课件(人教A版数学理)第二章-第二节函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值1.增函数、减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则有:(1)f(x)在区间D上是增函数⇔___________;(2)f(x)在区间D上是减函数⇔___________.2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是_______或_______,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,______叫做y=f(x)的单调区间.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数减函数区间D3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M∈R满足条件①对于任意的x∈I,都有________②存在x0∈I,使得_______①对于任意的x∈I,都有________②存在x0∈I,使得_______结论M是f(x)的_____值M是f(x)的_____值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M最大最小判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(2)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在D上是增函数.(

)(3)函数y=|x|是R上的增函数.(

)(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(

)【解析】(1)错误.当x1=-1,x2=1时,x1<x2,但f(x1)<f(x2),因此(-∞,0)∪(0,+∞)不是函数的单调递减区间.(2)正确.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇒

因此函数f(x)是增函数.(3)错误.函数y=|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.(4)错误.[1,+∞)是单调递增区间的子集.答案:(1)×(2)√(3)×(4)×9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2024/10/292024/10/29Tuesday,October29,202410、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2024/10/292024/10/292024/10/2910/29/202411:25:14PM11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2024/10/292024/10/292024/10/29Oct-2429-Oct-2412、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2024/10/292024/10/292024/10/29Tuesday,October29,202413、Hewhoseizetherightmoment,istherightman.谁把握机遇，谁就心想事成。2024/10/292024/10/292024/10/292024/10/2910/29/202414、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。29十月20242024/10/292024/10/292024/10/2915、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。十月242024/10/292024/10/292024/10/2910/29/202416、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2024/10/292024/10/2929October202417、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2024/10/292024/10/292024/10/292024/10/292、Ourdestinyoffersnotonlythecupofdespair,butthechaliceofopportunity.(RichardNixon,AmericanPresident)命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四3、Patienceisbitter,butitsfruitissweet.(JeanJacquesRousseau,Frenchthinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.20214、Allthatyoudo,dowithyourmight;thingsdonebyhalvesareneverdoneright.----R.H.Stoddard,Americanpoet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:195、Youhavetobelieveinyourself.That'sthesecretofsuccess.----CharlesChaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday,June17,2021June21Thursday,June17,20216/17/2021

1.如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,则(

)(A)a=-2(B)a=2 (C)a≤-2(D)a≥2【解析】选C.二次函数的对称轴是x=,由题意知≥1,解得a≤-2.2.函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是(

)(A)f(x)= (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=ex (D)f(x)=ln(x+1)【解析】选A.由题意知要求函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,故选A.3.函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是

.【解析】由题意知2k+1<0,∴k<.答案:(-∞,)4.f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的单调递增区间为

,f(x)max=

.【解析】f(x)=(x-1)2-1,故f(x)的单调递增区间为[1,3],f(x)max=f(-2)=8.答案:[1,3]

8考向1

确定函数的单调性或单调区间

【典例1】(1)(2013·南京模拟)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为

.(2)试讨论函数f(x)=,x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.【规范解答】(1)由x2-4>0得x>2或x<-2,即函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t=x2-4,因为y=log2t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=x2-4在x∈(-∞,-2)上是减函数,所以函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为(-∞,-2).答案:(-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,因此当a＞0时,f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a＜0时,f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：f′(x)=当a＞0时,f′(x)<0;当a＜0时,f′(x)>0.∴当a＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本例题(1)中的函数改为f(x)=试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为y=在t∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数f(x)=的单调递减区间为(-1,+∞).【拓展提升】1.函数单调性的四种判断方法(1)定义法.(2)图象法.(3)利用已知函数的单调性.(4)导数法.2.复合函数单调性的判断方法复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【变式备选】用定义法判断函数y=在定义域上的单调性.【解析】由x2-1≥0得x≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1-x2＜0,>0,≥0,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1-x2＜0,≥0,＞0,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.考向2

求函数的值域或最值【典例2】(1)(2013·天津模拟)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是()(A)［-,0］∪(1,+∞)(B)［0,+∞)(C)［,+∞)(D)［-,0］∪(2,+∞)(2)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为______.【思路点拨】(1)明确自变量的取值范围,先求每一部分的函数值范围,再取并集求值域.(2)明确f(x)的意义,数形结合求f(x)的最大值.【规范解答】(1)选D.解x＜g(x)=x2-2得x2-x-2＞0，则x＜-1或x＞2.因此x≥g(x)=x2-2的解为：-1≤x≤2.于是f(x)=当x＜-1或x＞2时，f(x)=当-1≤x≤2时，f(x)=且f(-1)=f(2)=0，∴≤f(x)≤0.由以上可得f(x)的值域是［,0］∪(2,+∞).故选D.(2)由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象(如图实线部分为f(x)的图象)，可知A(4，6)为函数f(x)图象的最高点，则f(x)max=6.答案:6【拓展提升】求函数最值的五个常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.【提醒】在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.【变式训练】(1)函数f(x)=在区间［a,b］上的最大值是1,最小值是,则a+b=______.【解析】易知f(x)在［a,b］上为减函数,答案:6(2)设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a),最小值为m(a),试求M(a)及m(a)的表达式.【解析】f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x∈[0,1].当a≤0时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0.当0<a≤时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(a)=-a2.当<a≤1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(a)=-a2.当a>1时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a.综上知,M(a)=m(a)=考向3

函数单调性的应用【典例3】(1)已知函数f(x)是定义在区间［0,+∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围是()(A)()(B)［)(C)()(D)［)(2)(2013·中山模拟)已知f(x)=满足对任意x1≠x2,都有＞0成立，那么a的取值范围是_________.【思路点拨】(1)根据单调性列不等式组求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规范解答】(1)选D.由已知得(2)∵对任意x1≠x2,都有＞0成立,∴函数f(x)是R上的增函数.答案:［,2)【拓展提升】1.含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”号,转化为具体的不等式(组),此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.2.比较函数值大小的思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.【变式训练】(1)(2013·日照模拟)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,)(C)［)(D)［,1)【解析】选C.由题意知(2)已知函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(x∈R),且在[2,+∞)上为增函数,则(

)(A)f(4)>f(1)>f(0.5)(B)f(1)>f(0.5)>f(4)(C)f(4)>f(0.5)>f(1)(D)f(0.5)>f(4)>f(1)【解析】选C.∵函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(x∈R),∴函数f(x)的图象关于x=2对称,∴f(1)=f(3),f(0.5)=f(3.5),又∵f(x)在[2,+∞)上为增函数,∴f(4)>f(3.5)>f(3),即f(4)>f(0.5)>f(1),故选C.【易错误区】忽略定义域致误

【典例】(2013·无锡模拟)已知函数f(x)=则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是

.【误区警示】本题易出现以下错误由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽视了1-x2>0导致解答失误.【规范解答】画出f(x)=的图象，由图象可知,若f(1-x2)＞f(2x)，答案:(-1,-1)【思考点评】解决分段函数的单调性问题时,应高度关注以下几个方面(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是交.1.(2013·广州模拟)已知函数y=f(x)的图象关于x=1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设a=f(),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(

)(A)c<b<a (B)b<a<c(C)b<c<a (D)a<b<c【解析】选B.由题意知f(x)=f(2-x),则f()=f(2+)=f(),又f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(2)<f()<f(3),即b<a<c.2.(2013·济宁模拟)函数在(0，+∞)上是减函数，则y=-2x2+ax在(0,+∞)上的单调性为________.【解析】∵函数在(0，+∞)上是减函数，∴a＜0.又y=-2x2+ax的对称轴为在区间(0，+∞)的左边,∴y=-2x2+ax在(0，+∞)上的单调性