《机械控制工程基础 第2版》 课件 王洁 第3、4章 控制系统的数学模型、控制系统的时间响应

1第3章控制系统的数学模型控制系统数学模型系统方框图及简化3系统方框图组成与建立，方框图等效变换和简化系统的微分方程1建立方法，线性系统负载效应，列写步骤系统的传递函数2定义和特点，零点、极点，典型环节的传递函数相似原理54系统信号流图及梅森公式系统的信号流图、梅森公式及其应用建立系统数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作，或者说是基础工作。3.1系统的微分方程微分方程定义：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，利用它可得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。机械系统电学系统热力系统液压系统牛顿第二定律达朗贝尔原理基尔霍夫定律热力学定律及能量守恒定律流体力学的有关定律常见系统类型及建立方法：3.1.1微分方程的建立方法机械系统的微分方程，通常都可以用牛顿第二定律来建立。

公式表示牛顿第二定律：

一物体的加速度，与其所受外力的合力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力方向一致；

或：作用在物体上的合外力与该物体的惯性力构成平衡力系。机械系统中以各种形式出现的物理现象，多数都可以用质量、弹簧和阻尼三个要素来描述。质量-弹簧-阻尼系统是最常见的对机械系统的抽象。3.1.1微分方程的建立方法质量-弹簧-阻尼系统各部分基本物理规律：质量块由牛顿运动定律：3.1.1微分方程的建立方法弹簧由胡克定律：弹簧压缩量3.1.1微分方程的建立方法粘性阻尼（液压、气压活塞推杆等）阻尼器两部分相对运动速度3.1.1微分方程的建立方法用牛顿第二定律，列运动微分方程：这是一个系统吗？输入是什么？输出是什么？如何建立描述输入输出之间关系的数学模型？平移机械系统：质量-弹簧-阻尼系统3.1.1微分方程的建立方法解对质点m分析，利用牛顿第二定律建立微分方程：因为质量很小，近似为零，上式变为：将输出项和输入项分别写在方程左右两端：3.1.2线性系统的负载效应负载效应含义：当两个元件相连接时，其中一个元件的存在，影响了另一个元件在相同输入下的输出，这时系统元件间存在着负载效应消除负载效应：首先设定一个中间位移量，再应用牛顿第二定律或者达朗贝尔原理求解。

3.1.2线性系统的负载效应例3-5

为图3-7所示的双弹簧-质量机械系统建立微分方程模型，其中输入为作用在质点m上的力f(t)，输出为质点m的位移x(t)。3.1.3线性系统的负载效应分析m，得：(1)

分析A，得：由上式，得：将上式代入（1）式，得包含输出量x(t)的项写在方程左边，包含输入量f(t)的项写在右边，并且各阶导数项按降幂排列，整理得系统微分方程为：3.1.4系统的叠加原理线性元件或线性系统：当数学模型能用线性微分方程描述时，这样的元件或系统称为线性元件或线性系统。单输入、单输出线性系统的微分方程模型：线性系统：ai，bj与y(t)、x(t)及其微分无关定常系统：ai，bj与时间无关时变系统：ai，bj与时间有关3.1.4系统的叠加原理当

时，方程解为；当

时，解为

。如果

，解均匀性（或齐次性）当

时，式中A为常数，方程的解是线性系统的重要性质：可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义，即具有可叠加性和均匀性（或齐次性）。

