2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价三十第三章空间向量与立体几何4.3第1课时两条直线所成的角直线与平面所成的角含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE三十两条直线所成的角、直线与平面所成的角(15分钟30分)1．设两条直线所成角为θ(θ为锐角)，则两直线方向向量的夹角与θ()A．相等 B．互补C．互余 D．相等或互补【解析】选D.两直线方向向量的夹角与θ可能相等，可能互补，取决于向量的方向．2．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30° B．45° C．60° D．90°【解析】选C.因为正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，所以AA1＝eq\r(3)，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，eq\r(3))，C(0，1，0)，D1(0，0，eq\r(3))，＝(0，1，eq\r(3))，＝(0，－1，eq\r(3))，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝＝eq\f(2,\r(4)×\r(4))＝eq\f(1,2)，又0°<θ≤90°，所以θ＝60°，所以直线AB1与CD1所成的角为60°.3．已知平面α的一个法向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\r(2)))，A∈α，P∉α，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(2)))，则直线PA与平面α所成的角为________.【解析】设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n·\o(PA,\s\up6(→)))),|n||\o(PA,\s\up6(→))|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,4)－2)),\r(0＋\f(1,4)＋2)×\r(\f(3,4)＋\f(1,4)＋2))＝eq\f(\r(3),2)，所以直线PA与平面α所成的角为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________.【解析】y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝eq\f(n·s,|n||s|)＝－eq\f(\r(2),2)，即y轴与平面α所成角的正弦值是eq\f(\r(2),2)，故其所成的角的大小是eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)5．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝eq\r(2)AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．【解析】如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝eq\r(2)，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1，0)，B(eq\r(3)，0，0)，C1(0，1，eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，\r(2))).易知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)，＝(0，2，eq\r(2))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(2))).设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有解得x＝－eq\f(\r(3),3)y，z＝－eq\r(2)y，故可取n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(6)).所以，|cos〈n，eq\o(AD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(AD,\s\up6(→))|,|n||\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(3),\r(10)×\r(3))＝eq\f(\r(10),5).由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为eq\f(\r(10),5).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与平面α所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(21),6) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(3),4)【解析】选A.cos〈a，n〉＝eq\f(a·n,|a||n|)＝eq\f(1×2＋2×1＋3×1,\r(1＋4＋9)×\r(4＋1＋1))＝eq\f(2＋2＋3,\r(14×6))＝eq\f(\r(21),6)，所以l与平面α所成角的正弦值为eq\f(\r(21),6).2．(2024·衡水高二检测)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4) C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)【解析】选C.如图所示，建立空间直角坐标系B­xyz.由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，〉＝＝eq\f(2,\r(2)×\r(8))＝eq\f(1,2)，所以异面直线EF和BC1的夹角为eq\f(π,3).3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1A.eq\f(\r(6),3) B．eq\f(2\r(6),5) C．eq\f(\r(15),5) D．eq\f(\r(10),5)【解析】选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以＝(－2，0，1).连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0).所以所求角的正弦值为|cos〈a，〉|＝＝eq\f(4,\r(8)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5).4．如图，已知两个正四棱锥P­ABCD与Q­ABCD的高分别为1和2，AB＝4.则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),9) C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(2),9)【解析】选B.由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，连接PQ，则PQ过点O，由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，1)，A(2eq\r(2)，0，0)，Q(0，0，－2)，B(0，2eq\r(2)，0)，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，0，－2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(2)，－1).于是cos〈eq\o(AQ,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AQ,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→)),|\o(AQ,\s\up6(→))||\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),9)，所以异面直线AQ与PB所成角的余弦值为eq\f(\r(3),9).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝eq\r(3)AB，则()A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为eq\f(1,2)B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为eq\f(\r(3),2)C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为eq\f(\r(3),4)D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为eq\f(\r(13),4)【解析】选BC.如图，取A1C1则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则AA1＝2eq\r(3)，所以A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2eq\r(3))，C(0，1，2eq\r(3))，B1(eq\r(3)，0，0)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，－2\r(3))).底面ABC的一个法向量为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，2\r(3)))，所以AC1与底面ABC所成角的正弦值为＝＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－12,4×2\r(3))))＝eq\f(\r(3),2)，故A错B对．设A1B1的中点为K，因为A1B1的中点K的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，所以侧面AA1B1B的一个法向量为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为＝＝eq\f(3,4×\r(3))＝eq\f(\r(3),4)，故C对D错．6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若棱长为1，点E，F分别为线段B1D1，BC1A．DB1⊥平面ACD1B．平面A1C1B∥平面ACDC．