辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期10月联合质量检测试题 数学含解析

辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期10月联合质量检测试题高二考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章，选择性必修第一册第一章。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.十三棱锥的顶点的个数为A.13 B.14 C.20 D.262.已知空间向量，.若，则A.12 B.10 C.-10 D.-123.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是A.，， B.，，C.，， D.，，4.在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为A.3 B.4 C.5 D.65.某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为A. B. C. D.6.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为A. B. C. D.8.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为A.1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知几何体为长方体，则A.在方向上的投影向量为B.在方向上的投影向量为C.在方向上的投影向量为D.在方向上的投影向量为10.在空间直角坐标系中，，，，，则A.点在平面内 B.四面体为正四面体C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为11.如图，现有一个底面直径为，高为的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为，忽略容器的厚度，则A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为C.当容器内液体的高度增加时，需要增加的液体的体积为D.当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12若空间向量，若则_____.13.已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为_____，球的表面积为__________.14.在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.16.（15分）在正四棱台中，.（1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高；（2）若，求的值.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面，平面，.（1）证明：平面平面.（2）若，，且异面直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成二面角的正弦值.18.（17分）如图，在正方体中，，.（1）当取得最小值时，求与的值.（2）设与平面所成的角为.①若，求的值；②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值.19.（17分）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为（1）证明：.（2）设，，是平面内不共线的三个不同的点.①证明：是平面的一个法向量.②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）.

高二考试数学试卷参考答案1.B十三棱锥的顶点的个数为.2.A依题意得，解得，，.3.C，A错误.，B错误.易得，，三个向量不共面，C正确.，D错误.4.C，当时，为增函数，所以，因为为整数，所以的最小值为.5.B设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为，则，所以，故该三棱锥的内切球的直径为.6.D设与的夹角为，由，得，两边同时平方得，所以1，解得，又，所以.7.D如图，连接,，设，连接，则平面.取的中点，连接，，则为侧面与底面所成的角.设，则，在中，，所以，又，所以，所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为，故正四棱锥在顶点处的曲率为.8.A因为，所以.因为，，，所以.因为，，，四点共面，所以，即.因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1.9.AC在长方体中，因为平面，所以，所以A正确，B错误.因为，，所以C正确，D错误.10.ABD因为，所以为线段的中点，所以点在平面内，A正确.因为，所以四面体为正四面体，B正确.因为点到直线的距离为，且为线段的中点，所以点到直线的距离为，C错误.设平面的法向量为，则令，得，因为，所以点到平面的距离为，D正确.11.BCD此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误.设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确.因为，，所以当容器内液体的高度增加时，需要增加的液体的体积为，C正确.当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D正确.12.-2依题意得，解得.13.4；设球的半径为，由正弦定理得，则，则点到平面的距离的最大值为4，球的表面积为.14.连接，，设，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设与，都垂直的向量为，则，即令，得，则线段的长度的最小值为.15.证明：（1）连接，则为的中点.因为为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，分别为，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为点在棱上，且，所以，由题意易得，则，因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，，所以平面平面.16.解：（1）设该正四棱台的高为，则，解得.（2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行，所以，，过作，垂足为（图略），易得，所以，所以.故.17.（1）证明：底面，.，，平面.平面，平面平面，，平面.又平面，平面平面.（2）解：，直线与直线所成的角为.底面，，，即.设为2个单位长度，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，则取，则，，得.易知平面的一个法向量为，则.故平面与平面所成二面角的正弦值为.18.（1）解：以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，，所以，当时，取得最小值，此时.因为，所以.（2）①解：，设平面的法向量为，则即令，得.因为，