2020-2021学年人教版必修二高一数学满分期末冲刺卷04 立体几何初步（难点）解析版

专题04立体几何初步（难点）

一、单选题

1.若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D，E，尸分别是AB,BC,CA的中点，

则下列结论中不正确的是（）

A.8C7/平面PD尸B.。尸_|_平面Q4E

C.平面PAE,平面ABCD.平面PD尸，平面ABC

【答案】D

【解析】

由OE//8C判断A,由与8。垂直，证明线面垂直，再结合平行线判断B,根据面面垂直的判定定理

判断C,根据正棱锥的性质判断D.「p是等边三角形A8C所在平面外一点，且B4=PB=PC，

D，E，b分别是AB，BC,C4的中点，

:.DF//BC，

•.•DEu平面尸。尸，仁平面PD产，.•.3C//平面故A正确；

•：PA=PB=PC,E是中点，

:.PE1BC,AEA.BC，

■.PE^\AE=E,/>24七<=平面/^,二.3。，平面/^,

-,-DF//BC，平面24£,故B正确；

3c_1平面PAE，BCu平面ABC,

・•・平面E4EJ_平面ABC，故C正确；

设AE0|。尸=。，连结P。，不是等边三角形ABC的重心，；.PO与平面ABC不垂直，

:•平面PDF'与平面ABC不垂直，故D错误.

故选：D.

2.用斜二测画法画水平放置的△A6C的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形VA'3'C'.已知点0'是斜边

8C的中点，且=1,则AABC的边8C边上的高为（）

C.V2D.2后

【答案】D

【解析】

1

在直观图中A'C〃:/轴，可知原图形中AC〃y轴，故AC_L8C,A'C=—AC,求直观图中AC'的长即可

2

求解直观图是等腰直角三角形A'8'C，?B%C90,AV=1,AA'C=0，根据直观图中平行于》

轴的长度变为原来的一半，

.,•△ABC的边8c上的高4C=2A'C=2A/2・故选D.

【点睛】

本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.

3.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间

的体积为（）

22413

A.32---7iB.48—12万C.28—兀D.20---7T

333

【答案】A

【解析】

由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，小球在

12条边活动不到的空间相当于高为2,底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为了，高为2的圆柱剩下的部分，

且有3个，由此可计算出体积.由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径

44

为1的球的剩余部分，其体积为2^—万*「=8—兀，

33

小球在12条边活动不到的空间相当于高为2,底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为万，高为2的圆柱剩下

的部分，且有3个，则其体积为（4x2—2%）x3=24-6万，

（8—g万］+（24—67）=32—弓万・

则小球不能到达的空间的体积为

故选：A.

【点睛】

本题考查几何体体积的计算，解题的关键是得出小球在运动中不能到达的空间的结构特点.

4.已知如图，六棱锥尸一A3CD砂的底面是正六边形，PAL平面A6CDE/7.则下列结论不正确的是（）

A.〃平面尸B.。尸，平面av7C.CF〃平面awD.CF，平面?

【答案】D

【解析】

A.根据CD//A/,由线面平行的判定定理判断；B.由~4_L平面得到PA±DF，易知

。尸，AF，再利用线面垂直的判定定理判断；C.根据CF//B4,再由线面平行的判定定理判断；D.易知CE

与AO成60,角，由线面垂直的定义判断.A.因为C£>//AE,Afu平面Q4E，所以C£>〃平面E4产，故正确;

B.Q4_L平面ABC。石广，Dbu平面A8CDE/,所以又OF工AF,=A，所以

平面RV7，故正确；

C.因为CF//5ABAu平面Q钻，所以CF〃平面RW，故正确；

D.因为CT与AO成60角，所以与平面Q4O不垂直，故错误;

故选：D

【点睛】

本题主要考查空间中的线面关系，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.

