平行线间的拐点问题-完整版课件

平行线与“拐点”问题第一页，共二十六页。〖情景导入〗已知如图，AB∥CD，若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，向不同的方向拉动点E，那么∠A、∠C、∠AEC之间有何关系呢？右上左上第二页，共二十六页。一个动点与两条平行线的位置关系①点在两平行线之间②点在两平行线之外第三页，共二十六页。一个动点与两条平行线的位置关系①点在两平行线之间②点在两平行线之外AECDB图1ABECD图2ABCDE图3ABCDE图4ABCDE图5ABCDE图6第四页，共二十六页。燕尾型（或M型）

如图1，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？方法指导ABCD图1E第五页，共二十六页。

解：过点E作EF∥AB。∵AB∥CD（已知）∴EF∥AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠B=∠BEF

∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）∵∠BED=∠BEF+∠DEF∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）AECDBF一推：平行二推:角相等或互补三推：加法或减法四推：替换第六页，共二十六页。

解：过点E作EF∥AB。∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（等量代换）∴∠B+∠D=∠BEDAECDBF第七页，共二十六页。ABCDEF解：延长线段BE交CD于点F∵AB∥CD∴∠B=∠EFD∵∠EFD+∠D+∠FED=180°又∵∠BED+∠FED=180°∴∠BED=∠EFD+∠D∴∠BED=∠B+∠D第八页，共二十六页。辅助线添法：过拐点作已知直线的平行线（四部曲）或延长线（利用邻补角互补，三角形内角和），逢“拐点”,作平行。一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线。变式训练：1.如下图所示，直线AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=

。65°第九页，共二十六页。

如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()(A)180°(B)270°(C)360°(D)540°教材母题（教材P23第7(2)题）CADBEF第十页，共二十六页。（1）铅笔型

如图1，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？方法指导ABCD图1E第十一页，共二十六页。解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴AB∥CD∥EF∴∠B+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180°∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°∵∠BED=∠BEF+∠DEF∴∠B+∠BED+∠D=360°ABECDF第十二页，共二十六页。〖练习〗1．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=__________.65°2.如图，AD∥BC，∠B=135°，∠A=145°，则∠E=___________.80°第十三页，共二十六页。巧用平行解决“拐点”问题（锄头型）将点E向线段AB的右上方拉动，如图.已知AB∥CD，∠A、∠C、∠AEC之间的关系.

解关系为：

∵AB∥CD∴∠C=∠1∵∠A+∠E+∠2=180°∠1+∠2=180°∴∠1=∠A+∠E∴∠C=∠A+∠E第十四页，共二十六页。巧用平行解决“拐点”问题F解：过点E作EF∥AB。∵AB∥CD（已知）∴EF∥AB∥CD∴∠A=∠AEF∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等）∵∠FEC=∠AEF+∠AEC∴∠C=∠A+∠AEC〖结论〗：∠AEC=∠C-∠A第十五页，共二十六页。〖练习〗如图，AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数的为___________.50°第十六页，共二十六页。变式训练：1、如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（）A.5°B.15°C.25°D.35°第十七页，共二十六页。巧用平行解决“拐点”问题（犀牛角型或靴子型）例1：若将点E向线段AB的左上方拉动（如图）.已知AB∥CD，问∠B、∠D、∠ABE的关系.ABCDE图5第十八页，共二十六页。巧用平行解决“拐点”问题解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD（已知）∴AB∥CD∥EF∴∠ABE+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180°∵∠FED=∠BEF+∠BED∴∠BEF+∠BED+∠D=180°∴∠ABE=∠BED+∠D〖结论〗：∠E=∠ABE-∠DABCDEF第十九页，共二十六页。F过点E作EF∥AB∴∠FEA=∠A∵AB∥CD（已知）∴CD∥EF∴∠FEC=∠C∵∠FEA=∠FEC+∠AEC∴∠A=∠C+∠AEC第二十页，共二十六页。例2.请思考：若改变点E的位置，则∠BED与∠B、∠D的数量关系会发生变化吗？∠BED=∠B－∠D∠BED=∠D－∠B∠BED=∠D－∠B∠BED=∠B－∠DABCDE图4ABCDE图6ABCDE图5ABCDE图7第二十一页，共二十六页。练习：已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝___

___；（2）∠1＋∠2＋∠3＝___

__；（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_

__

__；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n

＝

；180°360°540°（n-1)180°第二十二页，共二十六页。变式：如图,若AB∥CD,则：ABCDE当左边有两个角，右边有一个角时：

∠A+∠C=∠E当左边有两个角，右边有两个角时：

∠A+∠F=∠E+∠DCABDEFE1CABDE2F1当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠F1+∠C

=∠E1

+∠E2第二十三页，共二十六页。CABDEFGH解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD∴AB||CD||EG||FH∴∠A=∠1，∠2=∠3，∠4=∠D∴∠A+∠3+∠4=∠1+∠2+∠D∴∠A+∠EFD=∠AEF+∠D第二十四页，共二十六页。CABDE1F