2025届江苏省南京市高三学业水平调研考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，则的真子集个数为（）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个〖答案〗C〖解析〗集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，所以有3个元素，共有个真子集.故选：C.2.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，则，显然，所以点第一象限，A正确.故选：A.3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（）A.79 B.80 C.81 D.82〖答案〗B〖解析〗由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即，解之得，所以该名考生面试的平均得分为.故选：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为,所以，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C.5.若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，依题意，，，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为，设，即，则，所以的最小值为.故选：D.6.设数列an的前项和为，，，若，则正整数的值为（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021〖答案〗C〖解析〗由，两边取倒数可得：，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令由且，则，由，则，则，所以，故，则正整数的值为2022．故选：C.7.已知双曲线，在双曲线C上任意一点处作双曲线C的切线（），交C在第一、四象限的渐近线分别于A、B两点．当时，该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，设双曲线C在点P处的切线为l，切线l与x轴交于点D，根据题意点P在双曲线第一象限，由，得，所以，则在点的切线斜率为，所以在点的切线方程为，令，得，所以点，设点Ax1,y1，B解得，所以点，同理可得，又，，所以点P是线段AB的中点，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.8.在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗在中，由，得，即，则，由为整数，得，，，整理得，而，且均为整数，则，由，解得，由，解得，由正弦定理得，则，由D为AC中点，得，则，所以.故选：D.三、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）A.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形B.存在点P，使得平面C.若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分D.若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为〖答案〗AC〖解析〗对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，且，又，则，且，因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设点，其中，，，设平面的法向量为，则，取，得，对于B,，若存在点，使得平面，则，于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；对于C，平面平面，则，若点到直线与到直线的距离相等，则，平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，而，则，令，得；令，得，线段的中点，于是P点轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D错误.故选：AC.10.芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：，）A. B.C. D.取得最大值时，M的估计值为54〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由题意可知：，故A正确；对于B，由，则，又，于是，即，因此，即，则，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，设，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，故D错误.故选：ABC.11.麦克斯韦妖(Maxwell’sdemon)，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量x所有取值为1，2，…，n，且，，定义X信息熵，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，若，则与正相关C.若，则D.若，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A,若,则,因此正确；对于,当时,令,则即函数在上单调递增,所以与正相关，B正确;对于,则,则,而,于是令则,两式相减得，因此，C错误；对于由于Pi>0(i=1,2,⋯,2m)则log2因此Pi所以,所以成立,D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________．〖答案〗〖解析〗正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形中，，因为，则该梯形的高，所以该棱台的体积为.13.已知抛物线与抛物线在第一象限的交点为点A，抛物线与直线(e为自然常数)在第四象限的交点为点B，点O为坐标原点，则的面积为________．〖答案〗〖解析〗由，解得或，即点，由，当时，解得，即，点到直线的距离，而，所以的面积.14.已知函数满足，且，则______．〖答案〗或2021〖解析〗令，则，令，则，解得或.而，故.因此.则，即，因此或当时，时，此时；当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值；（2）若函数在内单调递减，求b的取值范围．解：（1）函数，求导得，依题意，，即，解得或，当时，恒成立，在R上单调递减，无极值；当时，，当时，，当时，，函数在处取极大值，满足题意，所以.（2）依题意，在上单调递减，则在上恒成立，因此在上恒成立，而当时，，则，所以b的取值范围是.16.4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．（1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．解：（1）依题意可得的可能取值为、、、，则，，，，所以的分布列为所以.（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，所以，设数列的前项和为，则.（ⅱ）依题意可得，，，当时，所以，所以为常数数列，又，所以，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，经检验当、上式也成立，所以.17.如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足.（1）若，求证：直线平面；（2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；（3）若，求直线与直线所成最大角的余弦值.解：（1）取的中点，连接，因为，所以M是线段上的中点，因此有，因为是矩形，N是线段上的中点，所以，因此有，所以四边形是平行四边形，所以有，而平面，平面，所以直线平面；（2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线，因为四边形是矩形，所以，即，而平面，所以平面，因为是矩形，所以，因为平面，平面，所以，而平面，所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立，因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线；（3）当时，由（2）可知：，所以是直线与直线所成角，设，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，当时，有最小值，最小值为，此时有最大值.则直线与直线所成最大角的余弦值为.18.已知双曲线与曲线有4个交点（按逆时针排列）（1）当时，判断四边形的形状；（2）设为坐标原点，证明：为定值；（3）求四边形面积的最大值．附：若方程有4个实根，，，，则，．