5.水平桌面。上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面

放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面a的距离是（）

A.2RB.37?C.（3+后）RD.（2+石/

【答案】B

【解析】

五个球心构成一个正四棱锥，求出四棱锥的顶点到底面的距离，再加上大球半径2R即可得.水平桌面。上放有

4个半径均为2H的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.

在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，

这个正四棱锥的底面边长为AB=4R，侧棱长为£4=SC=3R,

则=2&R，棱锥的高为SO=J（3R>-（2&R）2=R，

所以小球的球心到水平桌面a的距离是H+2R=3R.

故选：B.

6.在正方形5GG2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，。是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方

形折成一个四面体，使Gi、Gi、G3三点重合，重合后的点记为G,那么，在四面体5-EFG中必有（）

A.SG_LZ\EFG所在平面B.SOJ_Z\EFG所在平面

C.GF_LZ\SEF所在平面D.GOJ_Z\5E尸所在平面

【答案】A

【解析】

在正方形SGiG2G3中，有SGILGIE,在折叠后其垂直关系不变，所以有SGJ_EG同理有有SGJ_FG,再由线面

垂直的判定定理证明.在正方形SGiG2G3中，

因为SG」G|E,

所以在四面体中有SG±EG

又因为SGiA.GyF,

所以在四面体中有SGLFG,且GEC|GF=G,

所以SG1.ZSEFG所在平面.

故选：A

【点睛】

本题主要考查折叠问题及线面垂直的判定定理，还考查了推理论证的能力，属于中档题.

7.已知平面图形PABCO,ABCO为矩形，AB=4,是以P为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将△小£）

沿着A。翻折至△「/£＞，当四棱锥P—A8CD体积的最大值为3，此时四棱锥P—A5CD外接球的表面

3

积为（）

A.12万B.16〃C.24乃D.32万

【答案】C

【解析】

分析出当平面PAD_L平面A8CO时，四棱锥P-A8CD的体积取最大值，求出A。、P'A的长，然后将四

棱锥9—A5CD补成长方体PAM£＞-Q8NC,计算出该长方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求

得外接球的表面积.取AO的中点E，连接P'E，由于△P'A£＞是以P'为顶点的等腰直角三角形，则PEA.AD，

设AD=x,则P'E=—AD=—x,

22

设二面角P—AD—3的平面角为夕，则四棱锥P—ABCD的高为〃=,xsin。，

2

当。=90。时，hnwx=^x,

矩形ABCO的面积为S=4?-AO=4x,=-Sh<-x4xx-x=-x2=—,解得尤=2正.

ABCD33233

将四棱锥尸-ABCD补成长方体P'AMD-QBNC,

所以，四棱锥P一ABCD的外接球直径为2R=PN=[PA2+PD?+PQ?=JAD?+AB?=2指，则

R=网>

因此，四棱锥P—ABCD的外接球的表面积为4万A?=24万.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解;

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一

定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

8.已知正方体A3C7）-4旦的棱长为1,P是空间中任意一点，下列说法错误的个数是（）

①若「为棱eq中点，则异面直线AP与CO所成角的正切值为或；②若尸在线段A.B上运动，则AP+PQ

2

的最小值为近1Y2：③若P在半圆弧。。上运动，当三棱锥。一ABC的体积最大时，三棱柱P—ABC外

2

接球的表面积为2%；④若过点P的平面a与正方形每条棱所成角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大

值为苧

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

根据异面直线的夹角求解，棱锥外接球的求解，以及正方体截面的性质，对选项进行逐一分析即可.对于①，如图

所示，

由AB//CD，可知44P即为异面直线AP与CQ所成的角.

设正方体的棱长为2,连接BP,则在RTABAP中，A3=2，BP=y/BC2+CP2=722+12=>/5

tanZ.BAP==—，故①正确

AB2

对于②，将三角形A4/与四边形48cA沿48展开到同一个平面上，如图所示.

44

由图可知，线段AQ的长度即为AP+PA的最小值.

