2022年中考数学复习冲刺：圆与三角形综合应用题

2022年中考数学复习冲刺：圆与三角形综合应用题

(每题10分，共120分)

I.在OO中，弦8与直径A8相交于点P,ZA«C=16°.

（i）pzr是oo的切线;

⑵AM2=OMPM

(D如图①，若NBAD=52。,求/APC和NCD8的大小；4.如图，已知在OO中，CD是OO的直径，点A,B在OO上，若NBCD=26°,且AC=AA.

(2)如图②，若CDJ.AB,过点D作0。的切线，与A8的延长线相交于点E,求NE的大小.

2.某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到「如下问题：

如图①，已知等腰△48C的底边人B为12,底边上的高。＞为8,如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？

小红同学经过计算，在高CD上截取正=3,以点。为圆心，以3为半径作的圆即为所求.

⑴求ZA8C的度数；

(2)过点B作。。的切线交C4,8的延长线干点尸和点E,求NE的度数.

5.如图，已知△048中，。4=。6,。。与A3切于点C,与OA、08分别交于点£、G,与AO的延长线交于点

(1)小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法.D,连接80、DG,延长OG交A8于点尸，已知8D=8c.

(2)如图②，在图①的基础上，以为边作一个正方形人用犷，连接FC并延长与跳交于点G,则8G:GE的值为

3.如图，已知AC为OO的直径，直线用与OO相切于点4直线PQ经过OO上的点8且连接

OP交AB于息M.求证：

(1)判断8。与。。的位置关系，并说明理由:

(2)若AE=2,求图中阴影部分的面积.

6.如图，在“18。中，ZABC=90°,ZBAC=30°,以48为直径作OO.交AC于点Q.过点D作。O的切线

交BC于点M.

C

9.如图，在中，。为AC上一点，以点。为圆心，OC为半径作圆，与8C相切于点C,过点A作/

交80的延长线于点O,且NAQD=NBAO.

(1)求证：CM=BM.

⑵若AQ=2万，P为AB上一点,当月M+QD为最小值时，求AP的长.

⑴求证：A8为O。的切线；

(2)证明：ADBC=BDCF

7.【问题原型】如图①，在00中，弦8c所对的圆心角N8OC=90。，点4在优弧8c上运动(点A不与点8、4

(3)若8C=6,tanZA25C=-,求4。的长.

C重合)，连接A8、AC.

10.如图，锐角AAAC内接于OO,。是劣弧AC上一点，8。与AC交于点£且80=4c.

图①图②

(1)在点A运动过程中，NA的度数是否发生变化？请通过计算说明理由.

(2)若6c=2,求弦AC的最大值.

(3)【问题拓展】如图②，在8c中，8C=4,ZA=60°.若M、N分别是A8、8c的中点，则线段MN的最大(1)求证：△旗C是等腰三角形；

值为.(2)若A5=4,tanC=也，求的半径长和劣弧CO的长.

3

8.如图，在.ABC中，点。是AC边上一点，且AD=AB,以线段A8为直径作。0,分别交切九4。于点E,

点F,"AC=2/CBD.11.如图，OO是A/IBC的外接圆，点。在8C上，44。的角平分线交OO于点。，连接3。，CD,过点。作

8c的平行线与4c的延长线相交于点P.

(1)求证：8c是。0的切线：

(2)若。=2,BC=4,求点8到AC的距离:(1)求证：PO是。。的切线:

(2)求证：AABDSADCP；

(3)若AB=6,AC=8,求点O到4。的距离.

12.如图，A8是G>O的直径，8是的弦,ABA.CD,垂足是点〃，过点C作直线分别与A3,AO的延长

线交于点E,F,且NECD=2N84D.

⑴求证：C尸是。。的切线;

(2)如果AA=1O,8=6,

①求AE的长；

②求AAE户的面积.

参考答案

1.

(1)

解：♦；BD=BD

：.ZC=ZJB4Z)=52O

.・・ZAPC=ZC+ZABC=68°

如图，连接AC,TAB为O。直径

・・・ZACB=90°

Zfi4C=180°-ZACB-ZABC=74°

,:BC=BC

：.ZCDB=ZBAC=74°

(2)

解：如图，连接0。

,：CD1.AB

・•・ZCPB=90°

:.ZPCB=90。—NPBC=74°

・・•在G)O中，/BOD=2NBCD

：.N3OD=148。

,/OE是OO的切线

/.OD_LDE即ZODE=90°

・•・ZE=ZBOr>-90°=58°.

2.

(1)

正确，理由如下：

•••△ABC是等腰三角形，底边上的高CD=8,AB=12,

：.AD=BD=6,

AC=y/AD2+CD1=10.

