寒假作业02三角形有关的角与多边形的内角和-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业02三角形有关的角与多边形的内角和1．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形相邻两边的夹角．每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）两个角互余的三角形是直角三角形．2．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．3．多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．4．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）；（2）多边形的外角和等于360°．1．已知在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，由题意得：，即，解得，即，故选A．2.下列说法错误的是（）A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形【答案】D【解析】A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；B．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；D．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；故选D．3．一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】设该多边形为n边形，∵从n边形的一个顶点引对角线条数为：n﹣3，∴n﹣3＝7，解得：n＝10．故选A．4．湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】C【解析】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故这个八边形的内角和是1080°．故选C．5．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（）A．正六边形，正八边形B．正方形，正七边形C．正五边形，正六边形D．正三角形，正方形【答案】D【解析】∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正七边形的每个内角是正八边形的每个内角是180°360°÷8=135°，∴能够组合的是正三角形，正方形，故选D．已知在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（

）A．76° B．65° C．56° D．54°【答案】D【解析】，，在中，，，在中，，，故选D．如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，故A选项正确，不符合题意；由三角形外角性质即可直接得出，故B选项正确，不符合题意；没有条件可以证明出和的关系，故C选项错误，符合题意；∵，，∴，∴，故D选项正确，不符合题意.故选C．8．在△AOB中，BO＝AO，OP交AB于点C，量角器的摆放如图所示，则∠BCP＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°【答案】C【解析】∵BO＝AO，∠AOB＝130°，∴∠CAO＝25°，又∵∠AOP＝70°，∴∠BCP＝∠ACO＝180°﹣∠CAO﹣∠AOC＝180°﹣25°﹣70°＝85°，故选C．9．如图，把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______．【答案】16【解析】由七巧板的原理可设⑤，⑥的面积为x，则②，③的面积为4x，①的面积为2x，④的面积为2x，⑦的面积为2x，∵①对应的面积等于2，即2x=2，则x=1，∴这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于x+x+4x+4x+2x+2x+2x=16x=16，故答案为：16．10．如图，把纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B处，设EC1，DA2.若25，则21=______.【答案】50【解析】，，，，，故答案为50．11．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．求证：∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°.（1）第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：（2）根据第二种思路，完成证明．【解析】（1）①；②；③，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.提示：①根据后面推论可以推测是根据三角形内角和，故答案为：；②根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质，填写+，故答案为：，③，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）过B作BM∥AC，∴，，∵，∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°.12．【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．名称图形内角和外角和三角形180°360°四边形五边形…………n边形…（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【解析】（1）内角和分别为：四边形内角和是（4﹣2）×180°＝360°，五边形内角和是（5﹣2）×180°＝540°，n边形内角和是（n﹣2）180°；外角和分别为：360°、360°、360°.故答案为：360°、540°、（n﹣2）180°，360°、360°、360°；（2）这个八边形一个内角的度数是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．13．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．【答案】52°【解析】、分别平分、，，，，，即，，，、分别平分、，，，，，∴，∴，、分别平分、，，，∴，，故答案为：52°．14．如图1，，的角平分线、相交于点.（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；（2）如图2，，如果，的角平分线、相交于点，请直接写出度数；（3）如图2，重复上述过程，，的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）.解：（1）结论：______度．说理如下：因为，平分和（已知），所以，（角平分线的意义）．因为，（），（完成以下说理过程）【解析】（1）结论：.理由如下：∵，分别平分和（已知），，∴，（角平分线的定义），∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴，（等式性质），∴（等量代换），∴.（2）.提示：∵，的角平分线、相交于点，∴，（角平分线的定义），∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴，（等式性质），∴（等量代换），∴.（3）.提示：∵，，，∴当时，．15．如图1，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．（1）如图2，点C为三条内角平分线的交点，连接，，在点A，B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的平分线交于点P，与交于点Q．①与的数量关系为____．②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数．【解析】（1）的度数不变，理由如下：点为三条内角平分线交点，，，，，，，，即的度数不变.（2）①点为三条内角平分线交点，，，∴，为的平分线，，∴，，，整理得：.②设，则，，为的平分线，，，点为三条内角平分线交点，，，，，中有一个角是另一个角的2倍，分四种情况：（a），则，解得，此时;（b），则，解得，此时；（c），则，解得，此时；（d），则，解得，故舍去，∴中有一个角是另一个角的2倍，则为或．16.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”，例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为．（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？【解析】（1）36°或18°.提示：当108°是三角形的一个内角的3倍时，则这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°；当另外两个内角是3倍关系时，则另外两个内角分别为：54°，18°，故最小的内角是18°.故答案为：36°或18°．（2）结论：，都是“梦想三角形”.理由：，，，，是“梦想三角形”，，，，，，是“梦想三角形”．17．如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直，其示意图如图2.（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为，则太阳光与该晷面所夹的锐角度数为___________．【解析】（1）.提示：根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，∴地轴与晷面垂直，又∵晷针与地轴平行，∴晷针与晷面垂直．即晷针与晷面夹角为．（2）.提示：可将题干中图简化为如图：根据题意结合图形可知：，，，．∵，∴，即，∴，即．∵，∴．∴．∴．即太阳光与该晷面所夹的锐角度数为．18．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由示意图可知：和都是直角三角形，，，，故选B．19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为．【答案】或【解析】由折叠的性质得：.∵，∴.①当在下方时，如图，∵，∴，∴；②当在上方时，如图，∵，∴，∴.综上，的度数为或.故答案为：或．20．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少，10【解析】∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度.故答案为：减少，10．21．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，，求证：方