在AAAA中，利用余弦定理可得A香=，2+J5，故②错误・

对于③，如下图所示：

当P为C。中点时，三棱锥P—A3C体积最大，

此时，三棱锥P—A6C的外接球球心是4c中点，

半径为亚，其表面积为2乃.故③正确.

2

对于④，平面。与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等,

只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可，如图所示：

AP=AR=AQ.则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等.

若点E,F,G,H,M,N分别为相应棱的中点，

可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六边形EFGHMN为正六边形.

正方体棱长为1,所以正六边形EFGHMN的边长为注，

2

可得此正六边形的面积为毡，为截面最大面积.

4

故④正确.

故选：A

【点睛】

本题考查异面直线夹角的求解，棱锥外接球表面积，正方体截面问题，属较难题.

二、多选题

9.已知正三棱锥P—A8C的底面边长为1,点P到底面A8C的距离为则()

A.该三棱锥的内切球半径为YZB.该三棱锥外接球半径为述

612

C.该三棱锥体积为也D.该三棱锥体积为逅

1212

【答案】ABD

【解析】

设PM是棱锥的高，则M是AABC的中心，。是中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切

球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.如图，PM是棱锥的高，则M是AAbC的中心，。是A3中点,

2

S/AIIC=—^=—'VpABC=LS&ABC，PM立=旦,故C错D正确；

LS/\DV,44»-/IOC334，]2

DM=-x—xl=—,P0=J(")2+j叵!二更,CM=—.

326『663

而“cio,c々573V33\/3

所以S=3SapBc+54钻。=3x五-+彳=,

设内切球半径为，则"Sr=V$_ABc，「=不看"=不，人正确;

易知外接球球心在高PM上，球心为0,设外接球半径为R，

//oA2/-

则（正—/?『+—=R2,解得R=2Y2,B正确；

I3J12

故选：ABD.

【点睛】

本题考查空间几何体的内切球，外接球问题，三棱锥的体积求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.

本题内切球的半径的求解利用等体积法求解，即：V=gs表面积（其中「为内切球半径）.

10.点M是正方体A8CO—440。中侧面正方形ADAA内的一个动点，则下面结论正确的是（）

A.满足CM的点〃的轨迹为线段

B.点〃存在无数个位置满足直线B1M//平面BCQ

C.在线段A2上存在点加，使异面直线4M与CD所成的角是30。

D.若正方体的棱长为1,三棱锥8-CM。的体积的最大值为:

