1.4.2 充要条件（课件）

集合与常用逻辑用语第一章1.4.2充要条件1.4充分条件与必要条件栏目索引课前自主预习课堂互动探究随堂本课小结课前自主预习1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____________，又有____________，就记作____________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为__________条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q__________________.p⇒q

知识点充要条件q⇒p

p⇔q

充要互为充要条件[微体验]1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案B

解析|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．答案充要条件3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．(1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.课堂互动探究探究一充要条件的判断(2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是(

)A．ab＝0

B．ab＞0C．a2＋b2＝0

D．a2＋b2＞0答案D

解析a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.[方法总结]判断充要条件的解题思路以及注意事项(1)思路：充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样．(2)注意事项：①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性；②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法；③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等．[跟踪训练1]下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______．(填序号)①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；②p：|x|＞3，q：x2＞9.解析①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件．答案①②

已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明

先证必要性：因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.所以必要性成立．再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.探究二充要条件的证明[方法总结]充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．[跟踪训练2]求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.1．充要条件的概念既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系(1)p是q的充分不必要条件(2)p是q的必要不充分条件(3)p是q的充分必要条件(4)p是q的既不充分又不必要条件随堂本课小结3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