线性代数第二章习题课

第二章矩阵习题课关于逆矩阵的几个公式：设方阵A可逆，|A|≠0(1)|A-1|=|A|-1|A-1A|=|A-1||A|=|E|=1|A-1|=|A|-1(2)(3)两边取行列式|A-1|(4)或A(5)1.(P76-14)证明:如果=A,且A不是单位矩阵，则A必为奇异矩阵。注意：下边证法有问题：对A(A-E)=O.∵A≠E∴A=O

则︱A︱=0.这是因为AB=O不能推出A=O或B=O.若A非奇异,则︱A︱≠0,存在。对A2-A=A(A-E)=O有A-1A(A-E)=A-1O=O∴A-E=O即A=E,这与已知矛盾。故假设A非奇异不对。从而A奇异，︱A︱=O.证明：反证，2.(P76-16 )已知,k为某一正整数。 证明矩阵E-A可逆，且=E+A+++…∴E-A可逆.=E+A+++…且=E+A+++-A----……=E-有(E-A)(E+A++

+）…由公式(1-a)(1+a++···+)解:=E3.设A,B为n阶方阵，若E–AB可逆，则E-BA

可逆。证：∵(E–AB)A=A–ABA=A(E–BA)∴(E–AB)A=A(E–BA)

又E–AB可逆，∴A=A(E–BA)而E=E–BA+BA=E–BA+BA(E–BA)=[E+BA](E–BA)∴E–BA可逆，且=E+BA上式左乘设上题中A,B为可逆方阵，且E–AB可逆，证明E–BA可逆。则(E-BA)X=E(A–ABA)X=A又A可逆,证：设=X∵E–AB可逆，∴X==A两边左乘A:得(E–AB)AX=A可得AX=A5.01020001设A=，求解：-2010-1000-2==0102000100030003-==E=6.A是四阶数量矩阵，且︱A︱=16,求故A1,2=±2E,

解：由题意，设A=,

则︱A︱=∴a=±2aaaa=证明：若A是反对称矩阵，且︱A︱≠0,则也是反对称矩阵。证：︱A︱≠0∵又A=-A′故A

也是反对称矩阵。﹣1′∴()′=(A)=(-A)=-A﹣1﹣1﹣18.设三阶矩阵A,B满足BA=6A+BA,其中A=求B.对BA=6A+BA两边右乘：B=6E+B(-E)B=6E而-E=-=34700010001

36解：∵A=×

×=≠0,∴A可逆。=

21－1故B=6(-E)==6－1

366∴(-B)可逆，∵|A-1-B|=36≠0,9.设A,B是三阶方阵，A=-1,B=5,求解:=====10.(P77-7)解：====11.(P77-8)解：∵A≠0,∴A可逆A*=-12n51==A5151nnA)-11

A

(-=51n)1﹡﹡(5)151A

A-=(-

A

A151=nn12.设A为三阶方阵，且A=2,求①,②A*,③(A*)*,④.解：∵A=2≠0,∴A可逆，则①=②A*或：③A可逆时，有(A*)*=A,(n≥2)注意④由②设A=矩阵X满足AX+E=其中E是三阶单位矩阵，求X.解：由AX+E= 得（A-E）X=∵故X=13.14.(P76-20)解法1：由定义A*=A11A21A31A12A22A32A13A23A33a11a21a31a12a22a32a13a23a33＝A′＝题知对AA*=A*A=AE

取行列式有AA*=AA′=AE∵A=又a11≠0(即A≠O)∴|A|＞0,行列式按第i行展开（i=1,2,3)≥0,|A|=1解法2：由解法1知A＞0,∴A可逆由已证公式：,（此题中n=3)且由题知A*=A′15.(P78-11)共经过m×n次列交换利用已知结果解：16.(P78-12)∵A＜0∴A=-1=-(E+A)′=-E+AA+E=A+AA′=AE+A′解：由AA′=E

得,A=±1由2A+E=0