【答案】ABD

【解析】

对于A,由正方体的性质和CM，A"可得AR_L平面从而可得点M在线段4。上时，有

CM_LA4；对于B,由正方体的性质可得平面AD4〃平面8CQ,所以当点M在AQ上时，均有gM//

平面8CQ,从而可判断；对于C,异面直线用加与CO所成的角是NAgM,当〃在线段A%上运动时，

点”取的中点时，NAgM最小，其正切值为立〉"，从而可判断;对于D,由正方体的性质得，4。工

23

平面BG。，若正方体的棱长为1,则点M与A重合时，三棱锥8-G/。的体积取得最大，从而可求出其体

积解：对于A,如图，在正方体A5CO—44GA中，。。_1_平面4。24，A"U平面AZ)AA，所以

CD1AD,,因为ADJ.AA，A,DC\DC=D,所以A。_L平面为。。，所以当点M在线段4。上时，

有CMJ.AR,所以点加的轨迹为线段，所以A正确；

对于B,在正方体ABC。-中，因为BQ'/BD，BOu平面BG。，81。2平面86。，所以

4A〃平面BG。，同理AA〃平面BCQ,而所以平面AD4〃平面BCQ,所以当点

M在A0上时，均有4M//平面BQ。，所以点”存在无数个位置满足直线4M//平面BG。，所以B

正确；

对于C,异面直线与M与CD所成的角是/人瓦加，当M在线段AA上运动时，点M取A"的中点时，

最小，其正切值为41＞且，所以不存在点M，使异面直线与M与8所成的角是30。，所以C

23

错误；

对于D,由正方体的性质得，4c，平面5G。，若正方体的棱长为1,则点M与4重合时，三棱锥B-GM。

的体积取得最大，其值为所以D正确，

32233

故选：ABD

【点睛】

关键点点睛：此题考查以正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，解题的关键是正确利

用正方体的性质，属于中档题

jr

11.如图所示，已知二面角4一班）一。的大小为一,G,“分别是5C,CD的中点，F,E分别在A8,AD上，

3

Ap4/71

—=—=一，且AC,平面8CZ）,则以下说法正确的是（）

ADAB3

A.E,£G,”四点共面

B.FG//平面AOC

C.若直线FG,HE交于点P，则P,AC三点共线

D.若△ABZ）的面积为6,则△BCD的面积为3.

【答案】ACD

【解析】

A选项：由条件证得EF//GH并判断得结论；

B选项：如果有FG〃平面4OC成立，经推理可得尸是A8的中点，作出判断;

C选项：分析出P是平面ABC与平面DAC的公共点并作出判断;

D选项：由给定二面角大小，结合4C，平面88,可以分析得到点A,C到直线8。的距离的关系，再作判断

AEAF1

而得.A选项：在AAB。中，因为一所以EF//BD,在ACB/）中，G,“分别是BC,C。的中点，

ADAB3

所以GH//BD,有EFVGH,E,F,G,”四点共面，故A选项正确；

B选项：假设尸G//平面AOC成立，因为平面ABCf）平面。4c=4C,所以尸G//4C,又G是8C的中点，所以F

AFI

是AB的中点，与——=—矛盾，故B选项错误；

AB3

C选项：因为FGu平面ABC,PGFG,所以平面48C,同理PG平面。AC,因为平面ABCfl平面D4C=AC，

所以PGAC,所以P,A,C三点共线，故C选项正确；

兀

D选项：因为二面角48。-。的大小为一，ACJ_平面8c。，所以点C到直线5。的距离必是点4到直线3。的

3

距离4的一，故Sc=—,BD,dy=—BD—d.=—S=3,故D选项正确.

22/2212△外力〃

故选：ACD

【点睛】

求二面角的方法：几何法，空间向量法，射影面积公式.

12.如图，线段A8为圆。的直径，点£，厂在圆。上，EF//AB,矩形A8CO所在平面和圆。所在平面

垂直，且AB=2，EF=AD=1，则下述正确的是（）

A.OF〃平面BCE

B.3尸_L平面ADR

C.点A到平面CD庄:的距离为叵

7

D.三棱锥。一8万尸外接球的体积为&

【答案】ABC

【解析】

由Eb=OB=l,EF//OB,易证OF//平面BCE,A正确;

B,由所矩形A8CO所在平面和圆。所在平面垂直，易证AO,平面ABE尸，所以A£>J_BE，由线段AB

为圆。的直径，所以8b_LE4，易证故B正确.

C,由VC_DAF=VA_CDF可求点A到平面CDFE的距离为三,c正确•

7

D,确定线段的中点M是三棱锥C—8E尸外接球心，进一步可求其体积，可判断D错误.解：EF=OB=1,

EF//OB,四边形0EE8为平行四边形，所以OF//BE,

。尸2平面BCE,BEu平面BCE，所以。口〃平面BCE,故A正确.

线段AB为圆。的直径，所以

矩形A8CD所在平面和圆。所在平面垂直，平面ABCDf］平面=AOu平面

ABCD,所以AO,平面MEF，BFu平面ABEF,所以45_15/

ADu平面皿'A/u平面AD/7，ADC\AF=A,

所以平面AOF，故B正确.

