2020-2021学年北京市东城区九年级上学期期末数学试卷

2020-2021学年北京市东城区九年级上学期期末数学试卷

一、选择题(本大题共8小题，共16.0分)

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有()

@6契龊

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，扇形AOB中，04=2,C为⑪上的一点，连接AC,BC,如果四边形A08C为平行四边形,

则图中阴影部分的面积为()

A胃-6B.y-2V3C.y-V3D.y-2V3

3.已知点4(1,0)、B(0,—1)、C(—1,2)、D(2,—1)、E(4、2)中有三个点在关于x的二次函数y=a(x—

l)2+k(a>0)的图象上，请结合你学过的抛物线的知识挑选你认为正确的三个点()

A.A、C、EB.B.C、DC.B、C、ED.A、B、

4.如图，是。。的直径，是。。的弦.若NOBC=60。，则NBAC的度

数是()

A.75°

B.60°

C.45°

D.30°

5.把函数y=(x-+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为()

A.y=x2+2B.y=(x—I)2+1

C.y=(x—2/+2D.y=(x—I)2—3

6.已知。是△ABC的内心，且N80C=130。，则4A=().

A.50°B.80°C.40°D.60°

7.若反比例函数y=的图象上有3个点4（久1/1）,8（%2，丫2），。（%3，丫3），且满足％1<久2V0<%3,

则为、为、丫3的大小关系是（）

A.y3<72<yiB.y3<yi<y2C.yr<y2<y3D.y2<yi<y3

8.如图，a4_L直线，于点4,C4=4,点8是直线Z上一动点，以C8为边向上作'卜

等边4MBC,连接M4则MA的最小值为（）/

A.1B/\

B.2

C.3

D.4

二、填空题（本大题共7小题，共14.0分）

9.已知二次函数y=3/+2%,当一14x40时，函数值y的取值范围是.

10.不透明的口袋里有除颜色外其它均相同的红、白、黑小球共计120个，玲玲通过多次摸球实验后

发现，摸到红球和黑球的概率稳定在50%和30%,那么口袋中白球的个数极有可能是个.

11.在同一直角坐标系％Oy中，二次函数y=/与反比例函数y=\"j/

0）的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A。］,m）,\

B（%2，m），C（x3,m）,其中zn为常数，令卬=与+打+心，那么W的\

值为（用含M的代数式表示）.邛

12.小明的身高为1.6小，在某一时刻，他的影长为2m,小明的身高与影

长的比为.

13.己知。。的直径4B为4cm，点C是。。上的动点，点。是BC的中点，£

4。延长线交。0于点E,则BE的最大值为_____.

^~~0----祸B

14.半径为4的正六边形的边心距为,中心角等于度，面积为.

15.如图，已知4、B、C三点都在。。上，乙40B=50°,44cB=一度.

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

16.如图是某公司一块长为4a米，宽为2a米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的

四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草.

(1)当a=3时，求花台的面积(精确到十分位)；

(2)如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化

这块空地共需资金多少元？(兀取3.14)

【提示：2a•3a=(2x3)-(a-a)=6a21

四、解答题(本大题共12小题，共64.0分)

17.如图，已知。。的直径CO=8,A,8为圆周上两点，且四边形04BC是平行四边形，直线EF切

。。于点4,分别交CD、CB的延长线于点E、F,AO与BD交于G点.

(1)求证：EF//BD；

(2)求4E的长.

B

18.如图，已知△ABC中，。为4B的中点.

(1)请用尺规作图法作出边4c的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法)

(2)在(1)条件下，若SMDE=2,求△ABC的面积.

19.如图，在8x12的正方形网格中的每个小正方形的边长均为1.

(1)在正方形网格1、正方形网格2中，分别画等腰三角形ABC,使得它们满足下列要求:

①力B=AC=10;

②所画等腰三角形各顶点必须与正方形网格中小正方形顶点重合;

③在图1与图2中所画的三角形不全等.

(2)直接写出所画图形的面积.其中正方形网格1中所画三角形的面积为.正方形网格2中所画

三角形的面积为

(中方形网格1)(正方形网格2)

20.如图，二次函数y=-苫2+2%+3的图象与*轴交于4、B两点，与y轴交于点C,顶点为D,

(1)求点4,B,C的坐标.

