《工程力学》第三章-平面一般力系

《工程力学》第三章平面一般力系凡力系中诸力作用线在同一平面内且任意分布的力系，称为平面一般力系，简称平面力系。§3-1力的平移定理力的平移定理。施加于刚体上点A的力F可以平移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点B的矩。图3-1可以把作用于刚体上A点的力F平移到另一任意点B上，但必须同时附加一相应的力偶(图3-1(c))，这个力偶称为附加力偶。由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于是得§3-2平面一般力系向一点的简化一、平面一般力系向一点的简化在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的简化。图3-2经简化后的平面共点力系合成为一个合力R′，该合力作用点在简化中心上；把简化后的附加力偶系m1，m2，…，mn合成得一力偶MO(图3-2(c))。自然，依据力的平移定理，可将力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))，这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合力。1.R′和主矢从图3-2可知，R′是图示共点力系的合力。R′的大小和方向可由平面共点力系合成的几何法或解析法获得。运用几何法：由于简化后的共点力系中诸力与原力系中诸力等值同向，即，故可直接用原力系中诸力作出力的多边形，力的多边形之封闭边称为原力的主矢，即这表明平面共点力系的合力R′等于原力系(F1，F2，…，Fn)中诸分力的矢量和，亦即原力系的主矢。而合力R′的作用线则通过简化中心。运用解析法：在力系所在平面上取坐标系O-xy(图3-3(a))，应用合力投影定理，则由(3-2)式得故主矢R′的模为主矢R′的方向从图3-3(b)中可知图3-32.对点O的主矩从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶系的合成定理可知，按力的平移定理，力向一点简化后所产生的附加力偶的矩，等于力对简化中心的矩，故合力偶矩可表示为平面一般力系向作用面内任意一点的简化，一般可得一力和一力偶。该力的作用线通过简化中心，其力矢量R′称为原力系的主矢，它等于原力系诸力之矢量和；该力偶作用于原作用平面上，其力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中诸力对简化中心之矩的代数和。3.固定端(或插入端)约束的分析图3-4(a)和(b)所示车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘上，是固定不动的。这类约束称为固定端约束或插入端约束。其简图如图3-4(c)所示。图3-4固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用有一群约束反力。在平面问题中，这些反力构成一平面一般力系(图3-5(a))。若将这群力向作用面内A点简化，则得一力和一力偶。一般情况下，简化后所得之力的大小和方向均为未知量，但该力可用两分力Nx，Ny来代替。因此，平面一般力系在固定端A处的约束反作用可简化为两约束反力Nx，Ny和一个力偶矩为mA的约束反力偶(图3-5(c))。图3-5二、平面一般力系向一点简化结果分析1.平面一般力系向一点的简化结果平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现四种情况：(1)R′=0，MO=0主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交力系和平面力偶系均为平衡力系，因而平面一般力系必也是平衡力系。(2)R′=0，MO≠0主矢等于零而主矩不等于零。它表明原力系与一平面力偶系等效。此时，作用于简化中心O点的力相互平衡，从而相互抵消。但附加力偶系并不平衡，它可合成为一力偶，即原力系的合力偶，其合力偶矩等于原力系对简化中心点O的矩，即按力偶的性质，力偶对于作用平面上任一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心无关。但在一般情况下，力系简化后的主矩与简化中心有关。(3)R′≠0，MO=0主矢不等于零而主矩等于零。它表明原力系与一个作用线通过简化中心的合力等效。该合力的大小和方向由主矢R′确定。(4)R′≠0，MO≠0主矢、主矩都不为零。它表明力系向O点简化后得到一力和一力偶。按力的平移定理，这一力和一力偶还可合成为一个合力。2.平面一般力系简化为一个合力的情况设将力偶矩为MO的力偶(图3-6(a))用两个力R和R″来表示，并令R′=R=-R″(图3-6(b))，R′和R″构成一平衡力系，于是有等效关系如下：这就是说，可将作用于O点的力R′和力偶(R，R″)合成为一个作用于O′点的力R(图3-6(c))。显然，力R就是原力系F1，F2，…，Fn的矢量和，力R的作用线距简化中心O点的位置(即力的作用线离O点的距离d)由下式确定图3-6至于力R作用点在原简化中心O点的哪侧，则取决于主矢R′的方向和主矩MO的转向。若力偶转向为逆时针(MO>0)时，则力R的作用点位于从O点沿主矢R′箭头方向的右侧；反之，则R的作用点位于从O点沿主矢R′箭头方向的左侧。§3-3平面一般力系的平衡方程及其应用一、平面一般力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面一般力系的特例。