OF=OE=EF=l,△OEE是正三角形，所以EF=BE=AF=1，

DA!IBC，所以BCJ•平面ABE/LBC±BF,

BF=5CF=4CBr+BF-=73+1=2-

DF=\IDA2+AF2=Vi+T=y［2，

AB=CD=2,ACD尸是等腰三角形，&DF的边DF上的高］CF?一［与）=-（曰=/

S&CDF=；X^~x6=日,

DA//BC，ADu平面/，BCz平面相）产，

8。//平面4。/，点C到平面尸的距离为8尸=6，

S4DAF=5"1'1=5，^C-DAF=^A-CDF9

设点A到平面CDFE的距离为h,

1c,11/T1V7,

TXS^ADFXFB--XS4CFDX"，—X—X>/3=~X~T~X〃，

JJD乙D乙

所以〃=《互，故c正确.

7

取。8的中点M，则MO〃AO，M0=-,所以MOL平面COFE,

2

所以ME=MF=MB=MC=

所以M是三棱锥C—BE尸外接球的球心，其半径逆，

2

4,4

三棱锥C-BEF外接球的体积为V=—%r=—万工—7T,故D错误,

332J6

故选：ABC.

【点睛】

综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.

三、填空题

3如图'正方体筋3的他的棱长为1，线段加上有两个动点E、F，且所等现有如下四

个结论：

①AC_LBE；②平面EFC〃平面③异面直线AE、8厂所成的角为定值；④三棱锥A—瓦下的体积

为定值.

其中正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

证明出AC，平面8。。耳，可判断①的正误；利用面面平行的判定定理可判断②的正误；利用异面直线所成

角的定义得出异面直线AE、8F所成的角为NAEG,计算出tanNAEG,可判断③的正误；以点A为顶点，

结合锥体体积公式求出三棱锥A—3E尸的体积，可判断④的正误.①设AC与3。相交于G，

在正方体ABC。-AgG，中，四边形ABC。为正方形，则AC_L8£），

BB}±平面ABCD,ACu平面ABCD,二AC±BB]t

♦.•8£（=平面84。。，；.4。_13£,①正确；

②在正方体ABC。—ABC。中，BBJ/DD[且BB、=DD、,

所以，四边形。。为平行四边形，可得BD//BR,

2平面A#。，3Z）u平面480,与£）|〃平面A8。，

同理可证CD"平面4B。，

BRQCD,=D,,所以，平面480〃平面B.CD,,即平面EFC〃平面&BD,②正确;

叫

③由于正方体的棱长为1，所以J8G=—.而EF=XZ,

22

•：B\D\〃BD,则EF//BG，又EF=BG,所以四边形8GE尸是平行四边形,

所以BF//GE,所以NA£G是异面直线AE、所成的角，

因为AC,平面8。。与，所以AC_LEG，

AG

所以tan/AEG=——，其中AG为定值，GE长度不固定，

GE

所以NAEG不是定值，所以③错误；

④由①可知AC_L平面50。片，

11亚1行1

所以匕4-BEF=a*5.的F乂46=.乂—X—xlX-^-=行为定值，所以④正确.

JD乙乙乙L乙

\7

故答案为：①②④.

【点睛】

方法点睛：求直线与平面所成角的方法：

(1)定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;

③求，利用解三角形的知识求角；

I—।%从3

（2）向量法，sin0=1cos<AB,n>\।=网'__.刷..'（其中AB为平面a的斜线，〃为平面a的法向量，。为斜

线AB与平面。所成的角）.

14.在三棱锥。一ABC中，AB1BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点。，DP=DC=\，对于下

列结论：

①三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等；

②APAB的取值范围是I-,yI；

③若三棱锥的四个顶点都在球。的表面上，则球。的体积为二；

3

其中所有正确结论的编号是.