(2)求△BCD的面积.

21.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球，除汉字

不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.

(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的

汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率；

22.如图，已知：BC与CD重合，/.ABC=Z.CDE=90°,△ABC三△COE,

并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中

心。(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写

出旋转角度是

23.如图，在△ABC中，AB=AC,4B的垂直平分线MN交AC于点。，交AB于

点E.

(1)求证：△ABD是等腰三角形.

(2)若4B=AC=12,ACBD的周长为20,求线段BC的长.

24.已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽

距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.

(1)写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：；

②如图1,上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；

(2)如图2,在平面直角坐标系中，已知点4(一1,0)、8(1,0),C是坐标平面内的点，连接48、BC、C4所

形成的图形为S,记S的宽距为d.

①若d=2,求点C所在的区域的面积：

②若点C在OM上运动，OM的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于。M上任

意点C,都有5WdW8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.

12

25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和OM(半径为r),给出如下定义：若点P关于点M的对称点为

Q,且rWPQW3r,则称点P为。M的称心点.

(1)当。。的半径为2时,

①如图1,在点4(0,1),8(2,0),C(3,4)中,。。的称心点是；

②如图2,点。在直线y=上，若点。是。。的称心点，求点D的横坐标m的取值范围;

(2)07的圆心为T(0,t),半径为2,直线丫=矍+1与x轴，y轴分别交于点E,F,若线段EF上的所

有点都是。7的称心点，直接写出t的取值范围.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a/-2ax-3a(a<0)经过点4(一1,0),将点8(0,4)向右

平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

27.已知四边形ABCC中，AD//BC,AB=AD,/.ABC=2zC=2a,点E在AD上，点尸在DC上.

(1)如图1,若a=45。，4B0C的度数为；

(2)如图2,当a=45。,NBEF=90。时，求证:EB=EF；

(3)如图3,若a=30。，则当48EF=时，使得EB=EF成立？(请直接写出结果)

28.如图，以。ABC。的对角线8。为直径作O。，分别于8C,4。相交于点E,F.

(1)求证：四边形BEDF为矩形.

(2)若BO?=BE-BC,

①试判断直线CD与。。的位置关系，并说明理由；

②当BD=VIU，EC=3时，求tan4c的值.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

各图形中：

(1)不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意;

(2)是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意;

(3)既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意;

(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.

故既是轴对称图形又是中心对称图形的共有2个.

故选B.

2.答案：D

解析：解：连接。C，过点4作4。1CD于点。，

••♦四边形力。BC是平行四边形，。4=0B,

.••四边形4。"为菱形，

.•・0A=AC=2.

•・・0A=0C,

.•.△HOC是等边三角形，

Z.AOC=乙BOC=60°,

ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形.

vAO=2,

•••AD=OA-sin600=2x—=V3.

2

.c一c7r_12°TTX22-2xix2xV3

',、阴影一、扇形AOB一八MOC-3602

故选：D.

连接OC,过点4作ZD1CD于点D,四边形40BC是菱形可知04=AC=2,再由。4=0C可知△AOC

是等边三角形，乙40C=NBOC=60。，故△AC。与ABOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐

角三角函数的定义得出AD的长，由S阴影=S崩形AOB-2Sf0C即可得出结论.

本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键.

3.答案：D

解析：解；••,二次函数y=a(x-1)2+k(a>0),

二顶点坐标为(l,k),对称轴x=l,

根据抛物线的对称性，8(0,-1)、0(2,-1)正好关于直线x=1对称，

.♦.有4(1,0)、B(0,-l)、。(2,-1)三点在关于％的二次函数丫=。(％-1)2+卜(£1>0)的图象上；

故选。.

根据抛物线的解析式求得顶点坐标和对称轴，可以判定4在二次函数y=a(x-1)2+k(a>0)的图

象上，根据二次函数的对称性结合对称轴可以判定8、。在二次函数y=tz(x-I)2+k(a>0)的图象

上.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.

4.答案:D

解析：

本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出44cB=90。.本题属于基础题，难度不大,

解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90。是关键.

