2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合十七（含解析）

综合十七-【新教材】人教A版(2019)

高一数学暑假作业(含解析)

一、单选题

1.设全集U=R，集合A={y|y=log2%,久>2},B=［x\y=Vx-1}>则()

A.4UBB.AVB=AC.4cB=0D.4n(几8)芋0

2.已知函数f(x)=品，下列关于/(x)的性质，推断正确的有)

①函数的定义域为R②函数是偶函数③函数f(x)与f(x-2)的值域相同

④/(x)在(0,1)上递增⑤f(x)在［1,2］上有最大值1

A.2B.3C.4D.5

3.已知函数/'(x)=cos(2x—§—2sin(x+?)cos(x+9，%GR1给出下列四个命

题：

①函数f(x)的最小正周期为2兀；

②函数f(x)的最大值为1；

③函数/(X)在卜"］上单调递增；

④将函数f(x)的图象向左平移工个单位长度，得到的函数解析式为g(x)=Sin2x.

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

4.已知平面向量五是，不满足对任意久eR都有|五一xB||BI,|a—xc|>|a—

有成立，|五一角=|万一角=1，|a-K|=V3(则|矶的值为()

A.1B.V3C.2D.V7

5.已知复数2=言，则下列说法正确的是()

A.z的虚部为4iB.z的共筑复数为l-4i

C.|z|=5D.z在复平面内对应的点在第二象限

6.在棱长为1的正方体ABCD-4B1GD1中，ACnBD=0,E是线段&C(含端点)上

的一动点，

①OE1BQ;

②。。/面4©。;

③点E到平面4BD的距离为定值;

④0E与AG所成的最大角为90。.

上述命题中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.为了解本市居民的生活成本，两名同学利用假期分别对甲乙两个社区进行了“家庭

每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（

如图所示）.下列结论中正确的是（）

A.甲社区家庭月消费不超过2000元的比例小于乙社区

B.甲社区家庭月消费不超过2500元的比例大于乙社区

C.甲社区家庭月消费的平均水平高于乙社区

D.甲社区家庭月消费的方差大于乙社区家庭月消费的方差

第2页，共27页

8.下列不等式或命题一定成立的是()

①lg(/+[)》lgx(x>0)；@sinx+->2(xRkn,k€Z)；

③%2+1》2|x|(x£R)；④y=(xeR)最小值为2.

A.①②B.②③C.①③D.②④

二、多选题

(a

x-\"—,z>()

x

9.有关函数/")=1x，下列说法正确的是()

br+—1<。

A.存在实数a,b,c,使f(x)是奇函数

B.若/(x)在(0,+8)上为单调增函数，则a<0

C.若f(%)是偶函数，贝必二-1,c=-a

D./(x)在区间弓,2如)上没有最小值

10.下列化简正确的是()

A.sinl5°sin30°sin75°=-B.cos2150-sin215°=—

82

3-4COS200+COS4。。=4»

c.—___=2D.tan1()

*sinlO°cosl003+4cos200+cos400

11.下列说法中错误的为()

A.已知1=(1,2),方=(1,1)且君与3+4石夹角为锐角，则；16(—|,+8)

B.已知五=(2,-3),3=4,一》不能作为平面内所有向量的一组基底

C.若五与亮P行，五在方方向上的投影为|五|

D.若非零落3满足|a|=|K|=|a-K|则五与五+石的夹角是60。

12.如图，矩形A8CO中，AB=2AD=2,E是边AB的中点，将△ADE沿直线。E翻

折成△&DEQ41至平面ABCD),若M为线段41c的中点，则在△力DE翻折过程中,

下列结论正确的是()

Ai

A.恒有BM〃平面40E

B.B与M两点间的距离恒为定值

C.三棱锥4-DEM的体积的最大值为出

12

D.存在某个位置，使得平面4DE，平面4CD

三、填空题

13.已知函数外外=1-券为奇函数，则函数f(x)在区间［0,1］上的最大值为

14.已知cos(x-^)=p则cos(2x+今+sin2(^-x)的值为

15.给出下列命题:

①函数y=2,与y=log?》互为反函数，其图象关于直线y=x对称；

②已知函数/(x-1)=x2-2x+1,则/(5)=26；

③当a>0且a丰1时，函数f。)=ax-2-3的图像必过定点(2,-2)；

④用二分法求函数/'(x)=111%+2%-6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过3次

二分后精确度达到0.1;

⑤函数/(x)=2X-/的零点有2个。

其中所有氐聊命踵的序号是

16.如图，菱形ABCQ的边长为3,对角线AC与8。相交于

。点，为BC边(包含端点)上一点，则向।

的取值范围是,邑.石力的最小值为.

