2020-2021学年广东省深圳市罗湖区布心中学九年级（下）期末数学复习试卷六（附答案详解）

2020-2021学年广东省深圳市罗湖区布心中学九年级(下)

期末数学复习试卷(6)

1.如图，。。是AABC的外接圆，4c是直径，弦8。=

BA,EBLDC,交DC的延长线于点E.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)当sin/BCE=|,AB=3时，求⑷?的长.

2.如图1,。是。。的直径BC上的一点，过。作交。。于E、N,尸是。。上的

一点，过F的直线分别与CB、OE的延长线相交于4、P,连结CF交PD于M,4c=

(1)求证：P4是。。的切线；

(2)若41=30。，。。的半径为4,DM=1,求PM的长；

(3)如图2,在(2)的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点并且以H、D、

C为顶点的三角形与尸M相似，求。”的长度.

3.如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,点。，D分别为ZB,BC的中点，连接。D,作。。

与4c相切于点E,在4C边上取一点F,使DF=D。，连接DF.

(1)判断直线DF与。。的位置关系，并说明理由;

(2)当NA=30。，。F=四时，求。。的半径.

第2页，共46页

4.已知4D为0。的直径，BC为。。的切线，切点为M,分别过A,D两点作BC的垂线,

垂足分别为B,C,AD的延长线与BC相交于点E.

(1)求证：AABMfMCD；

(2)若40=8,AB=5,求ME的长.

5.如图，4B为。。的直径，C,G是。。上两点，过点C的直线CD_LBG于点。，交B4

的延长线于点E,连接BC,交0D于点F,且BC平分N4BD.

(1)求证：CO是。。的切线；

(2)若色="求NE的度数；

(3)连结力。，在(2)的条件下，若CD=2w，求4。的长.

E0B

6.如图，在△ABC中，Z.C=90°,AE平分4BAC交BC于点E,

。是4B上一点，经过4,E两点的。。交48于点。，连接。E,

作4DE4的平分线EF交。。于点尸，连接4F.

(1)求证：BC是。。的切线.

(2)若sin/E凡4=g,AF=5V2,求线段AC的长.

7.如图，在A4BC中，以BC为直径的。。交4C于点E,过点E作AB的垂线交4B于点尸,

交CB的延长线于点G,且N4BG=24c.

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)若tanC=g,AC=8,求。。的半径.

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A

E

8.如图，点。是△ABC的边AB上一点，。。与边AC相切

于点E，与边BC,AB分别相交于点。，凡且DE=EF.

(1)求证：ZC=90°；

(2)当BC=3,=2寸，求ZF的长.

9.如图所示，。。的半径为4,点4是。。上一点，直线，过点4；P是。。上的一个动

点(不与点4重合)，过点P作于点B,交。。于点E,直径尸。延长线交直线I于

点尸，点4是血的中点.

(1)求证：直线/是。。的切线；

(2)若P4=6,求PB的长.

p

10.如图，AB是。。的直径，AC为弦，4BAC的平分线交。。于点。，过点。的切线交AC

的延长线于点E.求证：

E

⑴DE_LAE；

(2)AE+CE=AB.

11.如图，力B为。。的直径，C为。。上一点，。为B4延长线上一点，^ACD=Z.B.

(1)求证：CC为。。的切线;

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(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F且4CEF=45。，。。的半径为5,sinB=|,求

CF的长.

12.$nS，^ABC^,AB=BC,以AB为直径的。。交BC于

点D,交AC于点F,过点C作CE〃/1B,与过点4的切线相

交于点E,连接4D.

(1)求证：AD=AE；

(2)若4B=6,AC=4,求4E的长.

13.如图,AB为。。的直径，点C在。。外，乙4BC的平分线与0。

交于点。，4c=90°.

(1)CD与。。有怎样的位置关系？请说明理由;

(2)若ZCDB=60°,AB=6,求⑰的长.

14.如图，4B为。。的直径，C为。。上一点，4。和过点C的

切线互相垂直，垂足为。，且交。。于点E.连接。C,BE,

相交于点F.

(1)求证：EF=BF-,

(2)若DC=4,DE=2,求直径的长.

15.如图，已知4、B是。0上两点，AO/IB外角的平分线交。。于

另一点C,CD交4B的延长线于D.

(1)求证：CD是。。的切线；XA

(2)E为触的中点，F为。。上一点，EF交4B于G,若tan乙4FE=

BE=BG,EG=3V10，求。。的半径.