根据4B是。。的直径可得出乙1CB=90°,再根据三角形内角和为180。以及4OBC=60°,即可求出

4B4C的度数.

解：•••AB是。。的直径，

•••乙ACB=90°,

又；4OBC=60°,

•••乙BAC=180°-Z.ACB-乙ABC=30°.

故选。.

5.答案：C

解析：解：二次函数y=(x-1产+2的图象的顶点坐标为(1,2),

・•・向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2),

二所得的图象解析式为y=(x-2产+2.

故选：C.

先求出y=1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐

标，然后利用顶点式解析式写出即可.

本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律”左加右减，上加下减”求出平移后的函数图象的

顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.

6.答案：B

如图，连接月。并延长,Z1=ZABOZBAOZ2=ZACO^ZCAO

ZAOC=Z1+Z2=ZABO-ZBAO+ZACO+ZCAO=-NABC+1ZACO+ZBAC

22

.\ZAOC=-(ZABC-ZBCA)+ZBAC=-(1800-ZBAC)+ZBAC

22

=90°+；NBAC=130°

.\ZBAC=80°

7.答案：B

解析：解：•.•反比例函数y=—：中，fc=-3<0,

.・.此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，

vxr<x2<0<x3,

••・％V%>o、<o，

•••y3<yi<力，

故选：B.

先根据反比例函数y=的系数—3<0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大

X

而增大，再根据<X2<°<3'判断出yi、及、丫3的大小.

本题考查了由反比例函数的图象和性质确定丫2,%，乃的关系.注意是在每个象限内，y随X的增大

而减小.不能直接根据X的大小关系确定y的大小关系.

8.答案：B

解析：解：如图，以4c为边作等边三角形4CE,连接ME,过点4作4F1ME于点F,

•・・△ACE为等边三角形，

・•・BC=CM,AC=CE,乙BCM=/.ACE=60°,

:.Z-BCA=乙MCE,

在△BG4和△MCE中，

BC=MC

Z-BAC=乙MCE,

AC=CE

•••△BC4WAMCE(S4S),

・•・BA=ME,Z.BAC=AMEC=90°,

:.Z.AEF=90°-60=30°,

•・・B是直线/的动点，

・•・M在直线ME上运动，

・・・AL4的最小值为AF,

vAE=AC=4,

AF=-AE=2.

2

故选：B.

以AC为边作等边三角形ACE,连接ME,过点A作AF_LME于点F,证明△BC4三△MCE(SAS),由全

等三角形的性质得出BA=ME,ABAC=AMEC=90°,由直角三角形的性质可得出答案.

本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练

掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

9.答案：-1wywi

解析：解：・；y=3/+2x=3(x+§2一%

•••函数的对称轴为％=

・•・当—14x400寸，函数有最小值一/当久=一1时，有最大值1,

.♦.y的取值范围是一：Wy41,

故答案为一［<y<1.

由于对称轴为x=-p则当—1<%<。时，函数有最小值一：当％=-1时，有最大值1，即可求y的

取值范围.

本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够求x在指定范围内y的取值范围是

解题的关键.

10.答案：24

解析：解：设白球个数为：x个，

••,摸到红球和黑球的概率稳定在50%和30%左右，

二口袋中得到白色球的概率为1一50%-30%=20%,

•••—=20%,

120

解得：x=24,

即白球的个数为24个，

故答案为：24.

由摸到红球和黑球的概率稳定在50%和30%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数

即可.

此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.

11.答案:5

解析：解：,•,两个函数图象上有三个不同的点A6,m),C{x3,m),其中m为常数，

...其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函

数图象上，

假设点4和点8在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，

11

1

•*,巾=一,得5_

x3m

W=+%2+%3=0+%3=A，

故答案为：—.

m

根据题意和二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决.

本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答

本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答.

12.答案：4：5

解析：解：因为小明的身高为1.6m,在某一时刻，他的影长为2m,

所以小明的身高与影长的比=1.6：2=4：5,

故答案为：4：5.

根据题意得出比例解答即可.

此题主要考查了相似三角形的应用，得出影长与身高比例关系是解题关键.

13.答案：|

解析：解：如图，以0B为直径作OK,当直线4E切OK于。时，BE的值最大.