17.如图，在四棱锥S-4BCD中,SAJ_平面ABCQ,底面ABCQ

是菱形，且4D4B=60°,SA^AB=1,则异面直线SD

与BC所成角的余弦值为,直线8c到平面SAO的

距离为.

四、解答题

18.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2V3cos2x—V3

(1)求它的单调递增区间；

第4页，共27页

(2)若％e(05)，求此函数的值域.

19.已知向量出在向量加=(1,百)方向上的投影为2,(a-2b)la.

(1)求向量五与B的夹角：

(2)求|2可一石|的值;

(3)若向量工=3五一43,d=ma+b>c//d，求〃?的值.

20.某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立地从A,

B,C,。四所高校中选2所.

(1)求甲、乙、丙三名同学都选。高校的概率.

(2)若已知甲同学特别喜欢A高校，他必选A高校，另在8,C,。三校中再随机选

1所;而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所.

(国)求甲同学选。高校且乙、丙都未选D高校的概率；

(回)求甲、乙、丙三名同学中选。高校的人数正好为2人的概率.

21.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所

示的四边形ABCD.其中48=3百米，AD=遍百米，且△8C。是以。为直角顶点的

等腰直角三角形.拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计)，设484。=氏

(1)当cos。=一?时，求小路AC的长度；

(2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度.

22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AADC=^PAB=90°,BC=CD=\AD.E

为棱A。的中点，异面直线PA与C£＞所成的角为90。.

第6页，共27页

(1)在平面P4B内找一点M,使得直线CM〃平面P8E,并说明理由；

(2)若二面角P-CD-A的大小为45。，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查集合的概念，集合的包含关系，以及集合的交集与并集，解答本题的关键是先

确定集合的范围.

首先求出集合A,B,然后判断选项，得出结果.

【解答】

解：,•・设全集1/=R,集合.A{i/Lylog^r.-r>2},

vx>2,对于函数y=log2%单调递增，

•••y>1,

二集合4={y}y>1],

B=（x\y=yjx—1},x-1>0,

•••集合8=（x\x>1}

A.AcB,故A正确，

B.AUB=B,故B错误；

C.AnBR0,故C错误；

D.AnCuB=0,故力错误.

故选A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的定义域与值域，函数的单调性以及函数的对称性等知识点，属于

中档题.

根据解析式求得定义域，利用基本不等式可求得;"（X）的最值，利用特殊值可判定图象不

关于直线X=1对称，利用特殊值判断/（X）在口,+8）上不是增函数.

【解答】

解：：函数/0）=^^,二定义域是（一8,+8）,故①正确；

第8页，共27页

/(-乃=昂n=一品=-f(x),故函数为奇函数，②不正确；

当％=0时，/(%)=0,当XH0时，/(x)=金，

X

2

令g(%)=x+-,

由对勾函数的性质可知：90)=刀+|的值域为(_8,-2近]U[2V2,+OO)

V2V21

4'4卜

令t=x-2,则/«)=去，同上得值域为卜当，用，故③正确；

g(无)=%+白在(0,1)上单调递减，则f(x)=在(°」)上单调递增，故④正确；

由基本不等式当X=&时，f(X)max=^=号，故⑤错误；

综上，①③④正确.

故选8.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了正弦型函数的最小正周期、最值、单调性、图象的平移等知识，属于中档

题.

先由三角恒等变换得〃上)：siu(2」•-1)，所以其周期、最值、单调性、平移情况皆可

判断.

【解答】

解：依题意，

f(x)=<XJS(2X-；)-2sin(x+-)+7r)

•J14

=；cos2x+sin2x-sin(2z+

=sin2x--=sin(2x——)，

226,

所以/(%)的最小正周期为T：7T，①错误；

/(久)最大值为1,②正确；

El|"+2klt42%—%(—~~F2kji

得，:+ATTW/W0n+krr,(kEZ),

36

所以当k=-l时，/"(x)的一个单调递减区间为［一薮,］,与区间［一?,?］有重

合，则函数/(x)在［-?,十］上不是单调递增的，故③错误；

将函数/(%)的图象向左平移］；个单位长度，得到的函数解析式为g(x)=sin［2(%+

J-%］=sin2x,故④正确.

故选：B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加减运算及正余弦定理的应用，同时考查平面向量的几何表示，属

于较难题.