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16.如图，4B是。M的直径，BC是。M的切线，切点为B,

C是BC上(除B点外)的任意一点，连接CM交OM于点G,

过点C作。C1BC交BG的延长线于点D,连接4G并延

长交BC于点E.

(1)求证：4ABE7BCD；

(2)若MB=BE=1,求CD的长度.

17.如图1,平行四边形4BCD中，AB1AC,AB=6,力。=10,点P在边4D上运动，

以P为圆心，P4为半径的(DP与对角线4C交于4E两点.

(1)如图2,当OP与边CC相切于点尸时，求4P的长；

(2)不难发现，当OP与边CD相切时，OP与平行四边形4BCD的边有三个公共点，

随着ZP的变化，OP与平行四边形4BCC的边的公共点的个数也在变化，若公共点

的个数为4,直接写出相对应的4P的值的取值范围______.

18.如图，RtA4BC中，448c=90。，以4B为直径作。。，

点。为。。上一点，且CD=CB,连接。。并延长交CB的延

长线于点E.

(1)判断直线CD与0。的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4,DE=8,求4c的长.

19.如图，4B为。。的直径，点C为。。上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中

点。恰好与圆心。重合，连接。C,CD,BD,过点C的切线与线段B4的延长线交于

点P,连接4D,在P8的另一侧作4MPB=N4DC.

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A/

(1)判断PM与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若PC=V3,求四边形OCCB的面积.

20.如图，力B是。。的弦，过4B的中点后作£77J.。4垂足为点C,过点B作直线BC交

CE的延长线于点D,使得DB=DE.

(1)求证：BD是。。的切线;

(2)若48=12,DB=5,求4408的面积.

21.如图，A/IBC中，AB=AC,以48为直径的。。交

BC于点D,交4C于点E,过点。作FG14C于点F,

交48的延长线于点G.

(1)求证：FG是。。的切线;

(2)若tcmC=2,求加的值.

22.如图，P是。。外的一点,PA,PB是。。的两条切线，A,B是切点，P0交48于点

F,延长B。交。。于点C,交P力的延长线于点Q,连接4c.

(1)求证：AC//PO；

(2)设。为P8的中点，Q0交4B于点E,若。。的半径为3,CQ=2,求器的值.

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23.如图,4B是(D。的直径，元=位是0B的中点，连接CE并延长到点尸，使EF=CE.

连接AF交。0于点。，连接BD,BF.

(1)求证：直线BF是。。的切线；

(2)若。8=2,求BD的长.

24.如图，已知4B是。。的直径，P是84延长线上一点，PC切。0于点C,CG是。。的

弦，CG1AB,垂足为D.

(1)求证：4PCA=LABC.

(2)过点4作4E〃PC交00于点E,交CD于点F,连接BE,若cos"='CF=10,

求BE的长.

pB

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答案和解析

1.【答案】解：(1)证明：连结OB,0D,

在△480和408。中,

(AB=BD

lB0=B0,

WA=0D

:・xAB0e〉DB0(SSS),

・•・乙DBO=乙ABO,

•・•/,ABO=Z.0AB=乙BDC,

**•Z-DBO=乙BDC,

:.0B//ED,

vBE1ED,

・・.EB1BO,

・・・BE是。。的切线；

(2)・・・4C是直径，

・•・/.ABC=90°,

•・•Z-OBA+乙OBC=乙EBC+乙OBC=90°,

:.Z.OBA=乙EBC,

:.Z-BAC=Z-EBC,

,:BE1DE,

・•・乙E=90°,

:.(BCE+乙EBC=£.BAC+乙ACB=90°,

vZ.BAC=乙EBC,

:.Z-ACB=乙BCE,

3

vsinZ-BCE=

4

3

・•・sinzJlCB=

4

-AB=3,

・・・AC=4,

•・•乙BDE=Z.BAC,

3

・•・sinZ.DBE=

4

•・•BD=AB=3,

二吟

BE=\IBD2-DE2=—

4

,:乙CBE=Z.BAC=乙BDC,乙E=乙E,

BDE~>CBEf

BE_DE

CE~BE

7

ACE=

4

・•・哈，

•••AD=^AC2-CD2=V

【解析】本题考查了圆的切线判定，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义和

相似三角形的判定和性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识.