•••4E是OK的切线，

DK1AE,

4ADK=90°,

•••4B是直径，

•••/.AEB=90°,

•••Z.ADK=Z.AEB,

•••DK//BE,

DKAK

:.———,

BEAB

13

-―f

BE4

•••BE=p

故答案为:

如图，以OB为直径作OK,当直线4E切0K于。时，BE的值最大.

本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

14.答案：2次60°24V3

解析：解：边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，

而正多边形的边心距即为每个边长为a的正三角形的高，

正六多边形的边心距等于4xsin60°=2百，

.♦•中心角为：360。+6=60。，

•••正六边形的面积为6x1x4x2V3=24遍.

故答案为：26,60°,2473.

解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为4的正三角形

的高，从而构造直角三角形即可解.中心角利用360+6即可求解；然后利用三角形的面积公式即可

求解正六边形的面积.

本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本

知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算.

15.答案：25。

解析：试题分析：本题考查圆的性质。在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心

角的一半。

乙AOB=50°,则4C8=25°

考点：圆

16.答案：（1）当a=3时，，花台的面积TT『x3.14x9=28.26«28.3（平方米）

（2）花台费用：lOOxtTa：工314a2（元）

种草费用：50x（4a-261—兀.2）"50x（8口？一3.14.2）

=50x4.86/

=243a2（元）

共需资金：314a2+243/=557a元）

答：美化这块空地共需资金557a-

解析：（1）花台的面积合起来正好是半径为a的圆的面积，利用圆的面积公式可得到结果；（2）花台面

积为兀/平方米，所需资金为兀/x100.草地面积为（8/-兀/）平方米，所需资金为（8/-兀/）x

50,其中7取3.14.共需资金为花台所需资金+草地所需资金.

17.答案：（1）证明：为直径，

•••乙DBC=90°,

BD1BC,

•••四边形04BC是平行四边形，

AO//BC,

F

BDLOA,

•••直线EF切。。于点4,

・••OALEF,

.-.EF//BD；y

（2）解：连接。B,如图，

•••四边形04BC是平行四边形，

:.OA=BC,

而08=OC=OA,

:.OB—OC-BC,

••.△OBC为等边三角形，

・・.Z.C=60°,

・・・AAOE=ZC=60°,

,,AF

在RtACME中，vtanz.AOE=—,

OA

AE=3tan60°=3V3.

解析：⑴利用圆周角定理得到4»BC=90。，再利用平行四边形的性质得4。〃"，所以BD104,

再根据切线的性质得出。4EF,所以041EF,于是得到EF〃BD；

（2）连接。B,如图，利用平行四边形的性质得04=BC,则OB=OC=BC,于是可判断△08C为等

边三角形，所以4c=60。，易得乙4OE=4C=60。，然后在Rt/kOAE中利用正切的定义可求出AE的

长.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了平行四边形的性质和解直角三

角形.

18.答案：解：(1)如图所示，DE即为所求.

(2)•・•。是4B中点，E是4C中点,

DE是AABC的中位线,

•••DE//BC,且案=：

**•△ABC,

则受匹=瓷产=

S“8cBC4

又S>ADE=2,

"S&A8c=8.

解析：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图、相似三角形的判

定与性质.

(1)利用尺规作图作线段4C的中垂线即可得其中点E,连接DE即可;

(2)先由DE是△ABC的中位线知。E〃BC且器=也继而由△4DE"4BC得舞J=瓷产，据此求解

可得.

(2)其中正方形网格1中所画三角形的面积为：jX12X8=48.

正方形网格2中所画三角形的面积为：1(2+8)x8-ix8x6-|x2x2=14.

故答案为：48,14.

(1)利用勾股定理结合等腰三角形的性质求出即可：

(2)利用三角形面积求法得出即可.

此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，熟练应用勾股定理得出是解题关键.

20.答案：解：(1)令y=0,得一/+2x+3=0,

解得：x=3或x=—1.

令x=0,可得y=3.

二4(一1,0),B(3,0),C(0,3)

(2)如图所示：连接DO.

D(l,4).

1''S四边熟BDC=S^COD+S^OBD=-x3xl+-x3x4=7.5.

S&BCD=S四边形OBDC~S^OBC=7s~~x3x3=3.