力系中诸力彼此平行，如图3-10所示。设若一物体受一平面平行力系的作用。选O-xy系中y轴与各力平行，则不论力系是否平衡，各力在x轴上的投影恒等于零，即∑X≡0。于是平面平行力系的平衡方程是使用(3-13)式时，必须使A、B两点的连线不与各力平行。三、平面一般力系平衡方程的应用例3-4图3-11所示为悬臂式起重机。梁AB的A端以铰链固定，B端用拉杆BC拉住。梁自重P=4kN，载荷重Q=10kN。梁的尺寸如图示。试求拉杆BC所受的拉力和铰链A处的约束反力。解：选取梁AB和载荷体一起为研究对象。除作用于梁AB上的已知力P，Q外，还受拉杆拉力T和铰链A处的约束反力N的作用。因拉杆BC为二力杆，拉力T必沿BC连线；又因N方向未知，但总可作正交分解，得Nx，Ny。力N，T，P，Q可近似地认为分布于同一平面内，故由它们构成的力系可视为平面一般力系。图3-103-11因梁处于平衡，该力系必满足平面一般力系的平衡方程，由(3-9)式得由(3)式得(4)式代入(1)得(4)式代入(2)得§3-4物体系的平衡前面已研究过各种平面力系的平衡问题，但都是针对单个刚体而言的，而在工程实际中，诸如组合构架、三铰拱等都是由若干物体构成的平衡体系。这些由许多物体构成的系统称为物体系。研究物体系平衡问题较之研究单个物体要复杂得多。它不仅要求出物体系所受的所有未知外力，而且在绝大多数情况下还要求出物体系内部各物体之间的相互作用内力。§3-4物体系的平衡为此，研究时则要求把某些物体单独隔离开来。即使问题不要求求出内力，对于某些物体系的平衡问题，有时也需要将物体分开处理，方能求出作用于物体系上的未知外力。对于一处于平衡的物体系，允许将一些物体单独隔离来处理的依据是：当物体系处于平衡时，组成物体系的每一物体或物体系中若干物体构成的局部均处于平衡状态。§3-5超静定问题的概念当物体系处于平衡时，组成物体系的每一个物体均处于平衡状态。对每一物体，如在平面一般力系作用下平衡，最多只能写出3个独立的平衡方程。如物体系由n个物体组成，也最多只能写出3n个独立平衡方程。§3-5超静定问题的概念对每一种力系强调它的独立平衡方程数，在解题时十分重要。当未知待求量数少于或等于独立平衡方程数时，只需运用刚体静力学的平衡条件，就可解出全部的未知待求量。这样的问题称为静定问题。反之，如未知待求量的数目多于作用力系可能有的独立平衡方程数，则仅用刚体静力学的平衡条件就不可能求出全部待求未知量。对这一类的问题统称为静不定问题或超静定问题。§3-6解决平面一般力系作用下单个刚体或物体系的平衡问题的途径对平面一般力系作用下处于平衡的单个刚体或由若干刚体构成的物体系，能否用静力学平衡方程求解，则取决于单个刚体或物体系是否静定。对单个刚体而言，若未知量数少于或等于独立平衡方程数，单个刚体是静定的；对于物体系而言，是否静定则取决于物体系中刚体的数目与约束的情况。求解平衡问题时，一般应判别问题是否静定，因在刚体静力学中只处理静定问题，静不定或超静定问题属于材料力学讨论的范畴。物体系的平衡问题是静力学理论的综合应用，它的求解是以单个刚体平衡问题求解为基础的。在§3-3节中讨论平面一般力系平衡方程应用时，实际上是针对单个刚体的平衡问题的。求解单个刚体平衡问题的步骤为：(1)正确选择研究对象；(2)解除约束作受力分析，绘制受力图；(3)根据力系的类别选用平衡方程。鉴于求解物体系的平衡问题是以单个刚体平衡问题为基础，故求解物体系平衡问题，只需注意物体系平衡问题的特点，仍采用求解单个刚体的平衡问题的基本步骤。物体系平衡问题的特点就是从物体系中选取若干研究对象。研究对象的选择视问题性质而定，要选择适当、要合理排列出所取研究对象的顺序，以利于求解简捷。*§3-7平面简单桁架在工程实际中，房屋建筑、桥梁、起重机、油田井架以及其他结构物常用桁架结构。桁架是一种由若干杆件彼此在两端互相联接而成且在受力后几何形状不变的结构。所有构成桁架的杆件处于同一平面的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件的相互联接处，称为节点。凡从桁架中任意摘去一根杆件后桁架会活动变形的，这种桁架称为无余杆桁架(图3-26(a))；凡从桁架中任意摘除某一根或某几根杆件仍不会使桁架丧失形状固定性的，这类桁架称为有余杆桁架(图3-26(b))。无余杆桁架是以三角形框架为基础的。由图可知，每增加一个节点就需增加两根杆件(图3-26(a))，这样的桁架又称为平面简单桁架。图3-26在平面简单桁架中，杆件的数目m和节点数目n之间存在着一定的关系。由于基本三角形的杆件数和节点数都等于3，且每增加一个节点需增加两根杆件，可见平面简单桁架中新增添的杆件数(m-3)必为新增添的节点数(n-3)的两倍，即一、节点法求桁架内力节点法求桁架杆件内力，一般采用以下步骤：(1)应先求出作用于桁架的支承约束反力。(2)逐个选取桁架节点作为研究对象。作节点受力图。在标示作用于节点的内力时，因事先不知待求未知内力的指向，为统一起见，都假定杆件受拉，因此，各杆件施加于两端节点上的力均被假定沿着杆件而背离节点。若某个未知内力求出结果为负，则表明未知内力的实际指向与原假定的指向相反，沿杆件指向节点。此时杆件受压而不是受拉。(3)由于每个节点受平面汇交力系作用而平衡，平衡方程数为2，故只能确定两个未知量。最好是每次都能把一个节点上所受全部未知力求出。选择第一个节点一般应从只有两根杆件相交的节点开始，用解析法或图解法求出两杆未知力的大小和方向。然后，取另一个节点，要求该点上的未知内力不得多于两个，按上述相同的方法求出该点的内力。以此类推，逐个地进行节点的选取。最后一个节点不必考虑，但必要时可用来校核结果的正确性。二、截面法求桁架内力截面法