【答案】①②

【解析】

利用三角形全等判断选项①；根据在三角形中求出sin的值结合三角形内角和得到“45范围判断②；

利用三棱锥外接球的几何关系求出球半径，再利用球的体积公式判断③.对①，VABLBC，。为AC中点，

DA-DB=DC>又平面ABC，Rt^,PDA=Rt^PDC,:.PA=PB=PC,故①正确；

JI

对②，，；PA=PB，；./PAB=/PBA，又NPAB+NPBA+NAPB=兀，则NPAB<一,过尸作

2

M为垂足，则PM>PD=1，又PA=VPD2+AD2=x/2>sinZPAB=>-J==—,：.—<NPAB<—,

PAV2242

故②正确；

对③，可得外接球的球心在直线。尸上，设。到球心的距离为〃，则l±〃=”2+i,解得力=0,故。为外

4令47r

接球的球心，所以外接球的体积为一X乃x「=一，故③错误.

33

故答案为：①②.

【点睛】

本题考查空间几何体结构特征的应用，主要考查的是三棱锥的性质、三棱锥与其外接球之间关系的求解，解题的

关键是正确寻找到几何体中的垂直关系、长度关系.

15.一副三角板由一块有一个内角为60。的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，ZB=NR=90°，

NA=60。，NO=45°,BC=DE,现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥产一C48,取BC中点。与

AC中点M,则下列判断中正确的是.（填正确判断的序号）

①直线8。_|_面OFM；

②AC与面。尸M所成的角为定值；

③设面ABFA面MOF=I，则///AB；

④三棱锥产一COM的体积为定值.

【答案】①②③

【解析】

由三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理可判断①；由线面角的定义可判断②；过尸在平面。历尸内作直线

IHOM,,运用平行公理可判断③；由三棱锥的体积可判断④.由。历为△ABC的中位线可得OM〃AB,则

BCrOM,BCA.OF,且OMCOF=。，可得BCJ_面OFM,故①正确;

由BC1面OFM,可得AC与平面O尸M所成角为NCM。，而NCMO=NC4B=60°，故②正确;

如图，

可过尸在平面OMF内作直线〃/。加，而所以1//AB,/为平面。MF和平面ABF的交线，故③

正确；

在三棱锥产一COM中，CO,平面OMF,由于CO为定值，AOM尸的面积不为定值，所以三棱锥F-COM

体积不为定值，故④错误.

故选：①②③

【点睛】

关键点点睛：解决本问题的关键在于利用中点的性质，可利用中位线得平行，也可利用三线合一得垂直，解决线

面垂直，线线平行，棱锥体积，属于中档题.

16.如图，多面体OABCD，AB=CD=2,AD=BC=25AC=BD=M，且OA,OB.0c两

两垂直，给出下列5个结论：

①三棱锥0—ABC的体积是定值；

②球面经过点A、B、C、。四点的球的直径是JF；

③直线。3//平面AC。；

④直线AD与0B所成角是60°：

⑤二面角A-OC-Q等于30。.

其中正确的结论是

A

【答案】①②④

【解析】

由题意，构造长方体，设。4=x，OB=y,OC=z,由己知解得尤=1,y=百，z=3,

对于①，根据三棱锥的体积公式可判断；

对于②，球面经过点A、B、C、。两点的球的直径即为长方体的对角线长，由此可判断；

对于③，由08//AE可判断；

对于④，由已知得ND4E即为直线AO与0B所成的角，解三角形可判断；

对于⑤，由已知得异面直线CO与OA所成的角大小为二面角A-OC-D的二面角大小，解三角形可判断；由

题意，构造长方体，如下图所示，设。4=x,OB=y,OC=z,

则/+)”=4,x2+z2=10>><2+z2=12,解得，x=l,y=G，z=3,

对于①，三棱锥0-A6C的体积为」OCXLQ4XO8=@,故①对；

322

对于②，球面经过点A、B、C、£>两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为犷万泰豆=如，故

②对；

对于③，由于OB//AE,AE和平面AQ9相交，则0B和平面AC。相交，故③错.

