《机械控制工程基础 第2版》 课件 第4章-控制系统的时间响应

1第4章控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法二阶系统时域分析3时间响应的组成及主要性能指标1一阶系统时域分析2高阶系统时域分析54二阶系统的性能指标本章知识结构4.1时间响应的组成及主要性能指标时间响应的组成：时间响应一般是指在初始状态为零时，系统在外加激励作用下，系统的输出随时间变化的函数关系。（1）瞬态响应：系统在外加激励作用下，其输出由初始状态到稳定状态的响应过程，称为瞬态响应，也称过渡过程或暂态响应。（2）稳态响应：系统在外加激励作用下，当时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应。4.1.1时间响应的组成某系统在单位阶跃信号l(t)作用下的时间响应。系统输出在t=ts时达到稳定状态，在0→ts时间内的时间响应过程称为瞬态响应;当t→∞时系统的输出称为稳态响应。4.1.2动态过程及其性能指标

动态过程又称过渡过程或瞬态过程，是指在典型信号输入下，控制系统的输出量从初态到终态，表现为衰减，发散或等幅振荡的形式。

一般认为，阶跃信号输入对系统是最严峻的工况，系统在单位阶跃信号作用下，动态过程随时间t变化的指标，称为动态性能指标。4.1.2动态过程及其性能指标

（1）上升时间tr:响应曲线由零开始第一次上升到稳态值所需要的时间。对于无振荡系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需时间即为上升时间tr，它是系统响应速度的一种度量。（2）峰值时间tp:响应曲线超过其稳态值并到达第一个峰值所需要的时间。（3）最大超调量Mp:响应曲线的最大偏离量与稳态值的差比上稳态值的百分数。（4）调整时间ts:响应曲线到达并保持在稳态值的5%或2%内所需要的最短时间。4.1.3.典型输入信号控制系统的时间响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加的输入信号有关。4.2一阶系统时域分析4.2.1.一阶系统数学模型能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。·其中xi(t)为输入信号，xo(t)为输出信号，T称为一阶系统的时间常数。·将上式进行拉氏变换得到一阶系统的传递函数为：4.2.2一阶系统的单位阶跃响应

当输入信号为单位阶跃信号时，系统的输出称为单位阶跃响应。·输入信号：

·输出信号：4.2.2一阶系统的单位阶跃响应（1）一阶系统的单位阶跃响应曲线是一个单调上升的指数曲线，其瞬态项为，稳态项为1。（2）可以用时间常数T去度量系统输出量的数值，当t≥4T时，其响应值已达到稳态值的98%以上，即系统的过渡过程时间为ts=4T。（3）时间常数T反映了一阶系统的固有属性，T值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快。（4）当t=0时响应曲线斜率初始值为1/T，随时间下降。4.2.2一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应的动态性能指标·（1）上升时间tr

：·（2）调整时间ts

：·（3）最大超调量Mp：Mp=04.2.3.一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为单位脉冲信号时，系统的输出称为单位脉冲响应，特别记为·输入信号：·输出信号：

4.2.3一阶系统的单位脉冲响应（1）一阶系统的单位脉冲响应曲线是一个单调下降的指数曲线，无稳态项，其瞬态项为（2）可以用时间常数T去度量系统输出量的数值，当t≥4T时，其响应值已衰减到响应初值的2%以上，即系统的过渡过程时间为ts=4T。（3）可见时间常数T反映了一阶系统的固有属性，T值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快。

4.2.3一阶系统的单位脉冲响应（4）当t=0时，响应曲线斜率初始值为，并随时间而下降，初始斜率特性也常用于确定一阶系统时间常数。（5）工程上常用脉冲信号输入来测定系统的传递函数，但无法施加理想的脉冲信号，常用一定宽度t0的矩形信号代替，一般要求4.2.4一阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号时，系统的输出称为单位斜坡响应。·输入信号：

·输出信号：4.2.4一阶系统的单位斜坡响应（1）一阶系统的单位斜坡响应曲线是一个与输入斜坡信号的斜率相同，但时间滞后T的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差其值正好等于时间常数T；一阶系统的瞬态分量。其瞬态项为衰减非周期函数，稳态项为（t-T）；（2）在初态下初始位置与初始斜率均为零；（3）在斜坡响应中，输出量与输入量间误差为：。其误差随时间增大而增大，最后趋于常数T，时间常数T越小，误差越小，跟踪准确度就越高。4.2.5响应之间的关系线性定常系统对某输入信号的导数或积分的响应，等于系统对该信号响应的导数或积分。该特点适用于任意阶次的线性定常系统，线性时变系统和非线性系统均不具备该特点。4.2.6实例例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为，求系统的单位阶跃响应。解：该系统的闭环传达函数为输入信号为

