《高等数学基础》作业-答案解析

成绩:

高等数学基础

形成性考核册

专业：____________________________

学号：____________________________

姓名：____________________________

河北广播电视大学开放教育学院

（请按照顺序打印，并左侧装订）

高等数学基础形考作业1：

第1章函数

第2章极限与连续

(-)单项选择题

1•下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.

A./0)=(五)2,g(x)=xB./(x)=V?,g(x)=x

C./(x)=lnχ3,g(χ)=31nxD./(x)=x+l,g(x)=j——-

X-1

2.设函数/(x)的定义域为(-8,+00),则函数/(%)+/(-X)的图形关于(C)对称.

A.坐标原点B.X轴

C.y轴D.y=x

3•下列函数中为奇函数是(B)•

A.y=ln(l+χ2)B.夕=尤COSX

ax+a~x1“、

C.y=-----------D.y=ln(l+x)

4•下列函数中为基本初等函数是(C)•

A.y=%+lB.y=-x

5.下列极限存计算不正确的是(D)•

A.Iim—------=1B.Iimln(l+x)=O

XT8厂+2Xfo

.sinx,.-C

C.1Iim-------=OD.IimXSIn-=O

X—>00XX—X»X

6.当%→0时，变量(C)是无穷小量.

sinx1

A.B.

XX

C.xsin—D.ln(x+2)

7∙若函数/(x)在点X。满足(A),则/(x)在点/连续。

A.Iimf(x)=/(x0)B./(x)在点Xo的某个邻域内有定义

XT%

1

c.Iimf(X)=/(/)D.Iimf(x)=Iim/(x)

*->*dX→ΛθΛ→Λ,θ

（二）填空题

1•函数/⑴=^——-+ln(l+%)的定义域是_{x11>3}

2.已知函数/&+1)=χ2+X,则/(x)=χ2-χ

3.1im(l+—)t=___________.

XfoO2x

1J2Λ×--

Iim(l+—尸=lim(l+—)2=e2

A→∞2Xχ→∞2X

4.若函数/(χ)=∣(l+x)*，x<°,在X=O处连续，则％=」.

x+Z,X≥0

x÷l,%>0L

5.函数y=1的间断点是—X=O_________•

sinx,x≤0

6•若Iim/(x)=A,则当K->/时，/(x)-4称为_X→/时的无穷小量

(三)计算题

I.设函数

e%>O

/3=

X,X≤O

求：/(-2)J(O)J(1).

解：/(-2)=-2,“0)=0,/⑴=』=e

2∙求函数y=1g-的定义域.

2r—1X

2χ-i'1

解：y=lg..........有意义，要求4解得1χ>—或X<0

X2

则定义域为卜Ix<O或X>g

3.在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上,

试将梯形的面积表示成其高的函数.

2

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形Ac)E中，利用勾股定理得

AE=JoA2_。炉=JR2—〃2

则上底=2A£=2正一*

故S=∙∣∙(2R+2正_/)=MR+JRL/)

“卡sin3x

4.求Iim--------.

1。sin2x

sin3xsin3x

研sin3x3133

解：Iim--------=lιm^z⅜---------=IIm1：X—=-x—=—

χ→oSin2xXToSIn2xXTOsin2x2122

----------X

2x----------------2x

χ2-l

5•求Iim—~—.

XTTsin(x+1)

如V/—1.(工―l)(x+l).x-l—1—1

解：Iim................=I1im.........-........-=Iim^————=..........=-2

ESin(X+1)…Sin(X+1)ESln(X+1)1

%+1

tan3x

6•求Iim--------.

tan3x「sin3x1「sin3x1-,

解：Iim--------=Iim--------•--------=Iim--------X-----------×3=l×-×3=3

0

*→oXx→oXCoS3%χ→3%COS3x1

Jl+N-1

7.求Iim--------------.

soSinX

.Jl+炉-1(Jl+■-D(Jl+尢2+])f

.Iim---------------=Iim---------y--------------------------=Iim—,---------------------