可叠加性3.1.4系统的叠加原理线性系统的叠加原理表明：

两个外作用同时施加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。当外作用的数值增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统输出，然后将它们叠加。线性系统的叠加原理的应用，能够简化线性系统的研究工作。3.1.6微分方程的列写步骤列写微分方程的一般步骤：1、确定系统或各元件的输入、输出。2、按照信号的传递顺序，从系统输入端开始，根据物理定律列写微分方程。考虑相邻元件间是否存在负载效应，若存在负载效应，要设一个中间变量，消除元件间的耦合效应。对非线性项应进行线性化处理。3、消除各方程中的中间变量，得到描述系统输入、输出量关系的微分方程。4、整理所得微分方程与输出量有关的各项，放在方程左侧；与输入量有关的各项，放在方程右侧；各阶导数项按降幂排列。3.2系统的传递函数控制系统的微分方程，是在时间域描述系统性能的数学模型，这种方法直观。但是，如果系统结构改变或参数变化，需要重新列写求解微分方程，并且复杂系统高阶微分方程求解也非常复杂。如果对微分方程进行拉普拉斯变换，即变成代数方程（在复数域中），将使方程求解简化。用拉普拉斯变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型，即传递函数。传递函数不仅可以表征系统特性，而且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。3.2.1传递函数的定义和特点定义：对于线性定常系统，在零初始条件下（初始输入和输出及它们的各阶导数均为零），输出象函数Xo(s)与输入象函数Xi(s)之比，称为系统传递函数，用G(s)表示：因此，系统输出可写为：系统在时域中的输出为：3.2.1传递函数的定义和特点设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：设该系统满足零初始条件，对上式两边取拉氏变换得：由定义得系统传递函数为：3.2.1传递函数的定义和特点例3-8试求图3-1a所示的弹簧-质量-阻尼器机械位移系统的传递函数3.2.1传递函数的定义和特点解

弹簧-质量-阻尼器机械位移系统的微分方程为令X(s)=L[x(t)]、F(s)=L[f(t)]，在零初始条件下，对上述方程中各项进行拉氏变换，得：由传递函数定义，得系统的传递函数为3.2.1传递函数的定义和特点传递函数特点：(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；分母中s的阶数n通常不小于分子中s的阶数m，且所有系数均为实数。(2)传递函数的分母与分子，分别反映系统本身与外界无关的固有特性和系统与外界之间的关系。(3)若输入已经给定，则系统的输出完全取决于传递函数。(4)传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲，取决于系统的输入和输出。(5)物理性质不同的系统、环节或元件可以有相同形式的传递函数，传递函数并不能描述系统的物理结构。3.2.2零点、极点和放大系数系统传递函数经因式分解后，可以写成如下一般形式：K为常数零点：当

时，均能使

，故称

为传递函数

的零点。极点：当

时，均能使

分母为0，即使

取极值，故称

为传递函数

的极点。系统传递函数的极点也就是系统微分方程的特征根。

3.2.2零点、极点和放大系数例如，某对象的传递函数是分子、分母分别进行因式分解，得到所以，

有两个零点：-2、1，有三个极点：-1、-2+j、-2-j。3.2.3典型环节的传递函数常见的典型环节有：比例环节、微分环节、积分环节、一阶微分环节、一阶惯性环节、二阶微分环节、二阶振荡环节和延时环节。（1）比例环节（或称放大环节）定义：如果一个环节的输出与输入成正比例，则称此环节为比例环节。微分方程可写为：传递函数为：其中，K为环节的放大系数或增益3.2.3典型环节的传递函数（2）微分环节定义：微分环节的输出正比于输入的微分，即具有如下形式微分方程：传递函数为：其中，T为微分环节的时间常数3.2.3典型环节的传递函数（3）积分环节定义：积分环节的输出正比于输入对时间的积分，即具有如下形式微分方程传递函数为：其中，T为积分环节的时间常数3.2.3典型环节的传递函数（4）一阶微分环节一阶微分环节的微分方程具有如下形式：传递函数为：其中，

K为放大系数；T为时间常数3.2.3典型环节的传递函数（5）一阶惯性环节一阶惯性环节的微分方程具有如下形式：传递函数为：其中，T为惯性环节的时间常数3.2.3典型环节的传递函数例3-14如图3-15所示的质量-阻尼-弹簧系统，

