最值问题：平面图形的认识（二）（基础篇）

平面图形的认识（二）（最值问题）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知三角形的两边长分别为和若第三边为整数，则的最大值是（

）A． B． C． D．2．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（

）A．14 B．15 C．16 D．173．如图所示，在中，，，于点D，且，若点P在边上移动，的最小值（

）A．4．6 B．4．8 C．5 D．5．24．如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（

）A．5 B．4 C．2.5 D．1.255．如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．56．一副三角尺的位置如右图所示，其中三角尺ADE绕点A逆时针旋转α度，使它的某一边与BC平行，则α的最小值是（

）A．15° B．30°C．60° D．150°7．如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC=4，则MP的最小值为（

）A．5 B．2.5 C．1.4 D．1.258．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．10二、填空题9．一个边形的内角和比它的外角和至少大，则的最小值是____．10．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是_________．11．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝_____．12．如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是______．13．如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是____________．14．如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为_______．15．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．16．如图，在中，将平移个单位长度得到是的中点，则的最小值为________．17．如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为8，BD平分若M、N分别是BD、BC上的动点，则的最小值是______．18．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°.…若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为______.三、解答题19．已知三角形的三条边长为6、10和x．(1)若6是最短边长，求x的取值范围；(2)若x为整数，求三角形周长的最大值．20．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小.（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？21．已知一个三角形的三条边的长分别为，，3n．（1）________；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；（3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n的最大值．22．已知a、b、c分别表示ABC的三条边长，且ABC的周长为48.（1）若c是三边中最长的边，则c的最小值是；（2）若c3a，求证：6a8；（3）若ac10，求c的取值范围；（4）若a、b均为整数，c=16，则这样的三角形共有个.参考答案1．C【分析】已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．解：根据三角形的三边关系，得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9又∵第三边为整数，∴的最大值是8故选：C【点拨】本题考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．2．B解：试题分析：根据三角形三边关系可得：7－3＜第三边＜7+3，即4＜第三边＜10，根据第三边为整数，则第三边最小值值为5，则周长为：3+7+5=15.考点：三角形三边关系3．B【分析】根据最短路径问题得：当时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案．解：由题意得：当时，的值最小，∵，∴，解得，故选：B．【点拨】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当时，的值最小是解题的关键．4．C【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案．解：∵AM是△ABC的中线，∴==5，∴点M到AC的距离为：÷4=2.5，根据垂线段最短，则MP的最小值2.5．故选：C．【点拨】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键．5．A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．6．A【分析】当△ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，利用平行线的性质即可求解．解：当△ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，如图：∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=60°，∵∠DAE=45°，∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=15°，则α的最小值是15°，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．7．B【分析】根据中线的性质可求出△ACM的面积，由垂线段最短可知当MP⊥AC时MP最短，然后根据三角形的面积公式求解即可．解：△ABC的面积为10，AM是△ABC的中线，∴△ACM的面积为5．由垂线段最短可知当MP⊥AC时MP最短，此时MP是AC边上的高，∴×4×MP=5，∴MP=2.5，故选B．【点拨】本题考查了三角形中线的性质，以及垂线段最短，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．8．B【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．【点拨】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．9．5【分析】根据多边形内角和公式列出不等式，求出符合题意的解即可．解：180（n-2）-360≥120，解得n≥，因为n取整数，所以n的最小值是5．故答案为5．【点拨】本题考查多边形的内角和公式和外角和定理，是基础题，重点在于记住内角和公式和外角和是360°．10．15【分析】根据三角形的三边关系得出第三边的取值即可解答．解：设三角形的第三边为x，则4＜x＜10，又第三边x为整数，则x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周长最小值为3+7+5=15．故答案为：15．【点拨】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．11．175．【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣∠A，和180°﹣∠A≤∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n．解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝∠A，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠A，又∵∠A≤∠C≤∠B，∴∠A≤180°﹣∠A，解得∠A≤40°；又∵180°﹣∠A≤∠A，解得∠A≥30°，∴30°≤∠A≤40°，即30°≤∠B≤40°，∴75°≤∠B≤100°∴m+n＝175．故答案为：175．【点拨】本题考查三角形的内角和定理即三角形的内角和为180°．同时考查了不等式的知识．12．4.8【分析】根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解的最小值．解：当时，有最小值，，，，，，即，解得．故答案为：．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键．13．4【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可．解：当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之间的距离为4cm，的最小值是4cm，故答案为：4．【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．14．2.5####【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案．解：∵AM是△ABC的中线，∴==5，∴点M到AC的距离为：÷4=2.5，根据垂线段最短，则MP的最小值2.5．故答案为：2.5．【点拨】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键．15．##【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为CE+EF的最小值．解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CE+EF的最小值为CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，∴AB•CF=BC•AC，∴CF=，即CE+EF的最小值为：，故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．16．1【分析】取A1B1的中点，连接MM1，如图，利用平移的性质得到MM1=4，A1B1=AB=6，利用三角形三边的关系得到MA1≥MM1-A1M1（当且仅当M、M1、A1共线时取等号），从而得到MA1的最小值．解：取A1B1的中点，连接MM1，如图，∵△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，∴MM1=4，A1B1=AB=6，∵M1是A1B1的中点，∴A1M1=3，∵MA1≥MM1-A1M1（当且仅当M、M1、A1共线时取等号），∴MA1的最小值为4-3=1．故答案为1．【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．作出M点的对应点M1是解决问题的关键．17．4【分析】过点C作于点E，交BD于点M’，过点M作于N’，则CE即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值．解：过点C作于点E，交BD于点M’，过点M作于N’∵BD平分，于点E，于N’∴∴∴当点M与M’重合，点N与N’重合时，有最小值∵△ABC的面积为8，∴∴即的最小值为4故答案为：4．【点拨】本题考查了线段的最值问题，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键．18．6解：∵A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°.如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－14°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝69°，∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－2×14°，由以上规律可知∠A＝90°－n·14°.当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°.故答案为6.19．(1)6≤x＜16 (2)31【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可求解；（2）根据三角形的三边关系，可得4＜x＜16，再由x为整数，可得x的最大值为15，即可求解．（1）解：由题意得：10－6＜x＜10＋6，即4＜x＜16∵6是最短边长，∴x≥6∴x的取值范围是6≤x＜16；（2）解：由（1）可知，4＜x＜16，∵x为整数，∴x的最大值为15，∴三角形周长的最大值为6＋10＋15＝31．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．20．（1）；（2），14.【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三条边长x的取值范围．（2）由（1）可知，当x=4时，三角形周长最大，据此求解即可.解：（1）∵6-4=2，6+4=10，并且第三条边长x最小，∴∴．故答案为：．（2）当组成的三角形周长最大时，x取最大值，即，∴周长最大值是：6+4+4=14【点拨】本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．21．（1）；（2）5，9，9；（3）7【分析】（1）根据作差法比较即可；（2）根据等腰三角形的性质分类讨论；（3）根据三角形三边关系讨论