(1)连接。B,0D,证明△AB。三△DB。，推出OB//DE,继而判断BE1。8,可得出结

论；

(2)根据圆周角定理得到乙4BC=90°,根据余角的性质得到乙4cB=乙BCE,求得AC=4,

根据勾股定理得到BE=7BD2-DE2="根据相似三角形的性质得到CE=根据

44

勾股定理即可得到结论.

・♦・乙PHM=4CDM=90°,

・••乙PMH=乙DMC,

・・・ZC=匕MPH,

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VAC=-AFPM,

2

••・乙HPF=乙HPM,

•・・乙HFP+乙HPF=90°,乙HMP+乙HPM=90°,

・・・乙PFH=乙PMH,

•・・OF=OC,

:.Z.C=乙OFC,

vzC+乙CDM=ZC+乙PMF=zC+乙PFH=90°,

ZOFC+ZPFC=90°,

••・Z.OFP=90°,

二直线P4是。。的切线；

(2)解:如图1中,

•••44=30°,^AFO=90°,

•••AAOF=60°,

vNAOF=NOFC+Z.OCF,乙OFC=4OCF,

“=30°,

的半径为4,DM=1,

•••OA=2OF=8,CD=6DM=娼,

OD=OC-CD=4-y/3,

二AD=。4+。。=8+4-百=12-百，

在RtAADP中，

DP=AD-tan30°=(12-V3)xy=4V3-1,

•••PM=PD-DM=4V3-2;

(3)如图2中,

由(2)可知：BF=^BC=4,FC=y/3BF=4V3，CM=2DM=2,CD=V3.

•••FM=FC-CM=4V3-2,

①当ACDH-aBFM时，—=^,

DH_V3

473-2-4

6—V3

：•DH=

2

②当ACDZ/sAMFBB寸，—=^,

DH_W

4-46-2’

12+2V3

・•・DH-------,

ii

•：DN=J42-(4-V3)2=J8V5-3,

■.DH<DN,符合题意,

综上所述，满足条件的。”的值为三四或三衿

【解析】(1)如图1中，作PH1FM于H.想办法证明NPFH=4PMH,ZC=Z.OFC,再根

据等角的余角相等即可解决问题；

(2)解直角三角形求出AD,PD即可解决问题；

(3)分两种情形①当△CDHYBFM时，器=

②当ACDH-AMFB时，詈=器，分别构建方程即可解决问题；

本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

3.【答案】解：(1)结论：DF是。。的切线.

理由：作。G1DF于G.连接。E.

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B

BD—DC,BO=0Af

・•・OD//AC,

:.Z.ODG=乙DFC,

vWGD=Z.DCF=90°,ODDF,

・•.OG—DC,

・・•AC是O。的切线，

:.OE1AC,

・•・乙4E0=ZC=90°,

・•・OE//BC,

・・•OD//CE,

・・・四边形CDOE是平行四边形，

・•・CD=OE,

・•・OG=OE,

・・・。尸是。0的切线.

(2)vFA,FD是。。的切线,

・・・FG=FE,设EG=FE=x,

•••△0GDWADCF(A4S),

.・.DG=FC=V2,

:.OD=DF=V2+x,

-AC=2OD,CE=OD,

・•・AE=EC=OD=V24-%,

•・•LA=30°,

在RtADCF中，VDF2=CD2+CF2,

•••(V2+x)2=(V2)2+(箸尸，

解得x=V3—四或—遍—&(舍弃),

V3

【解析】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判

定和性质，切线长定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

⑴结论：。尸是O。的切线.作0G1。尸于G.连接0E.想办法证明0G=0E即可解决问题;

(2)由尸4FD是。。的切线，推出尸G=FE,设尸G=FE=X,由^OGDEADCF(AAS),

推出DG=CF=y[2,推出。0=DF=^2+x,由4c=20D,CE=OD,推出AE=EC=

0D=y/2+x,由N4=30。，推出CD=OE=窄，在RtADCF中，^DF2=CD2+

V3

CF2,构建方程即可解决问题.

4.【答案】(1)证明：,.・AD为圆。的直径,

:.Z-AMD=90°,

v乙BMC=180°,

Z2+Z3=90°,

v4ABM=乙MCD=90°,

・•・Z24-Z1=90°,

・•・zl=z3,

则△48M*MCD；

(2)解:连接。M,

・・・BC为圆。的切线，

・•・OM1BC,

vAB1BCf

:・AB"OM

EBAs&EMO

UMf\DUM

—=—,即an-----=—

AEOEAO+OEOE

vAD=8,AB=5,

第20页，共46页

焉=蔡即0E=16,

根据勾股定理得：ME=yJOE2-OM2="62-42=4V15.