为输入位移，

为输出。当质量相对很小时可以忽略，建立微分方程有经拉氏变换，求得其传递函数为式中，

为惯性环节的时间常数。图3-15质量-阻尼-弹簧系统（二）3.2.3典型环节的传递函数（6）二阶微分环节二阶微分环节的微分方程具有如下形式：传递函数为：只有当微分方程具有复根时，才称其为二阶微分环节。如果有实根，则可以认为这个环节是两个一阶微分环节串联而成的。3.2.3典型环节的传递函数（7）二阶振荡环节二阶振荡环节的微分方程具有如下形式：传递函数为：或写成：式中，

n为无阻尼固有频率，

为阻尼比，

T为二阶振荡环节的时间常数3.2.3典型环节的传递函数例3-17

如图3-18所示的质量-阻尼-弹簧系统，位移xi(t)为系统输入，位移xo(t)为输出。对上式取拉氏变换，得传递函数该系统无阻尼固有频率阻尼比和时间常数T分别为建立微分方程有图3-18质量-阻尼-弹簧系统3.2.3典型环节的传递函数（8）延时环节（或称迟延环节）延时环节的输入与输出之间有如下关系：传递函数为：式中，

为延迟时间延时环节与惯性环节的区别在于：惯性环节从输入开始时刻就已经有输出，仅由于惯性，输出需要滞后一段时间才接近于所要求的输出量；延时环节在输入开始之初的1~

的区间内，并无输出，但当

t=

之后，输出就完全等于输入。3.3系统方框图的组成系统传递函数只表示输入和输出两变量的关系，无法反映系统中信息传递过程。控制系统的框图，即系统方框图，是系统数学模型的图形表示形式，不仅能简明表示系统内部各环节的数学模型，而且能够表示控制系统中各环节间的关系、以及信号的传递过程。3.3.1系统方框图的组成信号线

信号线是带有箭头的直线。箭头表示信号流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。比较点（或相加点）比较点是进行信号之间代数加减运算的元件，用符号

及“

”表示。方框

方框中写入元部件或系统的传递函数。方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积。分支点

同一信号要传送到不同元件上时，可通过在分支点上引出若干信号线。箭头表示引出信号的传递方向，引出信号的量纲和数值完全相同。控制系统的框图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成的.包含以下四种基本单元：3.3.2系统框图的建立步骤(1)建立系统（或元件）的微分方程；(2)对这些微分方程进行拉氏变换，整理成输入输出关系式；(3)将每一个输入输出关系式用框图单元表示；(4)按照信号在系统中传递、变换的过程（即流向），将各框图单元中相同的信号连接起来。

将系统的输入画在左侧，输出画在右侧，构成控制系统完整框图。3.3.2系统框图的建立步骤例3-20绘制例3-3中图3-5所示电网络系统的方框图。解

系统的微分方程为：对各式进行拉氏变换：图3-53.3.2系统框图的建立步骤将上面各环节的框图按信号的传递、变换过程连接起来，组合成系统的总框图：根据上述各式绘制各环节框图：①②③④①②③④3.3.3系统框图的等效变换和简化对于实际系统，特别是对于自动控制系统，通常用多回路的框图表示，如大环回路套小环回路，其框图非常复杂。为便于分析与计算，需要对复杂框图进行简化；简化成只有输入、输出和总传递函数形式；方框图的变换应按等效原则进行；所谓等效，是对方框图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出之间总数学关系应保持不变。一.等效变换规则(1)串联环节的等效变换规则前一环节的输出为后一环节的输入的连接方式称为环节的串联连接。方框串联连接时,等效传递函数等于各方框传递函数乘积。3.3.3系统框图的等效变换和简化等效一.等效变换规则(2)并联环节的等效变换规则各环节输入相同，总输出为各环节输出的代数和，这种连接方式称环节并联。方框并联连接时的等效传递函数等于各个方框传递函数之和。3.3.3系统框图的等效变换和简化等效一.等效变换规则(3)反馈连接及等效原则若传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框，按下图形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号是负反馈，表示相减。3.3.3系统框图的等效变换和简化G(s)前向通道传递函数：输出Xo(s)与偏差E(s)之比H(s)称为反馈回路传递函数。开环传递函数GK(s)：前向通道传递函数与反馈回路传递函数的乘积，也是反馈信号B(s)与偏差E(s)之比。一.等效变换规则(3)反馈连接及等效原则3.3.3系统框图的等效变换和简化GB(s)系统闭环传递函数:

