2021-2024北京重点校高一（上）期末汇编：函数与方程、不等式之间的关系

第1页/共1页2021-2024北京重点校高一（上）期末汇编函数与方程、不等式之间的关系一、单选题1．（2023北京高一上期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题2．（2024北京朝阳高一上期末）已知函数，为偶函数，且当时，，记函数，给出下列四个结论：①当时，在区间上单调递增；②当时，是偶函数；③当时，有3个零点；④当时，对任意，都有．其中所有正确结论的序号是．3．（2024北京丰台高一上期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为.三、解答题4．（2024北京西城高一上期末）已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.(1)求的值；(2)已知函数有两个不同的正数零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.条件①：；条件②：，；条件③：，.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.5．（2021北京高一上期末）已知集合A是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数.使得成立.（1）判断幂函数是否属于集合A，并说明理由；（2）设，，若，求a的取值范围；

参考答案1．D【分析】分解因式求解方程的根.【详解】函数的零点，即方程的实数根.由解得，或.故函数函数的零点个数是.故选：D.2．①③【分析】根据题意，结合函数fx【详解】因为为偶函数，且当时，，当时，可得，所以，对于①中，当时，，令，解得，如图所示，，结合图象，可得函数在区间上单调递增，所以①正确；

对于②中，当时，可得，令，即，解得或，当时，可得；当时，可得；当时，可得，即，其中，所以，所以当时，函数不是偶函数，所以②不正确；对于③中，当时，令，即，解得，当时，令gx=0，即，解得，当时，令gx=0，即，解得或，若时，函数有三个零点，分别为，和；若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；若时，即时，函数有三个零点，分别为，和；综上可得，当时，函数有三个零点，所以③正确；对于④中，当时，令gx=0，即，解得，将点代入函数y=fx，可得，解得，如图所示，当时，函数，所以④不正确.故答案为：①③.

3．（答案不唯一）【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.【详解】若不等式在上恒成立，则，解得，所以该命题为假命题时实数的取值范围是，所以实数的一个取值为.故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）.4．(1)条件选择见解析，(2)（i）；（ii）【分析】（1）若选条件①②：先计算出的值，再根据对称轴求解出，则结果可知；若选条件①③：先计算出的值，再根据最小值确定出对称轴，所以可求，则结果可知，若选择②③，则根据二次函数的性质可知fx存在但不唯一；（2）（i）先表示出，然后根据二次函数的零点分布列出不等式组，由此求解出的取值范围；（ii）根据以及（i）中的范围求解出的值.【详解】（1）若选择条件②③：则根据二次函数的性质可知，存在fx若选条件①②：由①得，由②得图象的对称轴为直线，所以，所以，满足要求；若选条件①③：由①得，由③得f1为的最小值，所以对称轴，所以，满足要求.（2）由（1）知，所以；（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，所以，所以或，解得，所以的取值范围是.（ⅱ）因为，所以，又因为，所以.5．（1）,理由见解析；（2）【解析】（1）令，得出方程，解出判断即可；（2）先根据复合函数的单调性判断出的单调性，再根据得到，以及，化简得到，令，根据的范围，求出的范围，原式等价于有一个根，求解即可.【详解】解：（1）,理由如下：令，，即，化简得：，解得：或，即在定义域内存在实数，使得成立；故；（2），在上单调递增，在0,+∞上单调递增，在上单调递增，又，在定义域内存在实数.使得成立，即，即，又，即，即，令，又，，即，化简得：，即，解得：