【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及切线的性质，熟练学

握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

(1)由4。为直径，得到所对的圆周角为直角，利用三角关系得到一对角相等，进而利用

两对角相等的三角形相似即可得证;

(2)连接。M,由BC为圆的切线，得到。”与BC垂直，利用相似三角形的性质及勾股定理

即可求出所求.

5.【答案】解：(1)证明：连接0C,

•••0C=OB,BC平分Z71BD,

・•・Z-OCB=乙OBC,Z-OBC=乙DBC,

:.Z.DBC=Z-OCB,

・・・OC//BD,

・，・Z-BDC=乙ECO,

・・•CD1BD,

・・.乙BDC=90°,

・•・乙ECO=90°,

.•・。。是。。的半径，

・・.CD是。。的切线；

(2)由(1)知，

OC//BD,

，乙OCF=LDBF,(COF=(BDF,

•••△OCF~ADBD,

.OF_OC

,•~D—F—DB♦

OF2

,,__——，

•FD—3

・•・一OC=2

DB3

•♦・OC//BD,

EOC^LEDB,

.oc_EO

BDEB

.EO_2

••-—一，

EB3

设OE=2a,EB=3a,

OB=a,

・•・OC=a,

VZ.OCE=90°,OC=^OE,

•••ZF=30°；

(3)vNE=30°,乙BDE=90°,BC平分4BE,

•••乙EBD=60°,/.OBC=乙DBC=30。，

•••CD=25/3.

BC=4V3,BD=6,

OC_2

—=一,

DB3

:.OC=4,

作OMJL/8于点M,

・•・乙DBM=90°,

vBD=6,乙DBM=60°,

・•・BM=3,DM=3后

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・・•OC=4,

・•・AB=8,

・・・4M=5,

V/.DMA=90°,DM=3痘,

J(3V3)2+52=2V13.

AD=y/DM2+AM2=

【解析】本题是一道圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件，利用相似三角形的判定与性质、数形结合的思想解答.

(1)连接。C,然后根据题意和角平分线的性质可以判断OC〃BD,由NBDC=90。，从而

以证明结论成立；

(2)根据题意和三角形的相似、锐角三角函数，可以求得4E的度数；

(3)根据题意和(2)中的条件，作出合适的辅助线，利用锐角三角函数和勾股定理可以求

得的长.

6.【答案】证明：(1)连接。E,

vOE—OA,

・•・Z.OEA=Z-OAE,

•••4E平分4

・•・Z.OAE=Z.CAE,

Z-CAE=Z.OEA,

・•・OE//AC,

・•・(BEO=ZC=90°,

・・・8C是。。的切线；

(2)过4作A/1EF于H,

Rt^AHF^>,sin^EFA

AF5

•：AF=5V2，

AH=4V2.

•••4。是。。的直径，

•••AAED=90°,

■:EF平分ZJ1ED,

・•・Z.AEF=45°,

・・・△4EH是等腰直角三角形，

・•・AE—y/2AH=8,

4AF

vsinZ-EFA=sinZ-ADE=-=—,

5AD

・•・AD=10,

・・•乙DAE=Z.EAC,/.DEA=Z-ECA=90°,

•••△AED^LACE,

AE_AD

ACAE1

【解析】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定，相似三角形的判定与性质，

锐角三角函数定义，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

(1)连接OE,可得：0E//4C,贝叱BE。=NC=90。，解决问题；

(2)过4作4H1EF于H,根据三角函数先计算4"=4五,证明△4EH是等腰直角三角形,

则AE=&AH=8，证明△AEDSAACE,可解决问题.

7.【答案】证明(1)如图：连接。E,BE

第24页，共46页

•・•Z.ABG=2z.C,Z.ABG=4。+ZJ1

・•・乙C=Z-A

・•・BC—AB,

・••BC是直径

・•・乙CEB=90°,且4B=BC

・・・CE=AEf且C。=OB

・•.OE//AB

•・•GE1AB

:.EG1OE,且OE是半径

・•・胡是0。的切线

(2)・・・4C=8,

・・•CE=AE=4

BE1

•・•tanz.C=——=-

CE2

・•・BE=2

BC=yJCE2+BE2=2>/5

CO=V5

即。。半径为遥

【解析】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，关键是灵活运用切线的判定解决问

题.