如图，过点。作O"，AC,垂足为点H,则。0=8-0。=8-3=5,

VZACD=ZOCH,NADC=NOHC=90。,

:.ACOW^ACAZ)，

.OHOC

・・----=-----，

ADAC

.OH5

・•----=—，

610

/.OH=3,

又---OHA.AC,

：.AC是。。的切线，

同理，BC是。。的切线，

由题意易知A8是。。的切线,

OO为等腰AABC的内切圆.

(2)

如图，延长OC与EF相交于点

,/以AB为边作一个正方形ABEF,

：.AF=DM=AB=12,

VCD=8,：.CM=DM-CD=4,

'JCDVAB,。为AB中点，

：.CMLEF,M为EB中点，

:.CM为&EFG的中位线，

；.EG=2CM=8,

，BG=12-8=4,

：.BG:GE=1：2；

故答案为：1：2.

3.

(1)

连接OB,

A

MP

CB

I)

・.・OA=OB=OC,

・•.ZOAB=4OBA,ZOBC=40cB,

・・,AC为O。的直径，

/.ZABC=/OBA+NOBC,

•;NCBD=/CAB,

；./OBA=/CBD,

Z.CBD+AOBC=90°=NOBD,

尸。是oo的切线；

(2)

•・•直线网与OO相切于点A,

ZOAP=90°,

•・・尸。是oo的切线，

.・.ZAMO=ZAMP=ZOAP=90°,

ZOAM+ZPAM=ZPAM+ZAPM=90°.

二ZOAM=ZAPM,

:.^OAMfAPM,

.AMOM

一丽一而‘

•<-AM2=OMPM.

4.

(1)

解：・・・CD是OO的直径，

・•・ZCAD=90°.

■:NBA。=NBC。=26。，

:.ZCAB=ZCAD+/.BAD=116°.

,:AC=AB,

：.NB=ZACB.

•/ZB+ZACB+ZC4B=180°,

・・・2ZB=180°-116o=64°,

：.ZB=ZACB=32°；

A

(2)

解：连接BO,

与。。相切，

NOBE=90°.

•••NBOD=2NBCD=52。,

Z£=90°-ZBO£>=38°.

⑴

(1)BO与。。相切，理由如下:

如图，连接OC,

与4B切于点C,

：.OCVAB,

在48£>0和4BCO中,

OD=OC

'：•OB=OB,

BC=BD

：.ZBDO=ZBCO=9G°,

...B。与。。相切；

(2)

■■■OA=OB,OC1AB,

•.Z-AOC=Z.BOC9

；,乙BOD=cBOC,

：.AOC=LBOC=LBOD,

又•・・ZAOC+2BOC+4BOO=180°,

JZAOC=ZBOC=ZBOD=60°9

：.NA=NA8O=30。，

•••△ODG是等边三角形，

:.DF//OC,

：.DFLAB,

在心△OAC中，ZA=30°,

：.OA=2OC,

又•:OC=OE,

JOE=AE=2,

：.AD=3AE=6f

在R/ZkADF中，ZA=30°,

：.AD=2DFf

：.DF=3f

又,••△OOG是等边三角形，

：.DG=OD=29

：.GF=lfOC=2,

DZ

在RmOBC中，/BOC=60°,tanZBOC=tan60°=——=—

OC2

二BC=2^=AC,

RFBF

在RmBGF中，ZBGF=60°,tanZBGF=tan60°=—=—

GF1

:.BF=0,

:.CF=BC-BF=6

2

sm=S悌形obG+S^AOC~S用形OECG=；（GF+OCyCF+^ACOC-120°x^xOC

360°

7044

~2r

6.

(1)

如图，连接OM,O。,

•・,ZABC=90°,

・•.ABLBCf

二.A出是OO的切线，

・・・OM是OO的切线，

:.MD=MB,

•••MO平分N0O3,

•・•ZBAC=30°f

・•.ZBOD=60°,

・•.NMOB=-Z.DOB=30°,

2

:"BAC=/BOM,

:.OM//AB,

CMAO।

/.-----=——=1,

MBOB

:.CM=MB,

⑵

如图，过点。作Z)FJ_BC,垂足为尸，延长C8至E,使得=连接QB,DE交AB于点P,连接PM,

则PM=PE,

DP+PM=DP+PE>DE,当DP,E三点共线时，PM+PZ）最小,

AB是直径，

ZADB=90°,ZBAC=30°,AD=20,

"8=9=4,

cos30°

:.DB=-AB=2

2f

・・・ZABC=90。,NB4c=30°,

AZC=60°,

回

2石

=一=c=473

3-3CB2n3

DB

石

一DC1

2=，

・・・DW=M8=CM,NC=60。,

.•.△OCM是等边三角形，

/.FM=-CM=—,BE=MB=MC=DC=,

233

sn

DF=lEF=—,

y3

♦:DF〃PD,

:AEPBSAEDF,

PBBE

,DF-EFJ

,PB_265G

..=",

133

:.PB=-

59

21Q

:.AP=AB-PB=4--=—.

55

7.