XTosinX1°(Jl+尤2+1)Sin尤xf°(√l+x2+l)sinx

=Iim---------------------=------------=

5M+√+i)≡∑(ι+ι)χ∣

8.求lim()，

is%+3

(I-与[(I+—)-']-'-1

解：lim(二)jc=lim(—⅜)、=Iim-----^—=Iim------—--------=—=e~4

a00x+3%→∞

<1+-)[(l+y)3]3

3

3

„,,,.x~—6尤+8

9.求hm—----------

χf4χ--5x+4

解：lim⅛6x÷8^im(X14)(X22)=i.m^-2=4-2=2

v→4X2-5x+4x→4(x-4)(x-l)χ→4工一14-13

10∙设函数

(X-2)2,X>1

/(x)=<%,-1≤%≤1

x+1,X<-1

讨论/(x)的连续性，并写出其连续区间.

解：分别对分段点x=-l,x=l处讨论连续性

(1)

HmJ(X)=^mx=-I

Iimn/(x)=Iim(x÷l)=-l+l=O

I—.V—>—1—

所以Iim/(x)≠Iim/(%),即/(x)在X=-I处不连续

(2)

KSf(X)=独(x-2)2=(l-2)2=1

Iim/(x)=Iimx=I

“1)=1

所以Iim/(x)=lim∕(x)=∕(l)即/(%)在X=I处连续

由(1)(2)得/(x)在除点X=-I外均连续

故/(x)的连续区间为(-8,-1)U(T,÷∞)

4

高等数学基础作业2：

第3章导数与微分

（一）单项选择题

1.设/（0）=O且极限Iim存在，则iim2M=（C）.

.v→0XΛ→0X

A./(0)B./'(0)

C./(X)D.0Cvx

2•设AX）在X。可导，则Na22—）.

=(D)

,

A.-2∕(x0)B./'(/)

C.2∕'(x°)D.-尸(XO)

3.设/(χ)=e"则Iim川+』')—'⑴=(A).

CB2e

AC.11

-e-e

2D.4

4.设WX-I）Q：-2）…（X-99）,则/'（0）=（D）.

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列结论中正确的是（C）.

A.若/（x）在点与有极限，则在点XO可导.

B.若/（X）在点X。连续，则在点与可导.

C.若/（x）在点/可导，则在点与有极限•

D.若/（x）在点儿有极限，则在点XO连续.

（二）填空题

L设函数/（x）=<*sin7,*"°，则/（O）=0

0,X=O

2.设y（eA）=e2x+5et,则廿、尤）='InX+二.

dxXX

3.曲线/（尤）=五+1在（1,2）处的切线斜率是k=L

5

4.曲线/（χ）=SinX在（女，1）处的切线方程是y=*X=注（I-代）

4224

5•设y=Y)则V=2/%1+Inχ)

6•设y=xlnX,贝∣Jy"=—

X

（三）计算题

1•求下列函数的导数V：

-31

(1)y=(xVx+3)e"y'=(%2+3)∕+]χ2/

(2)y=cotx+X2InXy,=-esc2x+x÷2xlnx

2xlnx+x

(3)y=---y

InxIn2X

cosx+2'x(-SinX+2"In2)-3(cosx+2v)

⑷y

Inx-x2SinM---2x)-(InX-X)cosx

⑸y=y

sinxsin2X

,d3SinX

(6)y=X4-sinxlnXy=4X--------CoSXl1nX

SinX+/3Λ(COSX+2x)-(sinx+x2)3vIn3

⑺y=---------y=----------------∑...............