BC。的面积为3.

解析：(1)令y=。可得到关于x的方程，从而可求得％的值，故此可得到点4和点B的坐标，然后将x=0

代入抛物线的解析式可求得对应的y的值，从而得到点C的纵坐标；

(2)先求得点。的坐标，然后依据S西图形OB”=SACO。+SA°BD求得四边形OBDC的面积，最后，再依

据SABCD=S四边形QBDC-SAOBC求解即可.

本题主要考查的是二次函数与x轴的交点，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.

21.答案：解:

(1)・・•有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，

•••球上汉字是“美”的概率为P=3

4

(2)列举如下:

美丽南LIJ

美・-一（丽,美）（南，美）（ill.美）

丽（美,丽）（南,丽）（ill,丽）

南（美,南）（丽，南）一（ill,南）

山（美，山）（丽，山）（南，山）一

所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的情况有4种,

解析：（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球,

除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意列举出所有可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的

情况，再利用概率公式即可求得答案.

此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.注意

掌握放回试验与不放回实验的区别.

22.答案：90°

解析：解：如图所示：旋转角度是90。.

故答案为：90°.

分别作出AC,CE的垂直平分线进而得出其交点0,进而得出答案.

此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键.

23.答案:（1）证明:的垂直平分线。E,

：•AD=BD，

是等腰三角形;

（2）解：的周长为20,

•••BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=20,

vAC=12,

.・.BC=8.

解析：（1）根据线段垂直平分线得出=即可得出答案:

（2）根据△BCD周长得出BC+AC=20,代入即可求出答案.

本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端

点的距离相等.

24.答案：21+而

解析：解：（1）①半径为1的圆的宽距离为2,

故答案为2.

②如图1,正方形4BCD的边长为2,设半圆的圆心为。，点P是。。上一点，连接OP,PC,0C.

AOP+0C>PC,

：.PC<1+Vs,

・•・这个“窗户形”的宽距为1+倔

故答案为1+V5.

（2）①如图2-1中，连接AB、BC、C4所形成的图形是图中阴影部分Si和S2（分别以4、B为圆心，以

4B为半径所作的圆心角为120。的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）.

②如图2-2中，当点M在y轴的右侧时，连接ZM,作MTlx轴于7.

设M点坐标为(x,2)(x>0),

由题意可知：AC=d,MC=1,

由图象可知：AM-MC<AC<AM+MC,

又•••对于0M上任意点C,5<d<8恒成立，

AM-MC>5,AM+MC<8,

•••6<AM<7,

在RtAAMT中，根据勾股定理得：AM2=MT2+AT2=22+(x+I)2,

62<22+(尤+1)2<72,

32<(x+l)2<45,

x>0,

■­■4V2<x+1<3V5，

4V2-1<x<3V5-1.

.•・满足条件的点M的横坐标的范围为4立一1<x<3V5-l.

当点M在y轴的左侧时，同理可得，满足条件的点M的横坐标的范围为-3通+1<x<-4V2+1.

综上所述，满足条件的点M的横坐标的范围为一3遍+l<x<-4V2+1或4/-1<x<3V5-1.

(1)①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题.

②如图1,正方形力BCD的边长为2,设半圆的圆心为。，点P是。。上一点，连接OP,PC,0C.求出

PC的最大值即可解决问题.

(2)①如图2-1中，连接4B、BC、C4所形成的图形是图中阴影部分S］和S2,点C所在的区域的面积

是1+S2-

②如图2—2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM,作MTJ.X轴于T.求出d=5或8时，点M的坐标,

即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可.

本题属于圆综合题，考查了平面图形S的“宽距”的定义，正方形的判定和性质，三角形的三边关系

等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于

中考压轴题.