对于④，由于08//AE，则ND4E即为直线与。8所成的角，

由tanZDAE=——=6,则NZME=60。，故④对；

AE

对于⑤，因为4OLOC，DCA.OC,所以异面直线CO与OA所成的角大小为二面角A-OC-D的二面角

ApL

大小，连接OE，则NAOE为所求，tanNAOE=%=百，所以NAO£=60°；⑤错误；

OA

故答案为：①②④

【点睛】

方法点睛：解决几何体相关的外接球等问题时.，补全几何体是常用的一种方法，利用补全的几何体的性质研究原

几何体的性质.四、解答题

17.如图所示，在三棱柱ABC-A向G中，侧棱AA」底面ABC,ABLBC,。为AC的中点，AAt=AB=2,BC=3.

（1）求证：AB"/平面BGD；

（2）求AB1与BD所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）恒.

13

【解析】

（1）利用三角形中位线定理证明OO//A&,再用线面平行的判定定理证明A5//平面8CQ;

（2）先判断出/0。8（或其补角）为ABi与8。所成的角，再解三角形求出余弦值.（1）证明：如图，连接BC,

设5c与BG相交于点。，连接。》

•••四边形8CG3是平行四边形.

.•.点。为为C的中点.

■Q为4c的中点，.•.0Q为A4B1C的中位线，.••0D〃A8i.

,.•。。0平面8<7|0,A5C平面BG。，

'-AB\//平面BC\D.

（2）解：由（1）可知，为ABi与B。所成的角或其补角，

：M=A8=2,:.AB尸26,0。=.及，

在RtAABC中，。为AC的中点，则8。=生=，叵，

22

后

同理可得，。8=少，

2

在408。中，

与BD所成角的余弦值为—

13

立体几何解答题的基本结构：

（1）第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；

（2）第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以用几何法，也可以用向量法计算.

18.如图，在直三棱柱ABC—A14G中，N分别为棱AC、的中点，且AB=BC

G

（1）求证：平面BMN,平面ACGA；

（2）求证：MN〃平面BCC]B「

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）本题首先可以根据M为棱AC的中点得出AC，然后根据三棱柱ABC-A&G是直三棱柱得出

AAtlBM,最后根据线面垂直的判定以及面面垂直的判定即可证得结论；

（2）本题可作的中点P,连接片尸和"P，然后根据M、p为棱AC、BC的中点得出四边形

是平行四边形以及MN//P与，最后根据线面平行的判定即可得出结果.（1）因为M为棱4。的中点,

AB=BC，所以BM_LAC，

因为三棱柱ABC—AAG是直三棱柱，所以AA，平面ABC，

因为平面ABC，所以A4,_L8M,

因为AC、44匚平面4。。14，ACcA,A=A,所以氏0_L平面ACCA,

因为8Mu平面8MN，所以平面8MN_L平面ACGA.

（2）如图，作BC的中点P,连接gP和A/P，

因为M、P为棱AC、6C的中点，所以MP//A8,且MP=，AB,

2

因为N为棱A4的中点，IIAB,\BX=AB,

所以B】N//PM,B]N=PM,四边形MNBf是平行四边形，MN//PB},

因为MN.平面8CG4，Pgu平面BCG用，所以也N//平面8。。石.

【点睛】

关键点点睛：本题考查线面平行的判定以及面面垂直的判定，考查通过线面垂直证明面面垂直，若平面外一条直

线垂直平面内的两条相交直线，则线面垂直，考查数形结合思想，是中档题.

19.如图，在三棱锥A—5C0中，AB_L平面SCO，BCLCD，E，F，G分别是AC，AO，BC的

中点.求证:

（1）AB〃平面EFG；

（2）CA1CD-.

（3）平面ERG_L平面ABC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据三角形中位线性质和线面平行判定定理可得证；

（2）根据线面垂直的性质和判定定理可得证；

（3）根据面面垂直的判定定理可得证.证明：（1）•三棱锥4-38中,

E，F，G分别是AC,A。，8C的中点，

：.EGIIAB,

•••4?仁平面E/G,EGu平面EEG,

.•.AB//平面ERG.

（2）Q/W_L平面BCD,CDu平面BCQ,.•.ABLC。，

vBCVCD,ABcBC=B,A&BCu平面ABC，

\CD'平面ABC,

：C4u平面ABC,C4_LCD.