由已知得方1(方-3),工_10-？)，然后画出图形，结合已知和正余弦定理求解即可.

【解答】

解：如下图，

因为任意xGR都有|方—>\a-b\<

所以由图知B1(a-by

同理Hl(方一？),

记三=函石=而1=历，

则8,C都在以0A为直径的圆上，如下图,

第10页，共27页

B

因为|百一。=|1一下|=1，|五一=6,

所以|4C|=\BC\=1,\AB\=V3,

uui、idAa+占TKI+℃”~+.AC「AB=1+1-31

所以由余弦理有(xzN.AC'/3-ci"C1ACI-n1=-X»

213clx|.4C|2x1x12

又0<Z.ACB<兀,

所以N.ACG："

所以由正弦定理有1^1=|O?|=27?=14fL

ahiZ.ACB

故选C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共舸复数，复数的模，复数的代数表示

及其几何意义，属于基础题.

根据题意由复数的四则运算可得z,逐项分析求解即可.

【解答】

解：••,Z=-=7^0=-=1+4l>

A.z的虚部为4,故4错误；

8z的共辆复数为1—4i,故8正确；

C.\z\=Vl2+42=V17，故C错误；

Dz=l+4i对应的点为(1,4),在第一象限，故。错误；

故选B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查正方体的结构特征,考查异面直线成角、线面平行、垂直的判定与性质的应用，

及棱锥的体积求法，考查分析与计算能力，综合性较强，属于较难题.

利用正方体的结构特征，线面位置关系的判定和性质，异面直线成角及棱锥体积的计算

对4个结论逐个判断，即可得出结论.

【解答】

解：①由正方体可得：AC1BD,1平面A8C£>,

BDnDD-i=D,BO.U平面前Oi，

二ACJ■平面BDO],BOiU平面B。。，；.4C_L

同理：BiCIBDi，

vACnBjC=C,ACB6U平面

•••BD】1平面力B]C,rOEC平面，

〃平面ABC，

同理得：&。〃平面.43(',

•••ArDnA1C1=,AiC,4iGu平面AiG。，

・♦•平面4B]C〃平面4G。，

•/OEU平面AB|C,

•••OE〃面41clD,正确；

③易知BiC〃A]D,平面4BD,4Du平面4BD,

〃平面&BD,

E到平面&BD的距离为定值，

第12页，共27页

•••三棱锥&-BDE的体积等于三棱锥E的体积，底面△&BD的面积为定值，E

到平面4B0的距离为定值，

二三棱锥&-80E的体积为定值，正确；

④当E在当处时，0E与4cl所成的角最大，

此时，由勾股定理易得：

℃2=a0&2=|,8道2=2,

2

0C+08/=B1c2,即/Bl。。=90°,

,:AC11A、C\,

•••OE与力iG所成的最大角为90。，正确.

故选D.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查频率直方图的应用，涉及平均数与方差，属于基础题.

结合频率分布直方图中的数据，逐项分析即可.

【解答】

解：对于4,甲社区家庭月消费不超过2000元的比例为0.0004x2x500=0.4,乙社

区的比例为0.0006x500=0.3,所以A不正确；

对于S甲社区家庭月消费不超过2500元的比例为(0.0004+0.0004+0.0006)x500=

0.7,乙社区的比例为(0.0002+0.0004+0.0008)x500=0.7,所以8不正确；

对于C,甲社区家庭月消费的平均值为500x(0.0004x1250+0.0004x1750+

0.0006x2250+0.0004x2750+0.0002x3250)=2150,

乙社区家庭月消费的平均值为500x(0.0002x1250+0.0004x1750+0.0008x

2250+0.0004X2750+0.0002X3250)=2250,所以C不正确；

对于力，由图知，甲数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各

个段内分布均匀，乙数据绝大部分数字都在平均数左右，较集中，所以甲社区家庭月消

费的方差大于乙社区家庭月消费的方差，所以。正确.

故选D

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及不等式性质，属于基础题.

利用基本不等式及不等式的性质对各命题逐一判断即可.

【解答】

解：①中：X2-X+^=(x-|)2>0,则/则lg(x2+；)Nlgx,故①正确；

②中：xHkn,k&Z,sinxG[—1,0)U(0,1],当sinx<0时，sinx+—<0,故②

错误；

③中：x2+l-2\x\=\x\2-2\x\+1=(|x|-l)2>0,故*2+1)2|x|(xeR),故③

正确；

(3)中：丫=宁笑=。弊=7^短+7臬22,当且仅当石。2=高时取等号，

JJVx2+23+23+23+2

此时/=—1,显然不成立，故④错误；

故选：C.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的单调性与奇偶性及函数y=x+?(a>0)的性质，属于中档

题.