输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比.正号:对应负反馈连接负号:对应正反馈连接若反馈回路传递函数H(s)=1，称为单位反馈。单位反馈：反馈回路传递函数H(s)=1一.等效变换规则(3)反馈连接及等效原则3.3.3系统框图的等效变换和简化反馈连接时的等效传递函数，等于前向通道传递函数除以1加(或减)前向通道传递函数与反馈回路传递函数的乘积。式中正号对应负反馈连接，负号对应正反馈连接。注：正反馈是反馈信号加强输入信号，使偏差信号E(s)增大时的反馈；而负反馈是反馈信号减弱输入信号，使偏差信号E(s)减小的反馈。等效分支点前移

分支点由方框之后移动到该方框之前。为了保证移动后分支信号不变，应在分支路上串入具有相同传递函数的方框。分支点后移

分支点由方框之前移到该方框之后。为了保持移动后分支信号不变，应在分支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框。一.等效变换规则3.3.3系统框图的等效变换和简化(4)分支点移动原则相加点后移

相加点由方框之前移到该方框之后。为了保持总的输出信号不变，应在移动的支路上串入具有相同传递函数的方框。相加点前移

相加点由方框之后移到该方框之前。应在移动的支路上串入具有相同传递函数的倒数的方框。一.等效变换规则(5)相加点移动原则3.3.3系统框图的等效变换和简化分支点间移动、或相加点间移动，均不改变原有数学关系，可以相互移动。分支点与相加点之间，不能相互移动，因为它们并不等价。一.等效变换规则(6)分支点之间、相加点之间相互移动规则相加点间可以移动分支点间可以移动3.3.3系统框图的等效变换和简化例3-21将图3-30a所示的三环回路方框图简化，并求系统传递函数。解

1)回路I的相加点前移至A点，前移支路中串联入一个传递函数为1/G1的方框，图（a）

（b）。(a)(b)3.3.3系统框图的等效变换和简化

2）回路II为带有正反馈的闭环回路，利用环节串联及反馈计算公式，将回路II化简为一个传递函数，图(b)(c)。(c)3）利用反馈计算公式将局部闭环回路化简为一个传递函数，使之成为单位反馈的单环回路，图(c)(d)。(c)(d)4）图(d)为单位反馈的单一闭环回路，利用单位反馈计算公式得到单一向前传递函数，即元系统的闭环传递函数，图(d)(e)。(e)3.3.3系统框图的等效变换和简化例3-22

试简化图3-31系统结构图，并求系统传递函数

。图3-31解

1)将G1(s)与G2(s)之间的相加点前移、G1(s)后面的分支点后移，移动后的系统方框图如图3.32(a)所示。图3.32(a)3.3.3系统框图的等效变换和简化

2)将H1(s)、1/G1(s)和1/G2(s)三个环节进行并联计算，图(a)进一步被简化为图(b)。图3.32(b)3)最后进行负反馈运算，得系统传递函数为：图3.32(b)3.3.3系统框图的等效变换和简化习题3-33-3

