152三角形全等的判定SAS

1.5.2三角形全等的判定SAS知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究SAS的概念DEFDEFABC基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）．几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．题型一：SAS的概念【例题1】（2021·河北邢台市·九年级一模）已知：在中，，求证：证明：如图，作______在和中，其中，横线应补充的条件是（）A．边上高 B．边上中线C．的平分线 D．边的垂直平分线【答案】C【分析】根据全等三角形判定，即可选出．【详解】证明：如图，作的平分线在和中，故选C【点睛】本题型考查了全等三角形的判定及角平分线的定义的应用，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．变式训练【变式11】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图，AC、BD相交于O，∠1=∠2，若用“SAS”说明，则还需加上条件（）A．AD＝BC B．∠D＝∠C C．OA＝AB D．BD＝AC【答案】D【分析】根据“SAS”判定定理即可得出结论．【详解】解：已具有∠1=∠2，AB=BA，用“SAS”证需添加夹∠1，∠2的边BD=AC，A.AD＝BC与已知构成边边角，不能判断两个三角形全等，故本选项错误；B.∠D＝∠C与已知构成AAS判定两个三角形全等，不符合题意，故本选项错误；C.OA＝AB能推出三角形OAB为等边三角形，证缺条件，故本选项错误；D.BD＝AC与已知构成SAS证，故本选项正确．故选择：D．【变式21】．（2020·江苏月考）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案．【详解】解：需要补充的条件是BF=CE，∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故选：D．【变式31】（2020·贵州期末）如图，已知AD＝AE，AF是公共边，用“SAS”证明△ADF和△AEF全等，给出条件正确的是（）A．AF平分∠BAC B．DF＝EF C．BF＝CF D．∠B＝∠C【答案】A【分析】题中要求用“SAS”证明两三角形全等，而其中AD=AE，AF为公共边为已知条件，由此可知只需添加∠BAF=∠CAF，即AF平分∠BAC即可．【详解】解：∵AD=AE，AF为公共边，当所给条件为AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF，∴△ADF≌△AEF（SAS），故选：A．题型二：直接利用SAS三角形全等【例题2】（2021·广西中考）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在和中，∴∴____________【答案】，，，【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．【详解】证明：在和∴∴【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．【变式21】（2021·北京九年级二模）如图，，，，求的度数【答案】【分析】先证明△ABC≌△ADC（SAS）得到∠B＝∠D，即可求解．【详解】证明：在△与△中，∴△≌△，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的SAS判定和性质，掌握SAS判定方法是关键.题型三：利用SAS与线段的和差证三角形全等【例3】（2021·广东惠来·）如图，在和中，边，交于点，，，．（1）若，，求的度数．（2）试说明：．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可；（2）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】解：（1），，，，；（2），，，，即，在和中．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，三角形内角和定理和平行线的性质，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．变式训练【变式31】（2021·山东济阳·七年级期末）如图，已知AB＝DC，ABCD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF．【答案】见解析【分析】根据SAS证明三角形全等即可．【详解】证明：∵ABCD，∴∠A＝∠DCF，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是根据平行线的性质得到∠A＝∠DCF．【变式32】（2021·甘肃兰州市·）如图所示，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC（1）△ABC与△FED全等吗？为什么？（2）AC∥FD吗？为什么？【答案】（1）全等，理由见详解；（2）平行，理由见详解【分析】（1）根据BD＝EC，即可得出BC＝ED．根据SAS即可判定△ABC≌△FED，（2）由全等三角形的性质可得到∠ACB＝∠FDE，进而得出AC∥DF．【详解】解：（1）△ABC≌△FED，理由：∵BD＝EC，∴BC＝ED．在△ABC和△FED中，AB＝FE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△FED（SAS）．（2）AC∥FD．理由：∵△ABC≌△FED，∴∠ACB＝∠FDE，∴AC∥DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定，证明△ABC≌△FED是解题的关键．【变式33】（2021·甘肃兰州市·）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝FC，求证：∠D＝∠B【答案】见详解【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠C，已知AD＝BC，根据等式的性质得AF＝CE，从而可根据SAS判定△DAF≌△BCE，根据全等三角形的对应角相等即可求证．【详解】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．∵AE＝CF，∴AF＝CE．在△ADF和△CBE中，AD＝CB，∠A＝∠C，AF＝CE，∴△DAF≌△BCE（SAS）．∴∠D＝∠B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角边相等的性质，本题中证明△DAF≌△BCE是解题的关键．题型四：利用SAS与角度的和差证三角形全等【例题4】（2021·全国）如图，．证明：．【答案】见解析【分析】通过，得到，即可得证；【详解】证明：∵，∴，即，在和中，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．变式训练【变式41】（2021·四川宜宾·中考真题）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．【答案】证明见解析【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．【详解】解：由图可知：，，∵，∴，在和中：，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．【变式42】（2020·湖北恩施·）如图所示，，，，求证：【答案】证明见解析【分析】由题意，先证明，然后利用SAS即可判断．【详解】证明：即在和中；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握用SAS证明三角形全等．【变式43】（2021·沭阳县怀文中学八年级月考）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接．求证：（1）；（2）试猜想，有何特殊位置关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）BD=CE，BD⊥CE．证明见解析．【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．

