥.依据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2).又因为事务C与事务D互斥，且C∪D为必定事务，因此事务C与事务D是对立事务，所以P(D)＝1－P(C)＝eq\f(1,2).[归纳提升]对于较困难事务的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事务转化成彼此互斥的事务的和；二是先求对立事务的概率，进而再求所求事务的概率.【对点练习】❸某射击运动员在一次射击竞赛中，每次射击竞赛成果均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表：命中环数6及以下78910概率0.100.120.180.280.32求该射击运动员射击一次.(1)命中9环及10环的概率.(2)命中不足7环的概率.[解析]记“射击一次命中k环”的事务为Ak(k∈N，k≤10)，则事务Ak彼此互斥.(1)记“射击一次命中9环或10环”为事务A，则当A9或A10之一发生时，事务A发生，由互斥事务的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10).因此命中9环或10环的概率为0.60．(2)方法一：由于事务“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事务，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10．方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10．易错警示忽视概率加法公式的应用前提典例4投掷一枚质地匀称的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是eq\f(1,6)，记事务A为“出现奇数点”，事务B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝__eq\f(2,3)__.[错解]因为P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．[错因分析]造成错解的缘由在于忽视了“事务和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的运用前提：事务A，B彼此互斥.此题的两个事务A，B不是互斥事务，如出现的点数为1或3时，事务A，B同时发生，故此题应用性质6．[正解]因为P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).[误区警示]在运用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，肯定要留意公式成立的前提，即事务A与事务B互斥.若事务A，B不互斥，则应用公式P(A∪B