3、32A'

⑻y=evtanx+In%y'=eλtanX+-------+—

cosXX

2•求下列函数的导数y'：

⑴y=e"

⑵y=Incosx3

3

,-sinxo2O2,3

y=-----—3x=-3XtanX

CoSX

(3)y=

6

N7二

y=χ8y,=—χ8

8

(4)y=∖∣x+y[x

11-1-

V=g(x+χ2)3(l+尸)

(5)y=cos2e*

y'=-e'Sin(2e*)

2

⑹y=cose'

y'=-2xexSineN

(7)y=sin"xcosnx

y,="sin'iXCOSXCoS〃X-〃sin〃xsin(〃X)

(8)y=5SinX*

V=2xln5cosχ25sinχ2

⑼y=es"x

V=Sin2xesin2χ

⑩y=x+e

2.2

y'=XΛ(x+2xlnx)+2xex

(IDy^=X-1-e

y'=x"(―——F-exInX)+ee'ex

X

3.在下列方程中，是由方程确定的函数，求

⑴ycosx=e2v

y'cosx-ysinx=2e2yy'

7

,—ysinx

)COSX-2e"

(2)y=Cosylnx

y,=Siny・)/In%+cosy」

CoSy

X(I+sinyinx)

2

(3)2xsiny=——

2xcosy.y'+2siny=2»X，‘y<2%cosy+-)=^^-2siny

,2Λ^-2ysiny

y=--------------------

2xy~cosy+x2

⑷y=尤+lny

y+ι

⑸InX+ev=y2

-+eyy'^2yy'

x(2y-ey)

⑹y?+1=e"siny

2yy,=e*cosy.y,+siny.ex

,exsiny

y=...........-..........

2y-e*CoSy

(7)ev=ev-V

8

eyy'=e'-3γ2y,

⑻y=5*+2>'

y'=5*ln5+y'2'1∏2

,5ΛIn5

y=

1-2yIn2

4.求下列函数的微分dy：

⑴y=cotx+cscx

-1CoSX

dy=(—2.....士一)办

cos%sinX

sinx

-Sinx-Inxcosx

办、J^—公

(3)y=arcsin

(4)y=*

V1+x

两边对数得：lny=∣[ln(l-Λ)-ln(l+x)]

X=L^-----—)

y3I-X1+x

⑸y=SinZ"

9

办=2Sinexexexdx=sin(2e')C

(6)y=tanev

dy=sec2ex3xd=3//sec2xdx

5.求下列函数的二阶导数：

(Dy=XlnX

V=I=InX

"I

y=-

(2)y=χsinx

yf=XCOSX+sinx

yrt=-XSinX+2CoSX

(3)y=arctanx

y=T7√

_2x

y--(1+4)2

⑷y=3’

222

y'=2x3"ln3∕=4X23XIn23+21n3∙3r

(四)证明题

设/(X)是可导的奇函数，试证/'(X)是偶函数.

证：因为f(x)是奇函数所以/(-X)=-/(%)

两边导数得：∕,(-x)(-l)=-∕,(%)nf'(-χ)=/(X)

所以/'(X)是偶函数。

10

高等数学基础作业3：

第4章导数的应用

(-)单项选择题

L若函数/(X)满足条件(D),则存在ξe(a,b),使得/'C)=/3)-"")

b-a

A.在(α,与内连续B.在(a,加内可导

C.在(4,加内连续且可导D.在［a,"］内连续,在(a,")内可导

2•函数/a)=/+4Χ一1的单调增加区间是(D)•

A.(—8,2)B.(-1,1)

C.(2,+oo)D.(-2,÷∞)

3•函数y=/+4χ-5在区间(一6,6)内满足(A).

A.先单调下降再单调上升B.单调下降

C.先单调上升再单调下降D.单调上升

4•函数/(x)满足/'(X)=0的点,一定是了(x)的(C).

A.间断点B.极值点

C.驻点D.拐点

5.设/(X)在(a,份内有连续的二阶导数，Xoe(a,6),若/(x)满足(C),则/(x)在/取到极小

值.

A.((Xo)>0,/"(Xo)=OB.f'(%)<0,Ir(Xo)=O

C.C(Xo)=O，〃(％)>0D.Γ(x0)=o,Γ(⅞)<o

6.设/(χ)在(a,份内有连续的二阶导数,且/'(x)<0J"(x)<0,则/(x)在此区间内是(A).

A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的

C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的

(-)填空题

1.设/(x)在(a,。)内可导,x0∈(a,⅛),且当x<X(,时r(x)<0,当x>/时/'(x)>0,则x°是

/(%)的极小值点.

