上海市奉贤区曙光中学2025届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

上海市奉贤区曙光中学2025届高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面法向量为，，则直线与平面的位置关系为A. B.C.与相交但不垂直 D.2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3．下列说法或运算正确的是（）A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“，”的否定形式为“，”D.直线不可能与圆相切4．与的等差中项是（）A. B.C. D.5．下列数列是递增数列的是（）A. B.C. D.6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个C.个 D.个7．若向量则（）A. B.3C. D.8．设是数列的前项和，已知，则数列（）A.是等比数列，但不是等差数列 B.是等差数列，但不是等比数列C.是等比数列，也是等差数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列9．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.0374510．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（）A. B.C. D.11．已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（）A.2 B.3C.4 D.512．已知向量，，且，则值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.14．已知数列满足，，若为等差数列，则___________，若，则数列的前项和为___________.15．设公差的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列，则的最小值为______16．已知圆锥的母线长为cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.18．（12分）已知等差数列公差不为0，且成等比数列.（1）求数列的通项公式及其前n项和；（2）记，求数列的前n项和.19．（12分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.（1）求双曲线渐近线方程；（2）求抛物线的标准方程.20．（12分）在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.21．（12分）已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点（1）求实数m的值；（2）求△ABO(O为原点)面积的最大值22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C方程；（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】.本题选择A选项.2、A【解析】由函数在上单调递增，可得，从而可求出实数的取值范围【详解】由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：A3、D【解析】对于A：可以解决；对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；对于C：全称否定必须是全部否定；对于D：需要观察出所给直线是过定点的.【详解】A：，故错误；B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；C：的否定形式是，故错误；D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；故选：D.4、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A5、C【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.【详解】解：对于A，，则，所以数列为递减数列，故A不符合题意；对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；对于C，，则，所以数列为递增数列，故C符合题意；对于D，，则，所以数列递减数列，故D不符合题意.故选：C.6、A【解析】利用极小值的定义判断可得出结论.【详解】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.7、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D8、B【解析】根据与的关系求出通项，然后可知答案.【详解】当时，，当时，，综上，的通项公式为，数列为等差数列同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列.故选：B9、D【解析】设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故故选：D10、B【解析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.【详解】由题设，，因为回归直线方程过样本点中心，A：，排除；B：，满足；C：，排除；D：，排除.故选：B11、C【解析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解.【详解】由条件有，当时，，即；当时，，即.即，所以取得最大值时n的值为.故选：C12、A【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，，因为，所以，解得：，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、50【解析】利用频率分布直方图的性质求解即可.【详解】第五组的频率为，第一组所占的频率为，则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.故答案为：50.14、①.##②.【解析】利用递推关系式，结合等差数列通项公式可求得公差，进而得到；利用递推关系式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，采用裂项相消的方法可求得前项和.【详解】由得：，解得：；为等差数列，设其公差为，则，解得：，；由知：数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列；，又，，数列的前项和，.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的项、裂项相消法求和的问题；解题关键是能够根据递推关系式得到数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，由此可通过裂项相消的方法求得所求数列的和.15、##0.4【解析】应用等比中项的性质及等差数列通项公式求公差d，进而写出等差数列的通项公式、前n项和公式，再求目标式的最小值.【详解】由题设，，则，整理得，又，解得，故，，所以，故当时目标式有最小值为.故答案为：16、【解析】根据题意可知圆锥侧面展开图的半圆的半径为cm，再根据底面圆的周长等于侧面的弧长，即可求出结果.【详解】设底面圆的半径为，由于侧面展开图是一个半圆，又圆锥的母线长为cm，所以该半圆的半径为cm，所以，所以（cm）.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范围可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可得答案.【小问1详解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，则；【小问2详解】由余弦定理得，即，所以，当且仅当，取“=”，所以面积的最大值为18、（1），（2）【解析】（1）根据分式的合分比性质以及等差数列的性质即可求出；（2）根据裂项相消法即可求出【小问1详解】由题意：，即，又∵，∴，∴，∴，.【小问2详解】因为，∴.19、（1）（2）【解析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得；（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.【小问1详解】因为双曲线过点，所以所以，得又因为，所以所以双曲线的渐近线方程【小问2详解】由（1）得所以所以双曲线的右焦点是所以抛物线的焦点是所以，所以所以抛物线的标准方程20、（1）（2）【解析】(1)设，根据题意可得，，利用两点之间的距离公式表示出，化简即可得出结果；(2)设，，线段的中点为，利用两点坐标表示直线斜率的公式和点差法求出直线的斜率，设的方程为，联立椭圆方程并消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理表示、进而得出弦长，利用点到直线的距离公式求出原点到的距离，结合基本不等式计算即可.【小问1详解】设，由为线段上一点，且，得，，又，则，整理可得，所以轨迹的方程为；【小问2详解】设，，线段的中点为.∵在直线上，∴，∵A，在轨迹上，∴两式相减，可得，∴，即直线的斜率为，依题意，可设直线的方程为，由可得，则解得且由韦达定理，得，∴∵原点到直线的距离为∴，当且仅当，即时等号成立，即时，三角形的面积最大，此时直线的方程为.21、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根据已知条件得，，结合离心率，即可解得答案(2)设直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案【小问1详解】由题意可得，，，∵离心率，∴，∵，∴，解得【小问2详解】由(1)知，椭圆，上焦点，设，，，，直线的方程为：，联立，得，∴，，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴为原点)面积的最大值为22、（1）（2）0【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再根据题中的条件化简整理可求解.【小问1详解】