黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学

高二数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，试卷共8页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.第I卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则（）A.13 B.14 C.30 D.492.已知函数，则（）A. B.1 C. D.3.现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（）A.216 B.240 C.432 D.7204.现有8道四选一的单选题，某学生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为（）A.0.225 B.0.625 C.0.675 D.0.73755.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x（单位：）167173175177178180181体重y（单位：）90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（）A B.C. D.6.已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（）A.1 B.2 C. D.7.已知等差数列的公差为，若集合，则（）A. B. C.0 D.8.已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩服从正态分布的正态密度函数为，称它的图像为正态密度曲线，通过的正态密度函数及其图像可以发现，下列关于的正态密度曲线的叙述正确的有（）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.A.正态密度曲线是单峰的，它关于直线对称B.当无限增大时，曲线无限接近轴C.曲线在处达到峰值D.10.定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（）A.B.数列的前项和为C.数列的前项和与数列的前项和相等D.数列的前项和为，则11.已知的图象上能找到两个不同点关于原点对称，则称为函数的一对“友好点”，则下列正确的有（）A.若，则有两对“友好点”B.不可能有三对“友好点”C.若仅有一对“友好点”，则D.当时，对任意，总是存在，使得第II卷三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.12.袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则____________.13.已知函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则不等式的解集为____________.14.已知是数列的前项和，且，则____________；____________.四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.（1）求、通项公式；（2）记，为的前项和，求.16.某学校想了解学生爱好体育运动是否与性别有关联，从学生群体中随机抽取80名学生进行调查，得到了如下列联表：单位：人性别是否爱好体育运动合计是否女生10男生10合计现在从这80人中随机选择1人，已知在选到的是爱好体育运动者的条件下，选到男生的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整，并根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好体育运动与性别有关联？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该学校的所有女生中随机调查3人，设被调查的3人中爱好体育运动的人数为，求的分布列､均值和方差.参考公式：.附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.（1）求的值；（2）将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围.19.中国国家女子排球队（简称中国女排）曾十度成为世界冠军（包括世界杯、世锦赛和奥运会三大赛），中国女排也是中国三大球中唯一一个拿到冠军奖杯的队伍.众所周知，排球是一项集体运动，团队协作及日常科学训练对于赢得比赛都至关重要.现有主攻手1人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人，从这6人中随机抽取3人参与常规训练.该主攻手的扣球高度与得分概率的数据，如表所示：（女子网高2.24米）扣球高度（米）2.42.52.7293.0得分概率0.10.20.40.70.9（1）若表中两个变量线性相关（经验回归方程为），计算样本相关系数（保留），并推断它们相关程度；（2）若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为和，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为和，假设球一直没有掉地上，求经过次传球后甲接到球的概率.参考公式：参考数据：，高二数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，试卷共8页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.第I卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则（）A.13 B.14 C.30 D.49【答案】C【解析】【分析】由通项公式分别求出即可得.【详解】由，得，，所以.故选：C.2.已知函数，则（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，则，所以.故选：A3.现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（）A.216 B.240 C.432 D.720【答案】C【解析】【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算.【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，先分别选1男1女排在左右两端，有种排法，再排中间4个位置，有种排法，所以不同的排法种数为种.故选：C.4.现有8道四选一的单选题，某学生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为（）A.0.225 B.0.625 C.0.675 D.0.7375【答案】D【解析】【分析】根据全概率公式结合题意求解.【详解】记事件表示“考生答对题”，事件表示“考生选到有思路的题”，则该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为.故选：C5.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x（单位：）167173175177178180181体重y（单位：）90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的特点判断斜率和截距；由于去掉，其它点的线性关系更强，从而可判断相关系数.【详解】身高的平均数为，因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故，去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以.故选：A6.已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由二项式系数和为，求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为展开式的各二项式系数和为，所以，解得，所以展开式的通项为（且），令，解得，所以展开式中的系数为，解得.故选：C7.已知等差数列的公差为，若集合，则（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，因为函数的周期为3，而，所以最多3个不同取值，又，则在中，恰两个值相等.所以有，或，或.（1）当时，令，由，得，解得，故，则（2）当时，令，则，且也成立，故同（1）可得；（3）当时，其中，则有，令，则，且仍然成立，故以下也同（1）可得.