（3）F.G分别是AC，AD，8C的中点，

..EF//C£>,_L平面ABC,

C

【点睛】

关键点睛：在证明空间中的线面、面面之间的平行和垂直关系时.，关键在于准确地运用线面、面面平行或垂直的

判定定理和性质定理.

20.如图，AB为的直径，R4垂直于所在的平面，M为圆周上任意一点，ANAOA.PB,

(1)求证：PBLNQ；

(2)若Q4=AM=1，PB=G，求三棱锥P—ANQ的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)—.

36

【解析】

(1)根据直径所对圆周角为直角，及线面垂直的性质定理与判定定理进行证明即可；

(2)由(1)知QB,平面ANQ,所以PQ为三棱锥P—ANQ的高，再根据平面几何计算各个棱长及底面面

积，进而求得椎体体积.(1)因为A3是。。的直径，所以

因为R4垂直于0。所在的平面，所以所以平面Q4".

因为ANu平面A4A7,所以BM_LAN,

又AN1PM,BMcPM=M，所以AN,平面PBW，

所以又因为4QLP8,AQr>AN=A,所以依，平面ANQ,

所以PB1.NQ.

(2)由(1)知依_L平面ANQ,所以PQ为三棱锥P-AAQ的高.

因为Q4=AA/=1，所以是等腰直角三角形,

所以AN=*PA=在.

22

在RtAQAS中可得AB=&，

所以AQ==曰,PQ=JPA2_AQ2=*.

又由（1）可知4V_L平面尸6M，所以AN工NQ,所以NQ=JAQ。-AN?=旦,

6

因此丫三枝锥PWQ=1S△ANQX尸。=；XgXANXNQXPQ=a.

【点睛】

求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的

一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.

21.如图，四棱柱ABC。一A旦GA中，底面ABC。为菱形，四边形ACGA和四边形,均为矩形

E为四边形4ADD对角线的交点，尸是的中点.

（1）EF〃平面B]BDD「

（2）设A4=2，NB4O=120°,三棱锥E—ACD的体积为也，求二面角。—AE—C的余弦值.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）立.

7

【解析】

（1）根据中位线证明£尸〃g。，可证EF〃平面（2）由三棱锥体积计算出45=2,然后根据题意

作出二面角的平面角，构造直角三角形，计算三边长，然后利用三角函数值代入计算二面角的平面角即可.（1）

••£F分别为A。、的中点，二所为

EF//BQ,；EF6平面B]BDD1,gOu平面gBDDt,

EF〃平面.

（2）•.•四边形ACGA与四边形是矩形，

A4,±AC,BBI1BD，:ABCD-是四棱柱

AAAJ/BB,,AAA,_L平面ABCD，二四棱柱ABCD-AgGQ是直四棱柱.

"VFACD=-^--AD2'*'-AD=2

E-ACD343

取AO中点N,连接CN,•.•AAC£）是正三角形，・♦•CNLA。，

V四棱柱ABCD-A与GA，是直四棱柱，

•••。村，平面4。石，作NH工AE,连接C”，

NCHN就是二面角。一AE—C的平面角.

,:HN=>DE=^，CN=5•••〃。=巫，

222

AcosZCHN=把=也.，二面角。一AE—C的余弦值为—.

HC77

【点睛】

利用定义求解二面角时，需要找准二面角的平面角，一般作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面

内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此

可得二面角的平面角.

22.如图，已知三棱柱ABC-A4C1,平面AACC]J•平面ABC,ZABC=90°,ABAC=30°,

AA=ac=AC,E,F分别是AC,Ag的中点.请你用几何法解决下列问题:

（1）证明：EFLBC-.

（2）求直线EF与平面48C所成角的余弦值；

（3）求二面角A—4c-6的正弦值

37/s

【答案】（1）证明见解析；（2）—；（3）庄.