第06讲角平分线

第06讲角平分线思维导图核心考点聚焦1.角平分线的性质定理2.角平分线的判定定理3.角平分线性质的实际应用4.作角平分线（尺规作图）1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线.3.三角形的三条角平分线交点：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.4.运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直.5.尺规作图画角平分线（题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法）（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；（2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；（3）过点P作射线OP，射线OP即为所求.1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.考点剖析考点一、角平分线的性质定理例题：如图，平分，交的延长线于点E，且．(1)求证：；(2)若，，求线段的长度．【解析】（1）证明：过点D作于点F，∵平分，，，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵∴；（2）设，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，解得，即．【变式训练】1．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．(1)求的度数；(2)如果，，求四边形的周长．【解析】（1），且，，，是的角平分线，，，,．（2）是的角平分线，且，，，在和中，，，，，，，四边形的周长为：．2．如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求线段的长．【解析】（1）证明：∵点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴是等边三角形；（2）∵是等边三角形，是的平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．考点二、角平分线的判定定理例题：如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且．(1)求证：平分；(2)如果，，求的长．【解析】（1）证明：由题意得：，，，在和中，，，，，，平分．（2）在和中，，，，设，，，，，，．【变式训练】1．如图，于E，于F，若．

(1)求证：平分；(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．【解析】（1）证明：∵，，∴，∴与均为直角三角形，∵在与中，∵，∴,∴，∴平分；（2），理由如下：∵，平分，∴，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，∴．2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

(1)求证：是的平分线；(2)若，，．求的长．【解析】（1）证明：在和中，，∴，∴，∵于点D，于点E，∴是的平分线（2）∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴．考点三、角平分线性质的实际应用例题：三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（

）A．三条高的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】C【解析】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在的角平分线的交点处，故选C．【变式训练】1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】如图所示，

分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点，故选．考点四、作角平分线（尺规作图）例题：已知：如图，在中，，．

(1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求的角度？【解析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点P，如图所示：即为所求；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∵平分，∴．【变式训练】1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．【解析】如图所示，点P即为所要求作的点．过关检测一、选择题1．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】是的垂直平分线，，，，，，恰好平分，，，，，，，故选B．2．在正方形网格中，的位置如图所示，在平分线上的是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【解析】如图，根据正方形网格的大小可得为等腰三角形，正好为其高线，根据等腰三角形的“三线合一”，即可确定点Q在平分线上．故选B．3．如图，在中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB、AC分别相交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．连接AE并延长与边BC交于点D．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵根据尺规作图可知，是角平分线，∴，∵在中，，∠B=90°，∴，∴，∴故选A4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（

）A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点【答案】B【解析】∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，故选B．5．如图，，，，垂足分别为，，与交于点．下列结论正确的个数是（

）①；②；③点在的平分线上.

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵，，垂足分别为，，∴，∵，∴（①正确）,∴，∴，∵，，∴，又，∴（②正确）,∴，连接，

∵，∴，∴，即点D在的平分线上（③正确）,所以，正确的结论有3个，故选D．二、填空题6．如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离为．【答案】5【解析】如图，过点D作于点E，∵是的角平分线，，∴，∵，∴，即点D到的距离．故答案为：5．7．如图所示，已知的周长是10，、分别平分和，于，且，则的面积是．

【答案】5【解析】连接，过点O作于G，于H，

∵的周长是10，∴，∵分别平分和，，∴∴，故答案为：5．8．如图，，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若，则的大小为度．

【答案】30【解析】由作图可知：平分，∴，∵，∴，，∴，∴；故答案为：30．9．如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是．【答案】7【解析】如图，连接，，垂直平分，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，故答案为：．10．对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为．【答案】或【解析】如下图，由图可知，直线垂直平分，因此直线上的点是点O与点A的“等长点”，由图可知，是直线与的角平分线的交点，是直线与的角平分线的交点，因此或到线段与线段距离相等，是线段与线段的“等长点”，故点P的坐标为或．故答案为：或．三、解答题11．如图，已知中，点D在的平分线上，且点D到点B、C的距离相等.(1)请在图中作出点D的位置（保留作图痕迹）；(2)过点D作于点M，，交的延长线于点N．求证：【解析】（1）以点A为圆心，以适当长为半径画圆，交和于点E和点F，再分别以点E和点F为圆心，大于长为半径画圆，两圆交点为一点G，连接并延长，此时为的平分线;分别以B,C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于P,Q两点，则PQ为BC的垂直平分线，交的延长线于一点D，此时点D即为所求，如图所示：；（2）证明：如图所示：，由（1）可得为的平分线，∵，，∴，∵点D到点B、C的距离相等，∴，在和中，，∴，∴．12．如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为．(1)求证：．(2)若．求的长．【解析】（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴；（2）连接，

∵垂直平分，∴，又，∴，∴，∵，∵，∴，∴．13．如图，四边形中，，连接，．(1)如图（1），若，证明：．(2)如图（2），平分，证明：．【解析】（1）证明：∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）证明：如图（2），作于F，∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．14．如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等.【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴.（2）证明：过点P作，，，如图，∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等.15．如图，、都是等边三角形，与交点C，(1)如图1，求证；(2)如图2，求证：平分；(3)如图2，若，，，求的长．【解析】（1）证明：如图1，∵、都是等边三角形，∴，，，∴，即，∴，∴；（2）如图2，过A作于M，于N，∵，∴，∴，∵，∴，而，，∴A在的平分线上，即平分；（3）如图，记，的交点为，∵，∴，而，∴，∴，∵平分，∴，而，，∴，∴，∵，，∴，，∵，，，∴，∴，∴．16．如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积．【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∴．（2）证明：如图，过点作于点，作于点，∵平分，，，由（1）可知，，即平分，，，，，又点在的内部，平分．（3）由（2）得：，设，∵，∴，∴，即，∴，又∵，∴，，∵，∴的面积为．17．已知：如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径，以的速度运动，设运动的时间为秒．

(1)当时，求的面积；(2)为何值时，线段是的平分线？(3)请利用备用图2继续探索，当为______时，是以为腰的等腰三角形．(直接写出结果)【解析】（1）当时，则，所以的面积；（2）过作，如图1：，，，，，，∵为的平分线，∴，，，在中，,,解得；（3）如图：因为是以为腰