2023届上海市长宁区高三上学期教学质量调研（一模）数学试卷 附答案

高三数学试卷共4页第4页2022学年第一学期高三数学教学质量调研试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集，，则．2.不等式的解集为.3.复数满足（其中为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点到原点的距离为.4.设向量、满足，，则.5.如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有条．6.甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，=1\*GB3①甲城市日均气温的中位数与平均数相等；=2\*GB3②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定；=3\*GB3③乙城市日均气温的极差为3℃；=4\*GB3④乙城市日均气温的众数为5℃.以上判断正确的是.（写出所有正确判断的序号）7.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法.8.研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数.已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为，则释放信息素4秒后，距释放处的米的位置，信息素浓度为.9.若，，，则三棱锥的体积为.10.已知函数的图像向右平移个单位，可得到函数的图像，则．11.已知是圆柱的一条母线，是圆柱下底面的直径，是圆柱下底面圆周上异于的点.若圆柱的侧面积为，则三棱锥外接球体积的最小值为.12.已知为椭圆的左右焦点，为的上顶点，直线经过点且与交于两点.若垂直平分线段，则的周长是_____．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.若为第四象限角，则（）.A.；B.；C.；D..14.设，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件．15.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数，事件的概率为，事件的概率为．则是下列哪个事件的概率（）.A.两个点数都是偶数；B.至多有一个点数是偶数；C.两个点数都是奇数；D.至多有一个点数是奇数.16.函数的大致图像如图，则实数、的取值只可能是（）.A.、；B.、；C.、；D.、.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列的公差为.（1）若，，，求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若，，求.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知△的三个内角的对边分别为.（1）若△的面积，求；（2）若，，，求.19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面；（3）若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.已知抛物线的焦点为，准线为.（1）若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率；（2）设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；（3）经过点且斜率为的直线与相交于两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、.试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本题满分18分，第1小题=1\*GB3①题满分4分，第1小题=2\*GB3②题满分6分，第2小题满分8分）.已知函数的定义域为.（1）若.=1\*GB3①求曲线在点处的切线方程；=2\*GB3②求函数的单调减区间和极小值；（2）若对任意，函数在区间上均无最小值，且对于任意，当时，都有.求证：当时，.高三数学试卷共4页第2页2022学年第一学期高三数学教学质量抽测试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．1.2.．3..4.3.5.3.6.=1\*GB3①=4\*GB3④.7.180.8.4.9..10..11.12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．13.A14.C15.D16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1），，因为，所以，得，，，所以数列的公比为3，数列的通项公式为.（2）因为数列的公差为2，所以，因为，所以，所以，所以，得.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）因为我所以，又因为，所以，因为，所以.（2）因为，所以，因为，所以，得，进而，因为，所以.19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.（1）证明：因为、分别为棱、的中点.所以，因为平面，不在平面上，所以平面.（2）因为平面平面，，所以平面，所以，因为，，所以平面.（3）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，得所以，因为平面，所以即为直线与平面所成的角，得所以，因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角，由，得，得所以二面角的大小为.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.解：（1），双曲线的半焦距双曲线的的标准方程为,所以，得，所以（2）解法一：的准线方程为，设点，因为，所以，得因为，所以，所以，因为在第一象限，所以点的坐标为，所以直线的斜率为直线的方程为.解法二：的准线方程为，过点作的准线的垂线，垂足为，则，因为，所以，因为在第一象限，所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为（3）设点，，由已知直线的方程为，将代入抛物线方程得，所以，因为直线的方程为，直线的方程为，所以的纵坐标分别为，，得圆方程为，因为，所以整理得,令，得或，所以圆过定点和.21．（本题满分16分，第1小题=1\*GB3①题满分4分，第1小题=2\*GB3②题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1），所以，所以曲线在点处切线的斜率为1，进而曲线在处的切线方程为.（2），，令，得，，列表如下：00极大值极小值