，拉氏变换为

，无初始条件时系统输出的拉氏变换为：取拉氏反变换得到系统的单位阶跃响应4.2.6实例该题也可以将系统分解成比例环节串联惯性环节，即利用公式直接得到4.2.6实例例4-2已知系统如图所示，求系统的单位阶跃响应。解：该系统的闭环传递函数为该系统简化为两个惯性系统并联的形式，其中一个比例系数为，时间常数为10，一个比例系数为，时间常数为1，根据公式，可以得到系统的单位阶跃响应为：4.3二阶系统时域分析3.3.1.二阶系统数学模型能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其中xi(t)为输入信号，xo(t)为输出信号，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比，将上式进行拉氏变换得到二阶系统的传递函数为：4.3.2二阶系统特征根的分布二阶系统特征方程为：二阶系统特征方程的特征根为(1)当系统为欠阻尼系统，两个特征根为共轭复数(2)当系统为无阻尼系统，两个特征根为共轭纯虚根(3)系统为临界阻尼系统，两个特征根为相等的负实根(4)系统为过阻尼系统，两个特征根为不相等的负实根4.3.3二阶系统的单位阶跃响应输入信号：输出信号：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>1

d为有阻尼固有频率4.3.3二阶系统的单位阶跃响应·（1）系统为欠阻尼时，响应是一个幅值衰减的正弦曲线，稳态项为1，瞬态项是一个随时间增长而衰减的振荡过程，衰减的快慢取决于指数ωn

的大小。·（2）系统为无阻尼时，响应是一个等幅振荡的正弦曲线，无稳态项。

·（3）系统为临界阻尼时，响应是一个单调收敛的指数曲线，稳态项为1，没有正方向的超调量。4.3.4

二阶系统的单位脉冲响应输入信号：输出信号：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>14.3.4

二阶系统的单位脉冲响应·（1）系统为欠阻尼时，单位脉冲响应是幅值衰减的正弦曲线，其稳态项为0，瞬态项是一个随时间增长而衰减的振荡过程，衰减的快慢取决于指数ωnξ值。·（2）系统为无阻尼时，二阶系统的单位脉冲响应是等幅振荡的正弦曲线，无稳态项。·（3）系统为临界阻尼时，单位脉冲响应是单调衰减曲线，稳态项为0，没有负方向超调量。4.3.4

二阶系统的单位脉冲响应例4-4二阶系统可以看成积分环节和惯性环形的串联，如图所示，其中T>0，K>0，试求此时系统的固有频率ωn和阻尼比ξ。解：系统的闭环传递函数为：故而，系统固有频率和阻尼比分别为：4.3.4

二阶系统的单位脉冲响应例4-5如例3-4中T=5，K=20，试求该系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。解：当T=5，K=20时，系统的无阻尼固有频率和阻尼比分别为单位脉冲响应为：可知，系统为二阶欠阻尼系统，单位阶跃响应为：4.4二阶系统的性能指标·在许多实际情况中，评价系统动态性能的优劣常用时域量表示。·二阶系统时最普遍的形式，瞬态响应多以衰减振荡的形式出现。·下面介绍二阶系统在欠阻尼情况下单位阶跃响应的性能指标。4.4二阶系统的性能指标1.上升时间：当t=tr时，xo(tr)=1可知当ξ一定时，tr与ωn成反比；当ωn一定时，ξ越小，tr越短。4.4二阶系统的性能指标2.峰值时间将对时间求一阶导数得令其为零，可得峰值时间，即峰值时间tp与ωd成反比。4.4二阶系统的性能指标3.最大超调量超调量Mp仅为ξ的函数，与ωn无关，且当ξ增大时，Mp减小。4.4二阶系统的性能指标4.调整时间即：解出：4.4二阶系统的性能指标例4-6某二阶系统的固有频率为ωn=5，阻尼比为ξ=0.7，试求此系统在单位阶跃响应下的峰值时间tp，调整时间ts（Δ=0.05）和最大超调量Mp。解：根据公式，响应的峰值时间为：根据公式，响应的调整时间为：或者直接用下列公式计算：根据公式，相应的最大超调量为：4.4二阶系统的性能指标例4-7如例3-4中二阶系统要求具有性能指标Mp=10%，ts=2s（Δ=0.02），试确定参数T、K以及求出单位阶跃响应下的上升时间tr和峰值时间tp。解：由解出：ξ=0.6由由求出峰值时间为：解出：ωn=3.333解出：T=0.125，K=1.3894.4二阶系统的性能指标习题-1：已知质量-弹簧-阻尼器系统如图(a)所示，其中质量为m公斤，弹簧系数为K牛顿/米，阻尼器系数为C牛顿秒/米，当物体受F=10牛顿的恒力作用时，其位移y(t)的的变化如图(b)所示。求m、k和C的值。