(1)

/A的度数不发生变化，理由如下：

VZA=-ZBOC,/8OC=90。，

2

ZA=-x90°=45°；

2

(2)

当AC为。。的直径时，AC最大，

在RfABOC中,NBOC=90。，

根据勾股定理，^OB2+OC2=BC2,

•：OB=OC,

：.OC=—fiC=—x2=V2,

22

AC=2OC=2y/2>

即AC的最大值为2五；

(3)

如图，画△A8C的外接圆。。，连接。8,OC,ON,

则OMLBC,/BON=60°,BN=^BC=2,

BN2

0B=sin60。一百一亍，

T

•••M、N分别是A8、BC的中点，

是△ABC的中位线，

.•.例N=；AC,

，AC为直径时，AC最大，此时AC=2OB=M,

3

:.MN最大值为

3

故答案为：虫叵.

3

8.

(1)

证明：'：AD=AB

：.ZABD=ZADB

ZABD+ZADB+ABAD=180°

AABD+-ZBAD=90°

2

ZBAC=2ZCBD

：.ZABD+ZCBD=90°

；.BC是。。的切线

(2)

如图，连接8尸

设A£>=A8=x

：BC是。。的切线，

.".ZABC=90°,

AAC2=AB2+BC2,EP(X+2)2=X2+42

解得：x=3

AAD=AB=3,AC=5

：AB是圆O的直径

BFLAC

'：S.„=-ABBC=-BFAC

AMBCr22

•♦・吟

9.

(1)

证明：过点。作。于点E,

VADIBO交BO的延长线于点

・•・ZD=90°,

：.ZBAD+ZABD=9Q°fNAOQ+NOAZ>90。,

・・•ZAOD=ZBADf

：.ZABD=ZOADf

又・・・3C为。。的切线，

：.AC±BC,

：.N5co=/。=90。，

":/BOC=/AOD,

：.ZOBC=ZOAD=AABD,

在^BOC^AL80E中，

/OBC=40BE

NOCB=NOEB,

BO=BO

:.丛BOCq丛BOE(AAS),

OE=OC,

,JOELAB,

.•.AB是。。的切线；

(2)

证明：VZABD^ZOBC,ZD=ZACB=90°,

：.丛ABDs^OBC,

.ADBD

••=,

OCBC

:.ADBC=BDCF,

(3)

解：VZA^C+ZBAC=90°,NEQ4+N84O90。,

・•・ZEOA=ZABCf

4

VtanZABC=-,BC=6,

3

・・・AC:BC・tan/A8C=8,

则AB=10,

由(1)知BE=8C=6,

/.AE=4,

4

tanZEOA=tanZABC=-,

3

.OE3

**A£-4*

.♦・0E=3,OB7BE、OE2=*，

•・•AABDsROBC,

.OCOB33/

・・---=-----,RH]Jn------=------,

ADABAD10

，AD=2亚.

10.

(1)

证明：；AC=BD,

AC=BD>BPAD+CD=AB+AD>

AB=CD，

：.ZDBC=ZACB,即NEBC=NECB,

:.BE=CE,

AE8C是等腰三角形；

(2)

解：如图，作。。的直径AF,连接BF,OC、OD,

尸是。。的直径，

NABF=90°,

NF=NACB,

tanF=tanNACB=^-,

3

：.ZF=ZACB=30°,

；.A尸=2AB=2x4=8,

QO的半径长Af=4,

由(1)知，NEBC=NECB=30°,

・•・NDOC=2NEBC=60。,

.，1、」亦AA1/60^x44

••劣弧CO的长=—7^—=彳乃•

1oUJ

11.

(1)

证明：连接。£>,

：A£)平分NB4C,

，BAD=ADAC,

：.BD=DC.

又•：BC为直径,

.•.0为BC中点，

ODABC.

'：BC//DP,

：.OD工DP.

又；OD为半径,

•••P。是。。的切线；

(2)

证明：VBC//DP,

：.ZACB=NP.

ZACB=ZADB,

：.AP=ZADB.

•••四边形ABQC为圆内接四边形，

ZABD+ZACD=ISO°.

又,/ZDCP+ZACD=180°,

ZABD=ZDCP,

：.AABDs4DCP.

(3)

过点。作。E_LA£>于点E,

：BC为直径，

ABAC=90°.

VAB^6,AC=8,

BC=y)AB2+AC2=10-

XVBD=DC,

BD2+DC2=2BD2=BC2,

；•BD=DC=5丘.

由(2)知△AB£>sA£)CP,

.ABBD

・•----=-----,

DCCP

.会

..Cr=-B-D-D--C=—50=—25,

AB63

2549

:.AP=AC+CP=8+—=—.

33

又•：ZADB=ZACB=/P,ZBAD=ZDAP,

△BADsGAP，

.ABAD

••二,

ADAP

・•・AD2=ABAP=9S,

•*-