⑴由N4BG=2”.可得△4BC是等腰三角形，且BE14c可得4E=CE,根据中位线定

理可得0E〃4B,且力BJ.EG可得。E_LEG,即可证EG是。。的切线

(2)根据三角函数求BE,CE的长，再用勾股定理求BC的长即可求半径的长.

8.【答案】解：(1)连接OE,BE,

DE-EF,

DE=EF>

・•・乙OBE=乙DBE,

•・•OE—OB,

・•・Z.OEB=Z.OBE,

・•・Z.OEB=乙DBE,

・•・OE//BC,

・・•。0与边4。相切于点£,

・•・OE1AC,

・•・BC1AC,

・•・ZC=90°；

(2)在△ABC,Z.C=90°,BC=3,sinA="o

:.AB=5,

设OO的半径为r,则4。=5-r,

在中，sinA=77=7—=

OA5-r5

_15

T——,

8

AF=5-2x-=~.

84

【解析】(1)连接OE,BE,因为。E=E/，所以虎=介，从而易证4OEB=4DBE,

所以。E〃BC,从可证明BC1AC；

(2)设。。的半径为r,则4。=5—r,在RtA40E中，sinA==7—~从而可求

OA5—r5

出r的值.

本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综

合程度较高，需要学生灵活运用所学知识.

9.【答案】(1)证明：连接DE,0A.

PD是直径，

Z.DEP=90°,

vPB1FB,

・•・乙DEP=乙FBP,

・•・DE//BF,

AD=AEy

・•・OA1DE,

・•・OA1BF,

・•・直线/是。。的切线.

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(2)解：作0HJ.P4于H.

v0A=OP,OH1PA,

.・.AH=PH=3,

vOA//PB,

・•・Z.OAH=Z.APB,

v/-AHO=^ABP=90°,

.•・△40H7PAB,

OAAH

,••__—__，

PAPB

・•・4一=一3,

6PB

【解析】(1)连接DE,。4想办法证明。AIB尸即可；

(2)作。H_LPA于H,只要证明MOHsAPaB,可得等=笫即可解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

10.【答案】证明：(1)连接0。，如图1所示.

•••OA=OD,4。平分NB4C,

・•・Z-OAD=Z-ODA,Z.CAD=Z.OAD,

・•・Z.CAD=Z.ODA,

^AE//OD.图1

・・・05是0。的切线，

:.LODE=90°,

・•・0D1DE,

:.DE1AE.

(2)过点D作。M1AB于点M,连接CD、DB,如图2所示.

•••AD平分NB4C,DELAE,DMLAB,

：.DE=DM.

(DE=DM

在△D4E和4M中，\AAED=/.AMD=90°,

图

[AD=AD2

・••△DAE^Ln4M(SAS),

­.AE=AM.

•・•Z.EAD=乙MAD,

・•・CD=如，

-CD=BD.

在Rt△DEC和RtADMB中，=??

ICC=BD

•••Rt△DECmRt△DMB(HL),

CE=BM,

•••AE+CE=AM+BM=AB.

【解析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出/CAD=N0D4

利用“内错角相等，两直线平行”可得出4E〃。。，结合切线的性质即可证出DE1AE；

(2)过点。作。M14B于点M,连接C。、DB,根据角平分线的性质可得出DE=DM,结

合AD=AD,乙AED=/.AMD=90。即可证出4DAE^^DAM(SAS'),根据全等三角形的

性质可得出ZE=AM,由NE4D=NM4C可得出力=BD，进而可得出CD=BD,结合

DE=DM可证出Rt△DEC=Rt△DMB(HL),根据全等三角形的性质可得出CE=BM,

结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB.

本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性

质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)利用平行线的判定定理

找出4E〃00；(2)利用全等三角形的性质找出4E=4M、CE=BM.

