2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质学案含解析北师大版选修2-3

PAGE5.2二项式系数的性质授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]二项式系数的性质对称性在(a＋b)n绽开式中，与首末两端______的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝________增减性与最大值增减性：当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是渐渐增大的；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是渐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Ceq\f(n,2)n最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝______；②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝______[双基自测]1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))10的绽开式中，系数最大的项是()A．第六项B．第三项C．第三项和第六项D．第五项和第七项2．Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)的值为________．[自主梳理]等距离Ceq\o\al(n－m,n)2n2n－1[双基自测]1．D绽开式第六项系数为－Ceq\o\al(5,10)，第五项和第七项系数为Ceq\o\al(4,10)、Ceq\o\al(6,10)，且Ceq\o\al(4,10)＝Ceq\o\al(6,10).2．1023∵(1＋1)10＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)，∴Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－1＝1023.授课提示：对应学生用书第22页探究一赋值法求多项式系数和[例1]若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[解析](1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由eq\f(①－②,2)得：a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(1,2)[128－(－4)7]＝8256.(3)由eq\f(①＋②,2)得：a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(1,2)[128＋(－4)7]＝－8128.(4)解法一∵(3x－1)7绽开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8256－(－8128)＝16384.解法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋3x)7绽开式中各项的系数和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16384.求绽开式中的系数或绽开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需依据所求的绽开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决详细问题时要敏捷驾驭．1．在二项式(2x－3y)9的绽开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)全部奇数项系数之和；(4)各项系数肯定值的和．解析：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29＝512.(2)令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1，即各项系数和为－1.(3)由(2)得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59，②①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，即全部奇数项系数之和为eq\f(59－1,2).(4)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(2x)9－r(－3y)r＝(－1)rCeq\o\al(r,9)·29－r3rx9－ryr，因此当r＝1,3,5,7,9时，Tr＋1的系数小于0，即a1，a3，a5，a7，a9均小于0.∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9＝59.探究二增减性与最值问题[例2]已知：(xeq\f(2,3)＋3x2)n的绽开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求绽开式中二项式系数最大的项；(2)求绽开式中系数最大的项．[解析]令x＝1，则绽开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，又绽开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，∴n＝5.(1)∵n＝5，绽开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝Ceq\o\al(2,5)(xeq\f(2,3))3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)(xeq\f(2,3))2(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)设绽开式中第r＋1项系数最大，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(xeq\f(2,3))5－r(3x2)r＝3rCeq\o\al(r,5)xeq\f(10＋4r,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3rC\o\al(r,5)≥3r－1C\o\al(r－1,5),3rC\o\al(r,5)≥3r＋1C\o\al(r＋1,5)))⇒eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∴r＝4.即绽开式中第5项系数最大，T5＝Ceq\o\al(4,5)(xeq\f(2,3))5－4(3x2)4＝405xeq\f(26,3).(1)依据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需依据各项系数的正、负改变状况，一般采纳列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，假如第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项，第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N来确定r的值，即可求出最大项．2．(1＋2x)n的绽开式中第6项与第7项的系数相等，求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析：T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依题意有Ceq\o\al(5,n)25＝Ceq\o\al(6,n)26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的绽开式中，二项式系数最大的项为T5＝Ceq\o\al(4,8)·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r－1,8)·2r－1,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1))⇒5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∵r∈{0,1,2，…，8}，∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.探究三证明与组合数有关的恒等式[例3]求证：Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(2n！,n－1！n＋1！).[证明](1＋x)2n绽开式中xn－1的系数为Ceq\o\al(n－1,2n)＝eq\f(2n！,n－1！n＋1！)，又(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n＝(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)xn－1＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)xn＋Ceq\o\al(1,n)xn－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)x＋Ceq\o\al(n,n))，∴等式右边积中xn－1的系数为Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n).∵两种绽开式xn－1的系数应相等，∴Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(2n！,n－1！n＋1！).解决组合恒等式的问题，关键在于构造不同的二项式，利用二项式的不同绽开方法，比较系数得到相应的恒等式．有时取二项式中字母为某些特别值也可得到相应的组合恒等式．3．求证：(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝eq\f(2n！,n！n！).证明：已知(1＋x)2n＝(1＋x)n·(1＋x)n＝(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)，(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)中xn的系数为第一个因式中xr的系数与其次个因式中xn－r的系数的乘积的和．因为xr的系数Ceq\o\al(r,n)与xn－r的系数Ceq\o\al(n－r,n)相等，所以(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)中xn的系数为(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2.又(1＋x)2n的绽开式中xn的系数为Ceq\o\al(n,2n)，因此有(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝Ceq\o\al(n,2n)＝eq\f(2n！,n！n！).混淆各项的系数和与各项的二项式系数和致误[典例]在(1－2x)7的绽开式中，各项的二项式系数和为________；各项的系数和为________；各项系数的肯定值之和为________．[解析]各项的二项式系数和为27＝128；令x＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；令x＝－1，则得各项系数的肯定值之和为(1＋2)7＝2187.[答案]128－12187[错因与防范]1.这类问题，极易忽视一些条件或混淆一些概念导致题目解答错误．2．设a，b为常数，则(ax＋b)n的绽开式中各项的二项式系数和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.在(ax＋b)n的绽开式中令x＝1，则得(ax＋b)n的绽开式中各项的系数和为(a＋b)n.3．求绽开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则需依据所求的绽开式系数和特征来定．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的绽开式中各项系数的和为2，则该绽开式中常数项为()A．－40 B．－20C．20 D．40(2)(x2＋x－1)9(2x＋1)4的绽开式中全部x的奇次幂的系数之和等于________，全部x的偶次幂(包括x0)的系数之和等于________．解析：(1)对于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5，可