解题关键是根据函数y=x+a/x(a>0的图像与性质即可判断得出.

【解答】

对于4:当a=b=c=1时/(x)是奇函数，故4正确；

对于B:若/(x)在(0,+8)上为单调增函数，贝iJa40,故B错误；

对于C:.若f(x)是偶函数，则/(-工)=〃工)恒成立,

即工+士=一心-£恒成立，

XX

(1A-C

则(b+1)工+----=(M亘成立，

X

：1=、，助『二一1故c正确；

la+c=0ic=­a

对于D:a>0时，

/(工)=工+£在区间(0,旅)单调递减，在区间(西.+8)单调递增.

X

第14页，共27页

/(x)在区间(等,2病上有最小值/(病，故。错误；

故选：AC.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的化简求值问题，涉及了同角三角函数关系、两角和与差的三角函

数公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.

利用正弦的二倍角公式以及诱导公式可判断选项4,利用余弦的二倍角公式可判断选项

B,利用辅助角公式以及二倍角公式可判断选项C,二倍角公式以及同角三角函数关系

可判断选项D.

【解答】

解：sinl50sin30°sin75°=-sinl50cosl50=-sin300=故选项A正确；

248

cos215°—sin215°=cos30°=—,故选项B正确；

2

sinlO°coslO0—sinlO°coslO°--sin20°一，故选)、°钳误；

2

3—4cos200+cos40°

3+4cos20°+cos40°

3—4cos200+2COS220°-1

3+4cos20°+2cos220°-1

COS220°—2cos200+1

cos220°+2cos200+1

(cos20。-l)2

(cos20。+l)2

_4sgHo。

4cos,IO。

=tan410°,故选项。正确；

故选：ABD.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度

要求比较高，属于较难的题.

由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.

【解答】

解：对于A,•••五=(1,2)石=(1,1)区与Z+4石的夹角为锐角，

a-(a+AK)=(1,2)-(1+2,2+2)

—1+入+4+2A=3a+5>0,

且4H0（/1=0时方与方+高的夹角为0）,

所以4>一|且；IH0,故A错误；

对于8.•.•向量1=（2,-3）=4孔即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B

正确；

对于C.若则五在方方向上的投影为土叵|，故C错误;

对于D.因为|不=一至两边平方得，

|K|2=2a-b，

则亦Q+E)=I五方=||引2,

\a+b\=J(a+b)=|a|2+2a-K+|b|2=V3|ap

故cos（五区+方>=豁也那=近,

|a|V3|a|一

而向量的夹角范围为［0°,180。］,

得五与五+E的夹角为30。，故。项错误.

故错误的选项为ACD

故选ACD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性质，以及线面垂直和面

面垂直的性质，涉及余弦定理，同时考查了空间中的距离，三棱锥的体积，属于较难题.

根据空间中线面，面面间的位置关系，结合选项依次分析求解即可.

【解答】

解：对于A,取CQ的中点F,连接MF,BF,

易知MF〃&D,FB//ED,

•••MF仁平面力［DE,AXDu平面AiCE,

MF〃平面&DE,

同理可得FB〃平面&DE,

第16页，共27页

又MFCFB=F,MF,FBu平面MBF,

二平面MBF〃平面40E,

又BMu平面MBF,

••・恒有〃平面&DE,故A正确；

对于8,在矩形ABC。中,AB=2AD=2,E为AB的中点，所以AE=AD=1，DE=

取CO的中点凡连接MF,BF,则MF〃力iD,且“尸=之4山=5

BF//DE,BF=DE=V2,/.A^DE=/.ADE=乙MFB=45°,

在三角形MBF中，由余弦定理得A/3=，。产+一2BF.MFCSNMFB=—,

故B正确；

对于C,因为BM〃平面&DE,所以M到平面力WE的距离等于B到平面&DE的距离，

BE=1为定值，SfME=：为定值，

当平面&DE_L平面4BCO时，B到平面&DE的距离最大，三棱锥&-DEM的体积取

最大值，

V=XX=,

此时,At-DEM=^-DEB32^12故0正确;

对于。，取CQ的中点尸，连接EF,ArF,

假设存在某个位置，使得平面40E_L平面&CD,平面&DEn平面&C0=&。，AXE1

&D,&Eu平面&DE,

••・A1EJ"平面"iCD,

•・•&Cu平面&皿ArE1ArC,

vArE=1,CE=V2，-**ArC=1,此时必与尸重合，不符合题意，故假设错误，故D

错误.