求图3-44所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，cm为圆周阻尼，J

为转动惯量。图3-44系统输入为M（即M(t)），输出为θ（即θ(t)），分别对圆盘和质块进行动力学分析。列写动力学方程如下：(1)(2)由(1)式得计算

，

代入(2)式即可得系统的微分方程：解：习题3-18解：根据牛顿第二定律，分别对质量m1和m2建立系统运动方程：(1)(2)进一步整理,假设初始条件为零，对上两式进行拉氏变换，得到消去中间变量X(s)，整理后即得简化的汽车悬挂系统传递函数为习题3-143-14求出图3-52所示系统的传递函数Xo(s)/Xi(s)。图3-52解：经过分支点前移、并联运算后，方框图简化为：再依次进行3次反馈运算，得到系统传递函数为：55第4章控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法二阶系统时域分析3时间响应的组成及主要性能指标1一阶系统时域分析2高阶系统时域分析54二阶系统的性能指标本章知识结构4.1时间响应的组成及主要性能指标时间响应的组成：时间响应一般是指在初始状态为零时，系统在外加激励作用下，系统的输出随时间变化的函数关系。（1）瞬态响应：系统在外加激励作用下，其输出由初始状态到稳定状态的响应过程，称为瞬态响应，也称过渡过程或暂态响应。（2）稳态响应：系统在外加激励作用下，当时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应。4.1.1时间响应的组成某系统在单位阶跃信号l(t)作用下的时间响应。系统输出在t=ts时达到稳定状态，在0→ts时间内的时间响应过程称为瞬态响应;当t→∞时系统的输出称为稳态响应。4.1.2动态过程及其性能指标

动态过程又称过渡过程或瞬态过程，是指在典型信号输入下，控制系统的输出量从初态到终态，表现为衰减，发散或等幅振荡的形式。

一般认为，阶跃信号输入对系统是最严峻的工况，系统在单位阶跃信号作用下，动态过程随时间t变化的指标，称为动态性能指标。4.1.2动态过程及其性能指标

（1）上升时间tr:响应曲线由零开始第一次上升到稳态值所需要的时间。对于无振荡系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需时间即为上升时间tr，它是系统响应速度的一种度量。（2）峰值时间tp:响应曲线超过其稳态值并到达第一个峰值所需要的时间。（3）最大超调量Mp:响应曲线的最大偏离量与稳态值的差比上稳态值的百分数。（4）调整时间ts:响应曲线到达并保持在稳态值的5%或2%内所需要的最短时间。4.1.3.典型输入信号控制系统的时间响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加的输入信号有关。4.2一阶系统时域分析4.2.1.一阶系统数学模型能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。·其中xi(t)为输入信号，xo(t)为输出信号，T称为一阶系统的时间常数。·将上式进行拉氏变换得到一阶系统的传递函数为：4.2.2一阶系统的单位阶跃响应

当输入信号为单位阶跃信号时，系统的输出称为单位阶跃响应。·输入信号：

·输出信号：4.2.2一阶系统的单位阶跃响应（1）一阶系统的单位阶跃响应曲线是一个单调上升的指数曲线，其瞬态项为，稳态项为1。（2）可以用时间常数T去度量系统输出量的数值，当t≥4T时，其响应值已达到稳态值的98%以上，即系统的过渡过程时间为ts=4T。（3）时间常数T反映了一阶系统的固有属性，T值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快。（4）当t=0时响应曲线斜率初始值为1/T，随时间下降。4.2.2一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应的动态性能指标·（1）上升时间tr

：·（2）调整时间ts

：·（3）最大超调量Mp：Mp=04.2.3.一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为单位脉冲信号时，系统的输出称为单位脉冲响应，特别记为·输入信号：·输出信号：

4.2.3一阶系统的单位脉冲响应（1）一阶系统的单位脉冲响应曲线是一个单调下降的指数曲线，无稳态项，其瞬态项为（2）可以用时间常数T去度量系统输出量的数值，当t≥4T时，其响应值已衰减到响应初值的2%以上，即系统的过渡过程时间为ts=4T。（3）可见时间常数T反映了一阶系统的固有属性，T值越小，系统的惯性就越小，系统的响应就越快。