2∙若函数/(x)在点Xo可导，且XO是/(x)的极值点，则/'(∙⅞)=-Q________•

3.函数y=ln(l+/)的单调减少区间是(-8,0).

4.函数/(x)=e-的单调增加区间是(O,+oo)

5.若函数/(X)在［α,切内恒有Ir(X)<O,则/(x)在［a,旬上的最大值是/(a).

6.函数/(x)=2+5x-3∕的拐点是χ=o.

(三)计算题

1∙求函数y=(x+l)(x-5)2的单调区间和极值.

令V=(X+1)2(X+5)2=2(X-5)(x—2)

=驻点X=2,x=5

列表：X2(2,5)5

(-∞,2)(5,+∞)

+极大极小+

y

极大值：/(2)=27

y上升27下降O上升

极小值：/(5)=0

2∙求函数y=X2-2X+3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值.

令：/=2x-2=OnX=1(驻点，

/(0)=3/⑶=6AI)=2

=＞最大值/⑶=6

n最小值/(1)=2

3.试确定函数y=0√+次2+B+d中的α,zj,c,d,使函数图形过点(-2,44)和点(1,一10),且

x=-2是驻点，x=l是拐点.

44=-8〃+4∕?-2Λ+Ja=1

-10=a+b+c=db=-3

解：1

O=12α-4Z?+Cc=16

0=6α+2bd=-24

4∙求曲线V=2尤上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.

12

解：设p(x,y)是V=2x上的点，d为P到A点的距离，则：

d=J(X—2)2+y2=J(X—2)2+2x

人/2(%—2)+2X-I八

令d=—/==.==O=>x=1l

2J(X—2)~+2xJ(x—2)~+2x

Ay2=2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。

5∙圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为£,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

设园柱体半径为R,高为h,则体积

K=τιR~h=乃(V—/M

令.∙V'=π[h(-2h)+Lr-h2]=π[[}-3h2]=0nL=®h=∣L

R=^L当/?=冬R=&时其体积最大。

6.—体积为I/的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

设园柱体半径为R,高为h,则体积

成表成力+成上+成

V=2〃SMJ=222=222

衣UllR

nE="』"=?V

令.∙S'=-2VR<+4戒=0

2万∖2»

答：当R=??—时表面积最大。

7.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底连长为X,高为h。贝1J:

,62.5

62.5=x'h=>〃=——

X

25()

侧面积为：S=∙√+4xA=√+-

nd=125nx=5

答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

(四)证明题

1.当x>0时，证明不等式x>ln(l+x).

13

证：由中值定理得：皿I型)=皿ι+^二Inl=-L<1(∙.∙g>o)

X(1+x)-11+J

n“"+')<1nX>ln(l+x)(当%>0f⅛)

2.当χ>0时，证明不等式e">x+l.

⅞⅜∕(x)=e*-(x+l)

尸(X)=e*-1>0(当％>OBjJn当％>00寸/(x)单调上升且/(0)=0

.,./(x)>0,即e">(x+1)证毕

14

高等数学基础作业4：

第5章不定积分

第6章定积分及其应用

(-)单项选择题

1•若/(x)的一个原函数是则/∙'(x)=(D).

X

II」12

A.1∏AJB.-----—C.—D.——

XXX

2.下列等式成立的是(D).

AJr(X)dx=/(x)B.J"(x)=∕(x)C.d∫/(x)dx=/(%)D.^∫∕(x)dΛ=/(%)

3•若/(x)=CoSx,则∫/'(x)dx=(B).

A.SinX+cB.COSX+cC.-SinX+cD.-cosx+c

4.—[x2∕(x3)dx=(B).

drj

A./(x3)B.//(尤3)c.∣∕(x)D.∣∕(%3)

5.若J7(χ)<k=尸(X)+c,则(B)•

A.F(Vx)+cB.2F(Vx)+cC.F(2五)+cD.F(√x)+c

6.由区间3,切上的两条光滑曲线y=/(x)和y=g(x)以及两条直线x=a和x=6所围成的平面区

域的面积是(C).

A.∫Lf(X)-g(x)]dxB.