贵州省贵阳第一中学2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

贵州省贵阳第一中学2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，则和的值分别为（）A.、 B.、C.、 D.、2．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（）A. B.C. D.3．函数的最大值为（）A.32 B.27C.16 D.404．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.5．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.6．下列抛物线中，以点为焦点的是（）A. B.C. D.7．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A. B.C. D.8．已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.9．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（）A B.C. D.10．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）A. B.3C. D.11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案，以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆，阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（）A. B.C. D.12．命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足，则的前20项和___________.14．已知球面上的三点A，B，C满足，，，球心到平面ABC的距离为，则球的表面积为______15．知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____________.16．过点，且垂直于的直线方程为_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设，分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知与均为A等级的概率是0.07（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率18．（12分）已知数列为各项均为正数的等比数列，若（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和19．（12分）如图所示，在正方体中，E是棱的中点.（Ⅰ）求直线BE与平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.20．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到面的距离.（3）求二面角的平面角的正切值.21．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点与点.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线的方程.22．（10分）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；（2）若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求得，即可求得、的值.【详解】，则，则，故，.故选：D.2、A【解析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A3、A【解析】利用导数即可求解.【详解】因为，所以当时，；当时，.所以函数在上单调递增；在上单调递增,，因此，的最大值为.故选：A4、B【解析】由可得，利用导数判断函数在上的单调性，由此比较函数值的大小确定正确选项.【详解】∵∴，当时，，∴，故∴在内单调递增，又，∴，所以故选：B5、A【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.6、A【解析】由题意设出抛物线的方程，再结合焦点坐标即可求出抛物线的方程.【详解】∵抛物线为，∴可设抛物线方程为，∴即，∴抛物线方程为，故选：A.7、C【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C8、B【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小【详解】设恒成立，函数在上单调递减，.故选：B9、C【解析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点，得，解得，所以所求双曲线方程为，即故选：C.10、C【解析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.【详解】如示意图，由题意，，则，又，，所以，所以.故选：C.11、D【解析】求得阴影部分的面积，结合几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】设正六边形的边长为，则其面积为.阴影部分面积为，故所求概率为.故选：D12、D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、135【解析】直接利用数列的递推关系式写出相邻四项之和，进而求出数列的和.【详解】数列满足，所以，故，当时，，当时，，，当时，，所以.故答案为：135.14、【解析】由题意可知为直角三角形，求出外接圆的半径，可求出球的半径，然后求球的表面积.【详解】由题意，，，，则，可知，所以外接圆的半径为，因为球心到平面的距离为，所以球的半径为：，所以球的表面积为：.故答案为：.15、【解析】根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m的范围.【详解】由解析式知：在上为增函数且，在上，时为单调函数，时无零点，故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，所以在上必递减且，则，可得.故答案为：16、【解析】求出，可得垂直于的直线的斜率为，再利用点斜式可得结果.【详解】因为，所以，所以垂直于的直线的斜率为，垂直于的直线方程为，化为，故答案为.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）根据与均为A等级的概率是0.07，求得值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得值，最后利用抽取的总人数求出值即可；（2）根据，，，写出满足条件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小问1详解】由题意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小问2详解】由，，，可知，则试验的样本空间，共9个样本点其中包含的样本点有共4个，故所求概率18、（1）（2）【解析】（1）利用等比数列通项公式列出方程组，可求解，，从而写出；（2）化简数列，裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列的公比为，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小问2详解】∵，∴∴∴19、（1）；（2）详见解析【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.（Ⅱ）在棱上存在点F，使.事实上，如图所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，，故.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量为，先求，再求二面角的正切值.【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、.，，所以异面直线与所成角的余弦为（2）设平面的法向量为，则知：；知取，又，点到面的距离所以点到面的距离为.（3）（2）中已求平面的法向量，设平面的法向量为∵；∴取..设二面角的平面角为，则.【点睛】本题考查空间直角坐标系求解空间角和点到平面的距离，重点考查计算能力，属于中档题型.21、（1）；（2）或.【解析】（1）求出线段中点，进而得到线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.则圆的方程可求（2）当切线斜率不存在时，可知切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，由到此直线的距离为，解得，即可到切线所在直线的方程.试题解析：（1）线段的中点为，∵，∴线段的垂直平分线为，与联立得交点，∴.∴圆的方程为.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则到此直线的距离为，解得，∴切线方程为.故满足条件的切线方程为或.【点睛】本题考查圆的方程的求法，圆的切线，中点弦等问题，解题的关键是利用圆