综上，.故选：B8.已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，故只需分别求出两个函数、的最大值即可列不等式求解.【详解】若，使成立，则当且仅当，于函数而言，其最大值为，于而言，其导数，当时，，当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，从而的最大值，所以原题条件等价于，即.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是分析得出，并求得，由此即可顺利得解.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩服从正态分布的正态密度函数为，称它的图像为正态密度曲线，通过的正态密度函数及其图像可以发现，下列关于的正态密度曲线的叙述正确的有（）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.A.正态密度曲线是单峰的，它关于直线对称B.当无限增大时，曲线无限接近轴C.曲线在处达到峰值D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由正态密度曲线的性质即可判断ABC，再由“原则”代入计算，即可判断D【详解】由正态密度函数可知，，，则，由正态密度曲线的性质可知，图像是单峰的，且关于对称，故A正确；当无限增大时，，则，则曲线无限接近轴，故B正确；当时，，故C错误；，故D正确；故选：ABD10.定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（）A.B.数列的前项和为C.数列的前项和与数列的前项和相等D.数列的前项和为，则【答案】ACD【解析】【分析】由递推关系可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而可得，再结合等比数列的求和公式，即可判断ABC，再由裂项相消法代入计算，即可判断D【详解】由可得，且，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，即，则，所以，故A正确；因为，由等比数列求和公式可得该数列的前项和为，故B错误；因为，，这两个数列的通项公式相同，则其前项和相等，故C正确；因为，则，则其前项和，且当时，取得最小值为，所以，故D正确；故选：ACD11.已知的图象上能找到两个不同点关于原点对称，则称为函数的一对“友好点”，则下列正确的有（）A.若，则有两对“友好点”B.不可能有三对“友好点”C.若仅有一对“友好点”，则D.当时，对任意的，总是存在，使得【答案】BD【解析】【分析】不妨设，则存在友好点等价于方程有实数根，从而构造函数，利用导数求得其单调区间，画出函数的大致图象，讨论与直线的图象的交点个数情况，再逐个分析判断.【详解】若和互为“友好点”，不妨设，则，得，令（），则，令，则，所以在上递减，因为，所以当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以的大致图象如图所示，由图可知，当时，的图象与直线无交点，所以不存在“友好点”，当或时，的图象与直线有一个交点，所以只有一对“友好点”，当时，的图象与直线有两个交点，所以存在两对“友好点”，不可能有三对“友好点”，所以AC错误，B正确，当时，存在两对“友好点”，所以对任意的，总存在，使，所以D正确，故选：BD【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.第II卷三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.12.袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则____________.【答案】2【解析】【分析】设白球的个数为，则红球和黑球的个数为，记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件，由此求出白球的个数；得出的取值可能为0，1，2，3，求出的分布列和数学期望，再由期望性质求解．【详解】设白球的个数为，则黑球和红球的个数为；记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件；所以，解得，所以白球的个数为5；从袋中任意摸出3个球，到白球的个数的取值可能为：0，1，2，3；则，，，，所以的分布列为：0123所以的数学期望，则．故答案为：213.已知函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则不等式的解集为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，构造函数，即可得到在上单调递减，不等式可化为，代入计算，即可求解.【详解】令，则，因为对任意的实数，都有，则，所以在上单调递减，且，则，不等式，，即，所以，即，所以，解得，且，所以，即不等式得解集为.故答案为：14.已知是数列前项和，且，则____________；____________.【答案】①.②.【解析】【分析】代入可得；利用求出可得.【详解】，解得；当时，，可得，即，，所以是以2为首项，为公差的等差数列，所以，可得，时成立，所以，可得.故答案为：①；②.四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.（1）求、的通项公式；（2）记，为的前项和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，根据已知条件可得得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列、的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，因为，，，则，，所以，，解得，所以，，.【小问2详解】解：由（1）可知，，所以，，①可得，②①②可得，因此，.16.某学校想了解学生爱好体育运动是否与性别有关联，从学生群体中随机抽取80名学生进行调查，得到了如下列联表：单位：人性别是否爱好体育运动合计是否女生10男生10合计现在从这80人中随机选择1人，已知在选到是爱好体育运动者的条件下，选到男生的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整，并根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好体育运动与性别有关联？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该学校的所有女生中随机调查3人，设被调查的3人中爱好体育运动的人数为，求的分布列､均值和方差.参考公式：.附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，能（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）设喜欢运动者共有人，依题意可得，求出，即可得到列联表，计算出卡方，即可判断；（2）依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列，再由二项分布的期望与方差公式求出期望、方差.【小问1详解】设喜欢运动者共有人，则由题意可得，则，故可得如下列联表：性别是否爱好运动合计是否女生105060男生101020合计206080零假设：爱好体育运动与性别无关联所以，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为爱好体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.【小问2详解】由表中数据可知女生爱好运动的概率为，所以，则的所有可能取值为，所以，，，，所以的分布列为：012317.莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.（1）求的值；（2）将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）由莱布尼茨三角每个三角形数组顶端数等于底边两数之和求出，再由裂项相消法求和可得；（2）结合题意代换写出和式，再利用组合公式运算证明可得.【小问1详解】由图1可知：由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得，故，同理，故；【小问2详解】莱布尼茨三角的性质：证明：..故结论正确.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围.【答案】（1）（2）当在上单调递增，无递