4.2.3一阶系统的单位脉冲响应（4）当t=0时，响应曲线斜率初始值为，并随时间而下降，初始斜率特性也常用于确定一阶系统时间常数。（5）工程上常用脉冲信号输入来测定系统的传递函数，但无法施加理想的脉冲信号，常用一定宽度t0的矩形信号代替，一般要求4.2.4一阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号时，系统的输出称为单位斜坡响应。·输入信号：

·输出信号：4.2.4一阶系统的单位斜坡响应（1）一阶系统的单位斜坡响应曲线是一个与输入斜坡信号的斜率相同，但时间滞后T的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差其值正好等于时间常数T；一阶系统的瞬态分量。其瞬态项为衰减非周期函数，稳态项为（t-T）；（2）在初态下初始位置与初始斜率均为零；（3）在斜坡响应中，输出量与输入量间误差为：。其误差随时间增大而增大，最后趋于常数T，时间常数T越小，误差越小，跟踪准确度就越高。4.2.5响应之间的关系线性定常系统对某输入信号的导数或积分的响应，等于系统对该信号响应的导数或积分。该特点适用于任意阶次的线性定常系统，线性时变系统和非线性系统均不具备该特点。4.2.6实例例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数为，求系统的单位阶跃响应。解：该系统的闭环传达函数为输入信号为

，拉氏变换为

，无初始条件时系统输出的拉氏变换为：取拉氏反变换得到系统的单位阶跃响应4.2.6实例该题也可以将系统分解成比例环节串联惯性环节，即利用公式直接得到4.2.6实例例4-2已知系统如图所示，求系统的单位阶跃响应。解：该系统的闭环传递函数为该系统简化为两个惯性系统并联的形式，其中一个比例系数为，时间常数为10，一个比例系数为，时间常数为1，根据公式，可以得到系统的单位阶跃响应为：4.3二阶系统时域分析3.3.1.二阶系统数学模型能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其中xi(t)为输入信号，xo(t)为输出信号，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比，将上式进行拉氏变换得到二阶系统的传递函数为：4.3.2二阶系统特征根的分布二阶系统特征方程为：二阶系统特征方程的特征根为(1)当系统为欠阻尼系统，两个特征根为共轭复数(2)当系统为无阻尼系统，两个特征根为共轭纯虚根(3)系统为临界阻尼系统，两个特征根为相等的负实根(4)系统为过阻尼系统，两个特征根为不相等的负实根4.3.3二阶系统的单位阶跃响应输入信号：输出信号：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>1

d为有阻尼固有频率4.3.3二阶系统的单位阶跃响应·（1）系统为欠阻尼时，响应是一个幅值衰减的正弦曲线，稳态项为1，瞬态项是一个随时间增长而衰减的振荡过程，衰减的快慢取决于指数ωn

的大小。·（2）系统为无阻尼时，响应是一个等幅振荡的正弦曲线，无稳态项。

·（3）系统为临界阻尼时，响应是一个单调收敛的指数曲线，稳态项为1，没有正方向的超调量。4.3.4

二阶系统的单位脉冲响应输入信号：输出信号：（1）0<

<1（2）

=0（3）

=1（4）

>14.3.4

二阶系统的单位脉冲响应·（1）系统为欠阻尼时，单位脉冲响应是幅值衰减的正弦曲线，其稳态项为0，瞬态项是一个随时间增长而衰减的振荡过程，衰减的快慢取决于指数ωnξ值。·（2）系统为无阻尼时，二阶系统的单位脉冲响应是等幅振荡的正弦曲线，无稳态项。·（3）系统为临界阻尼时，单位脉冲响应是单调衰减曲线，稳态项为0，没有负方向超调量。4.3.4

二阶系统的单位脉冲响应例4-4二阶系统可以看成积分环节和惯性环形的串联，如图所示，其中T>0，K>0，试求此时系统的固有频率ωn和阻尼比ξ。解：系统的闭环传递函数为：故而，系统固有频率和阻尼比分别为：4.3.4

二阶系统的单位脉冲响应例4-5如例3-4中T=5，K=20，试求该