（2）由全等三角形的性质可得BD=CE，∠BDA=∠E=45°，所以∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°，即可得到BD⊥CE．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）BD=CE，BD⊥CE．

证明：∵△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠BDA=∠E=45°，

∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°，

∴BD⊥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．题型五：SAS证三角形全等的应用【例5】（2020·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）如图，要测量池塘两端M，N的距离，在池塘外找一点O，连接MO，NO并分别延长，使QO=MO，PO=NO，连接PQ．则只需测出线段PQ的长度，即可得池塘两端M，N的距离，则证明两个三角形全等的理由是(

)A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．【详解】解：在△PQO和△NMO中，QO=MO，,PO=NO,满足边角边的条件，故选A.变式训练【变式51】（2020·山西九年级专题练习）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【解析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．【变式52】（2020·安徽淮南市·八年级期中）如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CDCA，CECB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】D【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．【详解】解：根据题意可得：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴AB=DE，∴依据是SAS，故选：D．题型六：SAS证全等的动点问题【例6】1．（2019·天津市滨海新区大港第十中学八年级月考）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过秒后，△BPE≌△CQP；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？【答案】（1）1；（2）点Q的运动速度为厘米/秒.【分析】（1）分析题意可知当BE=CP时，△BPE≌△CQP，即6=104t，求解即可；（2）根据点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，可知要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米即可，然后可先求出点P，Q运动的时间，再求点Q的运动速度.【详解】解：（1）∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴BP=CQ，又∵∠B=∠C=90°，∴当BE=CP时，△BPE≌△CQP，∵BE=6厘米，BP=4t，∴CP=104t，∴6=104t，解得：t=1，即经过1秒后，△BPE≌△CQP；（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米即可，∴点P，Q运动的时间t＝秒，∴点Q的运动速度为：厘米/秒，即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题要求掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题时注意方程思想的运用．灵活运用三角形全等的判定、一元一次方程的求解和力学中的运动知识是解题关键．变式训练【变式61】（2021·郑州市第七十九中学七年级期中）如图，已知在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为线段的中点．如果点在线段上以3厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以，，三点所构成的三角形全等．【答案】3或【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，6＝8﹣3t，解得t，∴BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为23厘米/秒；②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t，∴点Q的运动速度为6厘米/秒；故答案为：3或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式62】（2019·山东枣庄市·七年级期末）如图，中，为的中点，厘米，，厘米.若点在线段上以每秒3厘米的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动.（1）若点的速度与点的速度相等，经1秒钟后，请说明；（2）若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使.【答案】（1）见解析；（2）当点的速度每秒厘米，能够使.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断△BPD与△CQP全等；（2）设点Q的运动速度为xcm/s，则BP=3t，CQ=xt，CP=83t，当△BPD≌△CQP，则BP=CQ，CP=BD；然后分别建立关于t和v的方程，再解方程即可；【详解】解：（1）∵运动1秒，∴，，，∵为的中点，厘米，∴厘米，∵，，，∴（SAS）；（2）设点Q运动时间为t秒，运动速度为vcm/s，∵△BPD≌CPQ，∴BP=CP=4，CQ=5，∴t，∴v==厘米/秒，∴当点的速度每秒厘米，能够使.【变式63】（2020·辽宁省抚顺市抚顺县房申初级中学八年级月考）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，设点运动的时间为．（1）用含的式子表示的长度为______．（2）若点运动的速度与点运动的速度相等经过多少秒后，与全等？请说明理由．【答案】（1）166t；（2）经过1秒后△BPD与△CQP全等，理由见解析．【分析】（1）由题意根据P运动的方向、速度及BC的长度可以得解；（2）根据SAS定理，在∠B=∠C的条件下，△BPD与△CQP全等有两种情况：BD=PC、BP=CQ和BD=CQ、BP=PC，对两种情况作出讨论可以得到解答．【详解】解：（1）由题意得：PC=BCBP=166t（cm），故答案166t；（2）经过1秒后，△BPD与△CQP全等，理由如下：①在△BPD与△CQP中，若，则△BPD与≌△CQP，此时由题意不管t为何值，BP=CQ是一定的，∴由BD=PC得166t=10，∴t=1；②在△BPD与△CQP中，若，则△BPD与≌△CQP，即，可知t无解；综上所述，经过1秒后，△BPD与△CQP全等．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2021·福建中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可．【详解】证明：∵，∴．在和中，∴，∴．【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2021·平原县江山国际学校八年级月考）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP．”（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP．请你帮小亮完成证明；（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ＝CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】(1)根据得，，所以，由旋转得，，根据题目给出的即可证明出，由全等三角形的性质即可证明．(2)和(1)同理，根据得，，所以，由旋转得，，根据题目给出