故选ABC.

13.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，利用函数的单调性求最值，属于基础题.

根据函数的解析式，可求出函数的定义域，进而根据定义在R上的奇函数，图象必过原

点，构造方程，解方程可得“的值，再利用单调性求最值.

【解答】

解：••・函数/(x)=1-的定义域为R,

且函数f(x)=1-差为奇函数，

故/(。)=1-Wi=l-晟=0，

解得771=2,经检验，满足题意，

所以f(x)=l-/，

又函数f(x)在区间［0,1］上是增函数，

所以函数/(x)在区间［0,1］上的最大值为/(I)=1一岛=|,

故答案为|.

14.【答案】1

【解析】

【分析】

本题主要考查了运用二倍角公式，同角三角函数基本关系，诱导公式进行三角函数求值,

属于中档题.

根据-，得到siMQ-x）的值，再把cos（2x+用sin2c-x）表示出来,

最后求和计算即可.

【解答】

解：

M

2血2（工一令=1-3I=1-A）血2G-1），

又OOS（2H++疝/（£一工）=2coi2（1++疝/4-1）-1

33\（＞/＜）

o/7T7T\.,/7T\.,/7T\8.5

=2sin2——x——J+-xJ—\=381nz—l=3x-—1=-,

故答案为：|.

15.【答案】①③

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查命题真假的判定，涉及到对数函数的性质，二分法求函数的近似值，函数的零

第18页，共27页

点，属于中档题.

根据函数的性质逐一判断可得.

【解答】

解：对于①，根据反函数的定义可得，互为反函数的图象关于直线y=x对称，故①正

确；

对于②，已知函数/'(x-l)=x2-2x+l,则/(5)=/(6-1)=62-2x6+1=25,

故②错；

对于③，,・,当x=2时，/(x)=ax~2-3=a0-3=-2,即图像必过定点(2,-2),故③

正确；

对于④，区间(2,3)的长度为1,每经过一次操作区间长度变为原来的一半，经过"次操

作后，区间长度为表，

故联(0.1,即2"》10,n》4,故至少经过4次二分后精确度达到0.1,故④错；

对于⑤，函数y=2X—/的零点个数为3,x<0时有一个，还有x=2,%=4,故⑤错

故答案为①③.

16.【答案】[2&,2何；

23

4,

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量坐标表示及运算，属于中档题.当AF1

BC时AE最短，根据菱形性质及所给数据可求得最小为2&，当E与C重合时，AE最

长为2旧;以。为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，用坐标表示出前.前=

|(V3m+f)2+y，其中巾6[-历0],再结合二次函数最值求解即可.

【解答】

解：根据菱形性质可得OC=V3，则B。=V6，

iD

作AF1BC,

贝必用中=2口

此时AE最短，当E与C重合时，AE最长,

故2aWAE42痘，即|而|W[2企,2b].

根据菱形性质可得0C=75,则8。=伤.

以0为原点，8。所在直线为x轴建系如图：

则4（0,遮），8（一逐,0）,。（0,一遮），。（通,0）,

所以BC:y=—V3»

设E（TH,-Tfi-V3）finG[—y/6,0],

则瓦？-YD=（一科2A/3+学TH）.（乃

=1（V3m+Y）2+其中mG[—A/6,0],

对称轴为zn=—^6[—V6,0]>

当根=一且时瓦J.前最小，最小值为十.

故答案为：[2企,2b];

17.【答案】r

2

V3

T

第20页，共27页

【解析】

【分析】

本题考查了线面垂直的判定以及异面直线所成角，属于中档题.

(1)由4D〃BC,可得锐角NSZM即为异面直线S。与8c所成的角，即可得出.

(2)由题意可得CMJL平面SAO,即可求解距离.

【解答】

解：如图，

•••底面ABCD是菱形，BCHAD,

则异面直线SO与BC所成的角等于直线与AO所成的角，

vSAJL平面ABCD,ADu平面ABCD,

SA1AD.

又•••5力=48=1,底面4BCO是菱形，

S/1=AD,：■ASDA=45°,

•••cos/SDA=—,

2

故异面直线SO与8c所成角的余弦值为坦；

2

过点C向直线AC作垂线，垂足为点M,

vSA1平面ABCD,CMu平面ABCD,SA1CM.