11.【答案】(1)证明：连接OC,

•••4B为。。的直径，

Z.ACB=Z.BCO+Z.OCA=90°,

OB-OC,

:.乙B=乙BCO,

,:Z.ACD=乙B,

:.Z-ACD=乙BCO,

・・・4/。。+2。£71=90。，BPzOCD=90°,

・•.DC为。。的切线；

(2)解：RtAACB中，AB=10,

第28页，共46页

:.AC=6,BC=8,

vZ-ACD=乙B,Z,ADC=乙CDB,

・，•△CAD^^BCD,

ACAD63

——=——=—=—,

BCCD84

设AD=3%,CD=4%,

RtAOCD中，0。2+亦=。。2,

5?+(4x)2=(5+3x)2,

x=0(舍)或9，

vZCFF=45°,Z.ACB=90°,

ACE=CF,

设CF=Q,

vZ-CEF=Z-ACD+乙CDE,

Z.CFE=+乙BDF,

・•・Z-CDE=乙BDF,

vZ.ACD=乙B,

・•・△CED~ABFD,

.CE_BF

,,~~~f

CDBD

.a_8-a24

,•谑一；^a=f，

771

CF=

7

【解析】(1)根据圆周角定理得：NACB=LBCO+^OCA=90°,根据同圆的半径相等

和已知相等的角代换可得：N0CD=90。，可得结论；

(2)先根据三角函数计算AC=6,BC=8,证明△a4D8BCD,得保=券=£=：,设

AD=3%,CD=4x,利用勾股定理列方程可得x的值，证明△CEDs^BFD,列比例式

可得CF的长.

本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考

题型.

12.【答案】⑴证明：与O。相切，AB是。。的直径，

AZ.BAE=90°,/,ADB=90°,

•♦・CE//AB,

・•・ZE=90°,

:.乙E=Z.ADB,

•・・在中，AB=BC,

・•・Z.BAC=Z.BCA,

vZ.BAC4-Z-EAC=90°,Z-ACEZ-EAC=90°,

:.Z.BAC=Z.ACE9

••・乙BCA=乙4c£*,

又「AC=AC,

•••△4DC三△4EC(44S),

・・・AD=AE；

(2)解：设AE=AD=x,CE=CD=y,

则8。=(6-y),

・・・△AEC^\LADB为直角三角形,

・•・AE2+CE2=AC2,AD2+BD2=AB2,

AB=6,AC=4,AE=AD=x,CE=CD=y,BD=(6—y)代入，

解得：x=随，y=i

3J

即AE的长为随.

3

【解析】⑴利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AAEC和△?!£)(；全

等即可证明4。=AE,

(2)设AE=AD=x,CE=CD=y,利用勾股定理列出关于x和y的等式，即可求出2E的

长.

本题考察了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线性质，全等三角形的性

质及判定，勾股定理等知识点，综合程度较高.

第30页，共46页

13.【答案】解：(1)相切.理由如下:

连接0D,

•••80是Z71BC的平分线,

・•・乙CBD=乙ABD,

又•・•0D=0B,

:,Z-0DB=乙ABD,

:.Z.0DB=乙CBD,

・•・0D//CB,

:.Z.0DC=ZC=90°,

・・・。。与。。相切；

(2)若乙CDB=60°,可得匕ODB=乙CBD=30°,

・•・Z,AOD=60°,

又・.•AB=6,

・•・AO=3,

60X71X3

・•・AD==7T.

180

【解析】(1)连接。D,只需证明乙。。。=90。即可；

(2)由(1)中的结论可得乙。。8=30。，可求得弧40的圆心角乙4。。的度数，再利用弧长

公式求得结果即可.

此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用.一条直线和圆

只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点.

14.【答案】解：(1)证明：・・・CD与。。相切于点D,

・•・OC1CD,乙OCD=90°,

vAD1CD,

••・OC//AD,

・・・Z.OFE=Z-AEB.

・・・4B为。。的直径，

:.Z.AEB=90°,

:.Z.OFE=Z.AEB=90°,

・•・OF1BE,

・・・EF=BF；

(2),・•Z.AEB=乙DEF="CD=乙CFE=90°,

・•・四边形"CD是矩形，

・•・EF=CD,DE=CF,

vDC=4,DE=2,

・・.EF=BF=4,CF=2,

设O。的为r,

v乙OFB=90°,

:.OB2=OF2+BF2,

即产=0一2产+42,

解得，r=5,

•••AB=2r=10,

即直径4B的长是10.

【解析】本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答本题的

关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

(1)根据题意证出OF1BE,再根据垂径定理即可证明结论成立；

(2)根据题意，证出四边形EFCD是矩形，求出EF=BF=4,CF=2,设。。的为r,

根据勾股定理列出关于r的方程，求出r的值，即可求解.