（1）解：当时，四边形为正方形，理由如下：此时，又，，由，故四个交点坐标分别为，且⊥，为正方形；（2）证明：，将代入，，化简得，设，由“公式”知，，故．（3）解：记，，，．当在内部时，设，．当且仅当四边形为正方形取等．当在外部时，设，.综上，四边形面积最大值为8．19.称是的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，称包含的最小向往集合称为的生成向往集合，记为.（1）求满足的正整数的值；（2）对两个向往集合，定义集合.（i）证明：仍然是向往集合，并求正整数，满足；（ii）证明：如果，则.（1）解：设.注意到，所以，又，所以注意到集合，并且是向往集合，根据生成向往集合的最小性，有；因为，所以，另一方面，容易证明，因为中全都是2的倍数，所以，综上所述,即x=2.（2）证明：（i）用和（1）类似的方法可以得到，且.所以,所以，又因为生成向往集合的最小性，有，故得：x=6.下面证明是向往集合.任取，写出表示成有限和的形式，则也可以写成有限和的形式，容易证明其次，任意取，只需要把中的替换为即可，综上所述是向往集合.（ii）因为，因为，所以存在，有任取，有和，所以进而根据向往集合的性质（1），有任意取，有，因为，有，所以.江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，则的真子集个数为（）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个〖答案〗C〖解析〗集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，所以有3个元素，共有个真子集.故选：C.2.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，则，显然，所以点第一象限，A正确.故选：A.3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（）A.79 B.80 C.81 D.82〖答案〗B〖解析〗由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即，解之得，所以该名考生面试的平均得分为.故选：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗因为,所以，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C.5.若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，依题意，，，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为，设，即，则，所以的最小值为.故选：D.6.设数列an的前项和为，，，若，则正整数的值为（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021〖答案〗C〖解析〗由，两边取倒数可得：，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令由且，则，由，则，则，所以，故，则正整数的值为2022．故选：C.7.已知双曲线，在双曲线C上任意一点处作双曲线C的切线（），交C在第一、四象限的渐近线分别于A、B两点．当时，该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，设双曲线C在点P处的切线为l，切线l与x轴交于点D，根据题意点P在双曲线第一象限，由，得，所以，则在点的切线斜率为，所以在点的切线方程为，令，得，所以点，设点Ax1,y1，B解得，所以点，同理可得，又，，所以点P是线段AB的中点，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.8.在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗在中，由，得，即，则，由为整数，得，，，整理得，而，且均为整数，则，由，解得，由，解得，由正弦定理得，则，由D为AC中点，得，则，所以.故选：D.三、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）A.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形B.存在点P，使得平面C.若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分D.若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为〖答案〗AC〖解析〗对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，且，又，则，且，因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设点，其中，，，设平面的法向量为，则，取，得，对于B,，若存在点，使得平面，则，于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；对于C，平面平面，则，若点到直线与到直线的距离相等，则，平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，而，则，令，得；令，得，线段的中点，于是P点轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D错误.故选：AC.10.芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：，）A. B.C. D.取得最大值时，M的估计值为54〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由题意可知：，故A正确；对于B，由，则，又，于是，即，因此，即，则，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，设，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，故D错误.故选：ABC.11.麦克斯韦妖(Maxwell’sdemon)，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量x所有取值为1，2，…，n，且，，定义X信息熵，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，若，则与正相关C.若，则D.若，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A,若,则,因此正确；对于,当时,令,则即函数在上单调递增,所以与正相关，B正确;对于,则,则,而,于是令则,两式相减得，因此，C错误；对于由于Pi>0(i=1,2,⋯,2m)则log2因此Pi所以,所以成立,D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________．〖答案〗〖解析〗正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形中，，因为，则该梯形的高，所以该棱台的体积为.13.已知抛物线与抛物线在第一象限的交点为点A，抛物线与直线(e为自然常数)在第四象限的交点为点B，点O为坐标原点，则的面积为________．〖答案〗〖解析〗由，解得或，即点，由，当时，解得，即，点到直线的距离，而，所以的面积.14.已知函数满足，且，则______．〖答案〗或2021〖解析〗令，则，令，则，解得或.而，故.因此.则，即，因此或当时，时，此时；当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值；（2）若函数在内单调递减，求b的取值范围．解：（1）函数，求导得，依题意，，即，解得或，当时，恒成立，在R上单调递减，无极值；当时，，当时，，当时，，函数在处取极大值，满足题意，所以.（2）依题意，在上单调递减，则在上恒成立，因此在上恒成立，而当时，，则，所以b的取值范围是.16.4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．（1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．解：（1）依题意可得的可能取值为、、、，则，，，，所以的分布列为所以.（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，所以，设数列的前项和为，则.（ⅱ）依题意可得，，，当时，所以，所以为常数数列，又，所以，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，经检验当、上式也成立，所以.17.如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足.（1）若，求证：直线平面；（2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；（3）若，求直线与直线所成最大角的余弦值.解：（1）取