25.答案：(1)①点4,B

②•点。在直线y=上，且点。的横坐标为m,

•1•D的坐标为(m,6m),

二点。关于点。的对称点D'的坐标为(―—百加)，

:.DD'-+m)2+(V3m+V3m)2-4|m|>

•••点。是。。的称心点，且。。的半径为2,

2<417nl<6,

-1<m<-［或T<m<I，

二点D的横坐标m的取值范围是一|Sm<一：或］<m<I；

针对于直线y=9x+l,

令％=0,

/.y=1,F(0,l),

・・・OF=1,

令y=0,

--%4-1=0,

3

:.x=一百，

/.£(-73,0),

.・.OE=A/3,

在Rt△EOF中,tanzFFO=器=百,

4EFO=60°,

过y轴上一点“作直线EF的垂线交线段E尸于G,

•••线段EF上的所有点都是O7■的称心点，且。7的半径为2,

"TG最小=2,

在RtAFGT中，sinzEFO=—,

FH

sinzEFO3

.■■OH=FH-OF=--1,

3

当点T从H向下移动时，GH,FH越来越长，EH越来越短，到点G和E重合之后，GH越来越长,

••・线段EF上的所有点都是。7的称心点，

：.FH=l-t<3,

t>—2,

EH<3,

AVt2+3<3，

t>—V6>

C7*11

••-2<t<1—2V3—>

当点7从点”向上移动时，点7在F"上时，7到EF的距离小于2,此种情况不符合题意，

当点T从点尸向上移动时，ET>EF,

即：ET>2,

・••线段EF上的所有点都是。7的称心点，

FH>1,EH<3,

t-1>1,7t2+3<3，

2<t<A/6，

且t的取值范围是一2<t<1一等或2<t<V6.

解析：

解：⑴①•••4(0,1),

・••点4关于点。的对称点为4(0,-1),

AA'=1-(-1)=2,

•・•。。的半径为2,

•••点A是00的称心点，

8(2,0),

.••点B关于点。的对称点为8'(-2,0),

BB'=2-(-2)=4,

•••。。的半径为2,

•••2<BB'<6,

•••点B是。。的称心点，

•••C(3,4)，

•••点C关于点。的对称点为C'(—3,-4),

CC'=J(3+3(+(4+4)2=25>3r,

•••点C不是。。的称心点，

故答案为：点4B；

②见答案

(2)见答案

(1)①先求出点4,B,C关于点。的对称点A,B',C'进而求出44',BB',CC',再判断即可得出结论；

②先求出点。的坐标，再利用新定义建立不等式求解即可得出结论；

(2)先求出点E,F坐标，进而求出“F。=60°,进而找出y轴上到线段EF的距离为2时的位置，再分

情况利用新定义，即可得出结论.

此题是圆的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，锐角三角函数，两点间的距离公式，分类讨

论，理解和应用新定义是解本题的关键.

26.答案：解：(1)根据平移规律，向右平移5个单位，其纵坐标不变，横坐标加5,因此C(5,4),

(2)由抛物线的对称轴的计算方法得：x=-捻=1,

(3)如图所示：①当抛物线的顶点在线段BC上时，顶点(1,4),即：a-2a-3a=4,解得：a=—l,

②当抛物线与y轴交点在(0,4)以上，即：-3a>4,解得：a<

综上所述：a<=-1.

解析：(1)根据平移点的坐标的不变规律，得出答案；

(2)利用抛物线的对称轴的计算方法x=-萤求得即可；

(3)结合图象，分两种情况，第1种为顶点在BC上，即顶点(1,4),第2种为与y轴的交点在(0,4)以上,

抛物线与线段BC恰有一个公共点.

考查二次函数的图象和性质，掌握平移规律和抛物线的顶点坐标计算方法是解决问题的关键.

27.答案：(1)90°；

(2)证明:

连接8。，作交80于M,

v/.ABC=90°,Z.ABD=Z.ADB=45°,AD//BC,

・・・Z,A=90°,

・・・乙EMD=乙EDM=45°,Z-DEM=匕4=90°

・・.△EM。是等腰直角三角形，

・•・DE—EM,

v乙DEM=Z-BEF=90°,

:.乙MEB=(DEF=90°-4MEF,

•・・乙EMD=乙EDM=45°,(BDC=90°,

・•・乙EMB=4EOF=135°,

・••在和△£*1)产中

2MEB=乙DEF

EM=ED

"MB=Z.EDF

••.△EMB*EDFG4SA),

・•・EB=EF.

(3)120°.

解析：

(1)解：・・・a=45。，Z-ABC=2zC=2a,

・・・/LABC=2a