15.【答案】(1)证明：连接0C,如图，

•••BC平分乙0BD,

:.乙OBD=乙CBD,

•••OB=0C,

•••Z.OBC=/.OCB,

•••Z.OCB=Z.CBD,

：.OC//AD,

而CD1AB,

第32页，共46页

OC1CD,

・•.CD是。。的切线；

（2）解：连接0E交AB于H,如图，

•••E为您的中点，

OE1AB,

•••Z.ABE=Z-AFE,

3

tanZ.ABE=tanZ-AFE=

4

.•.在Rt△BE”中，tanZ.HBE=-BH=4

设EH=3%,BH=4%,

BE—5x,

•・,BG=BE=5x,

・•・GH=%,

在RtAEHG中,一+（3X）2=（3同）2,解得％=3,

EH=9,BH=12,

设。。的半径为r,则0H=r-9,

在RtAOHB中，（r-9y+122=「2,解得「=

即。。的半径为

【解析】（1）连接OC,如图，先证明NOCB=NCBD得至IJOC7/4C,再利用CD14B得到

OC1CD,然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）解：连接0E交48于H,如图，利用垂径定理得到。E14B,再利用圆周角定理得到

乙4BE=AAFE,在Rt△BE”中利用正切可设EH=3x,BH=4x,则BE=5x,所以BG=

BE=5x,GH=x,接着在RMEHG中利用勾股定理得到/+（3x）2=（3同）2,解方

程得久=3,接下来设。。的半径为r,然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r-

9）2+122=/,最后解关于r的方程即可.

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆

心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角

定理、垂径定理和解直角三角形.

16.【答案】(1)证明：・・・BC为OM切线,

・•・A.ABC=90°,

・.,DC1BC,

・•・乙BCD=90°,

・，・Z.ABC=乙BCD,

,・•力8是OM的直径，

・・・乙AGB=90°,

即：BGLAE,

•••Z-CBD4-Z.ABG=Z.A+Z.ABG=90°,

••・乙CBD=乙4,

ABEBCD;

(2)解：过点G作GH1BC于H,

•・・MB=BE=1,

・•・AB-2,

AE=7AB2+BE2=V5,

由(1)根据面积法

AB-BE=BG-AE,

BG=—,

5

由勾股定理：

AG=—，GE=—，

55

vGH//AB,

GHGE

J.-----=一,

ABAE

.GH_f

-2一也，

GH=短2

又「GH〃AB,

第34页，共46页

HCGH~

——fT)

BCMBJ

BH_GH小

同理:~BC~而②

①+②，得

HC+BHGH,GH

=-----F—，

BCMBDC

空+色=1,

MBDC

'CD=|

【解析】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似.解答时，

注意根据条件构造相似三角形.

(1)根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；

(2)利用勾股定理和面积法得到4G、GE,根据三角形相似求得GH,得到MB、GH和CD的

数量关系，求得CD.

17.【答案】解：(1)如图2所示，连接PF,

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=V102-62=8.

设4P=x,则DP=10—x,PF=x,

•：。。与边(7。相切于点产，

PF1CD,

•••四边形ABC。是平行四边形，

.-.AB//CD,

vABLAC,

•••AC1CD,

•••AC//PF,

•••△DPFfDAC,

PF_PD

AC~ADf

x_10-X

8-10

4040

・•・%=一AP

99

(2)曰<4P<当或4P=5

【解析】

解：(1)见答案

(2)当。P与BC相切时，设切点为G,如图3,

1

SaABCD=±x6x8x2=10PG,

2

PG=g，

①当。P与边4D、CD分别有两个公共点时,^<AP<^,即此时0P与平行四边形

48C。的边的公共点的个数为4,

②OP过点4、C、D三点、.，如图4,0P与平行四边形4BCD的边的公共点的个数为4,

此时AP=5,

综上所述，4P的值的取值范围是：或4P=5.

故答案为：?<4P<g或AP=5.

【分析】⑴连接PF，则PF1CD,由4B1AC和四边形4BCD是平行四边形，得PF〃AC,

可证明△OPFs^OAC,列比例式可得4P的长；

(2)有两种情况：

①与边AD、CD分别有两个公共点；②OP过点4、C、D三点.

本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质

和面积公式，第2问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题.

第36页，共46页

18.【答案】(1)证明：连接0C.

vCB=CD,CO=CO,OB=OD,

・•.△OCB=^OCD,

:.乙ODC=乙OBC=90°,

OD1DC,

・・・DC是。。的切线；

(2)解：设。0的半径为r.