•••S2J.CM,AD1CM,A£＞与SA相交于点4,又AD,SA都在平面SAO内，

•••CM1平面SAD,故CM的长等于点C到平面SAD的距离，CM=AC•sin30。=阻

2

.•.点C到平面的距离为立，

2

vBCHADf

・•・直线BC到平面SAD的距离等于点C到平面SAD的距离，

••・直线BC到平面SAD的距离为3.

2

故答案为叱；立.

22

18.【答案】解：(1)/(%)=14-sin2x4-V3(2cos2x—1)

=14-sin2x+V3cos2x

=14-2sin(2x+“,

由-1+2kli<2x+；工1+2kn,

得一患+kuWxWV+kir»kEZ.

故此函数的单调递增区间为[-患+k*+kn](keZ).

(2)由0<x<W，得g<2x+g<当

y=sin(2x+g)的值域为(-更,1],

32

f(x)=1+2sin(2x+"的值域为(1一V3,3],

故此函数的值域为(l-g,3].

【解析】本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

(1)利用二倍角公式和两角和与差的三角函数化简/(久)，再利用三角函数函数的单调性

求解即可；

(2)由0<%<看得m<2x+g<g,利用正弦函数的性质求出函数的值域即可.

19.【答案】解：(1)因为b=(1,V3),

所以同=Jl2+(V3)2=2，

因为向量五在向量方方向上的投影为2,

设向量行与B的夹角为。，

所以同cos。=2,

所以方•b=|a||h|cos0=2x2=4,

v(a—2K)1a，

A(a-26)-a=0,

a2—2a-h=0，

/.a2=8，贝力团=2企，

则cos"品=今

又「0€[0.7r',

•响量五与方的夹角为:；

第22页，共27页

(2)由向量模的计算公式同=后五得：|2五-同=J(2a-K)2=

J4a2-4a-h+62=V32-16+4=275'

⑶•・"2，

-c=Ad，

3a-4b=A(m方+K),

・・•五、杯共线，

.(3=Am

..(-4=，

解得m=-f.

4

【解析】本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行的

判定，向量的投影的求解，属于中档题.

(1)先求出同，再利用向量五在向量方方向上的投影为2,求出值),由位一25上日得到

|a|=2V2.再利用夹角公式求出两向量1与1的夹角；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；

(3)由则存在实数4,使得不=43成立，由此利用向量相等可得参数值.

20.【答案】解：(1)甲从A,B,C,。四所高校中选2所，共有A8,AC,AD,BC,

BD,CD六种方法，

甲同学选。高校，共有A。，BD,C。三种方法，则甲同学选力高校的概率为：=

OZ

因此乙、丙同学选。高校的概率皆为点

因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选。高校的概率为弓)3="

No

(2)(助甲同学必选A高校且选。高校的概率为J,乙未选。高校的概率为：=j丙未选

JOL

。高校的概率为:=3因为每位同学彼此独立，所以甲同学选。高校且乙、丙都未选。

oN

高校的概率为=

（团）甲、乙、丙三名同学中选O高校的人数正好为2人的概率P=；x：x：+Jx：x：+

366366

23341

-X—X-=—=—.

366123

【解析】本题考查了古典概型的计算与应用，相互独立概率计算公式，互斥事件概率计

算公式，分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

（1）设甲、乙、丙三名同学分别选。高校的概率为PW=1,2,3）,可得％=P2=P3=^,

再利用相互独立概率计算公式即可得结果；

（2）（回）甲同学必选A高校且选。高校的概率为:，乙未选。高校的概率为：=丙未选

362

。高校的概率为:=3利用相互独立概率计算公式，即可得出甲同学选。高校且乙、

oN

丙都未选力高校的概率；

（团）由甲、乙、丙三名同学中选。高校的人数正好为2人求出概率即可.

21.【答案】解：（1）在△4B0中，AB=3,AD=星，cos。=一，.

由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosd=14-675cos0=14+6=20，

所以BD=2V5.

因为0eC，7i),

所以sin。-V1—cos20-Jl——管,

由正弦定理得一^=一端，即禁=/焉,

SinzBXDs\nz.ADB—sin乙

5

解得sin乙4DB=

因为△BCD是以。为直角顶点的等腰直角三角形,

所以ZTDB=］且CD=BD=2V5,

所以coszJDC=cos(乙4DB+])=-sin^ADB=-|.

在△ACD中，由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2AD-DCcos^ADC=(V5)2+

(2V5)2-2x

第24页，共27页

V5X2A/5X(-|)=37,

所以4c=V37.

(2)由(1)得，BO?=14-6V5COSO，

SAB