在中，222

RtZkOBEv0E=EB4-0Bf

:.(8—r)2=r24-42,

r=3,

„OBCD

vtanzE=—=一,

EBDE

・•・-3=一CD,

48

:.CD=BC=6,

在Rt△ABC中，AC=7AB2+BC2=V62+62=6V2.

【解析】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

(1)欲证明CD是切线，只要证明。DLCD,利用全等三角形的性质即可证明；

(2)设。。的半径为r.在Rt△OBE中，根据0E?=EB2+0B2,可得(8-r)2=r24-42,

推出r=3,由tan”=^=9推出可得CD=BC=6,再利用勾股定理即可

EBDE48

解决问题.

19.【答案】解：(1)PM与。。相切.

理由如下：

连接。。并延长交PM于E,如图，

E

・•・弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点。恰好与圆心0重合，

，0C—DC,BO—BD,

・•・OC=DC=BO=BD,

・•・四边形08DC为菱形，

・•・OD1BC,

：.△。。。和408。都是等边三角形，

:.乙C0D=乙BOD=60°,

・・.(COP=乙E0P=60°,

v4MPB=Z.ADC,

而4ADC=Z.ABC,

:.^ABC=乙MPB,

・・・PM//BC,

OE1PM,

OE=-2OP,

•••PC为。。的切线，

OC1PC,

OC=-2OP,

:.OE—OC,

而OE1PM,

・・・PM是OO的切线；

(2)在RtZkOPC中，OC=yPC=yXV3=1,

二四边形。CD8的面积=2s4OCD=2x，x仔=11,

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了直线与圆的关系、圆周角定

第38页，共46页

理和折叠的性质.

(1)连接。。并延长交PM于E,如图，利用折叠的性质得0C=DC,BO=BD,则可判断

四边形OBDC为菱形，所以0D1BC,△OCD和AOBD都是等边三角形，从而计算出

/.COP=/.EOP=60°,接着证明PM〃BC得到。E1PM,所以OE=^OP，根据切线的

性质得到0clpC,则OC=：OP,从而可判定PM是。。的切线；

(2)先在Rt△OPC中计算出OC=1,然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB

的面积.

20.【答案】(1)证明：•••0A=OB,DB=DE,

••・Z.A=Z-OBA,Z.DEB=乙DBE,

vEC1OA,乙DEB=Z-AEC,

:.N4+乙DEB=90°,

:•乙OBA+乙DBE=90。,

:.乙OBD=90°,

•••。8是圆的半径，

••.8。是。。的切线；

(2)过点。作DF14B于点F,连接OE,

•••点E是4B的中点，AB=12,

・•・AE=EB=6,OE1AB,

又,：DE=DB,DF1BE,DB=5,

・・・EF=BF=3,

:.DF=y/DE2-EF2=4,

vZ.AEC=乙DEF,

:.Z-A=(EDF,

vOEA.AB,DF1AB,

•••Z.AEO=^DFE=90°,

・••△AEOs〉DFE，

EQ_AE

FE-DF

即*=4f得EO=4.5,

【解析】本题考查切线的判定、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，属于

中档题.

⑴根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得乙OBD的度数，从而可以证明结论

成立；

(2)要求△4。8的面积只要求出0E的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可

以求得0E的长，从而可以解答本题.

21.【答案】(1)证明：连接40、0D.

•••48是直径，

A^ADB=90°,即4。IBC,

-AC=AB,

CD=BD,

v0A=OB,

・•・OD//AC,

-DFLAC,

:.OD1DF,

・・.打；是0。的切线.

An

(2)解：vtanC==2,BD=CD,

•••BD：AD=1：2,

第40页，共46页

・・•(GDB+乙ODB=90°,^ADO+乙ODB=90°,

vOA=OD,

・•・Z-OAD=Z.ODA,

・•・Z-GDB=Z-GAD,

vZ-G=zG,

•••△GDBGAD,设8G=a,

.BD_BG_DG_i

••-i-—~,

ADGDGA2

:.DG—2Q,AG—4a,

・•・BG：GA=1：4.

【解析】(1)欲证明FG是。。的切线，只要证明。D1FG；

pripz'rjz'i

由△设BG.可得；，推出由

(2)G4C,=a7A7D=7G7D=7G7A=2DG=2a,AG=4a,

此即可解决问题；

本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定

理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似

三角形解决问题，属于中考常考题型.

22.【答案】(1)证明：•••「％、PB是0。的两条切线，4、8是切点，

•••PA=PB,且P。平分ZBP4

•••PO1