点F到平面ACD1的距离为定值eq\f(\r(3),3)D．直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值eq\f(1,3)【解析】选ABC.以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，0))，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，1))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，1))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，1))，D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，1))，设Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y，1))，设＝λ，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1，y，0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，λ，0))，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ，λ，1))，设Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，y′，z′))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝μ，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，y′，z′))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，μ，μ))，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，μ，μ)).对于A，因为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，1))，所以，所以DB1⊥AC，DB1⊥AD1.又AC，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，A正确；对于B，因为DB1⊥平面ACD1，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，1))为平面ACD1的一个法向量，因为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－1))，所以，所以DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，又A1C1，A1B⊂平面A1C1B，A1C1∩A1所以DB1⊥平面A1C1所以平面A1C1B∥平面ACD1对于C，因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，μ，μ))，所以点F到平面ACD1的距离d＝＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，为定值，C正确；对于D，因为几何体为正方体，所以AC⊥平面BB1D1D，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，0))是平面BB1D1D的一个法向量，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－λ，λ，1))，设直线AE与平面BB1D1D所成角为θ，则sinθ＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)))),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)·\r(2λ2－2λ＋2))，不是定值，D错误．三、填空题(每小题5分，共10分)7．已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝eq\r(5)，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________.【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设B(1，2，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，2)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，1))，因此eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1，1))，设平面PCO的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y，z）·（0，0，2）＝0，,（x，y，z）·（－1，2，－2）＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝0，,x＝2y，))取n＝(2，1，0)，因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos〈\o(BM,\s\up6(→))，n〉))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－3－1,\r(\f(17,4))×\r(5))))＝eq\f(8\r(85),85).答案：eq\f(8\r(85),85)8．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．则PE与BC所成的角为________；若∠APB＝∠ADB＝60°，则直线PA与平面PEH所成角的正弦值为______．【解析】以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0).(1)设C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m<0，n>0)，则D(0，m，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)，0)).可得eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(m,2)，－n))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(m，－1，0).因为eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)－eq\f(m,2)＋0＝0，所以PE⊥BC，所以它们所成的角为90°.(2)由已知条件可得m＝－eq\f(\r(3),3)，n＝1，故Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),3)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),6)，0))，P(0，0，1).设a＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·\o(HE,\s\up6(→))＝0，,a·\o(HP,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(\r(3),6)y＝0，,z＝0.))因此可以取a＝(1，eq\r(3)，0).由eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，0，－1)可得|cos〈eq\o(PA,\s\up6(→))，a〉|＝eq\f(\r(2),4)，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为eq\f(\r(2),4).答案：90°eq\f(\r(2),4)四、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD.求异面直线PB与CM所成角的余弦值的大小．【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，4))，则eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，－4))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4，－4))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，－4))，设eq\o(PM,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4λ，－4λ))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，4λ，4－4λ))，由BM⊥PD知eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0＋16λ－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－4λ))＝0，所以λ＝eq\f(1,2)，M为PD中点，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2，2))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－2，2))，cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(CM,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PB,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CM,\s\up6(→)))))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－4＋0－8,2\r(5)×2\r(3))))＝eq\f(\r(15),5).所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为eq\f(\r(15),5).10．在三棱锥A­BCD中，∠BAC＝∠BDC＝60°，平面ABC⊥平面BCD，当三棱锥A­BCD的体积取最大值时，求AB与CD所成角的余弦值．【解析】设A到平面BCD的距离为h1，D到平面ABC的距离为h2，又在三棱锥A­BCD中，平面ABC⊥平面BCD，所以VA­BCD＝eq\f(1,3)·h1·eq\f(1,2)·h2·BC＝eq\f(1,6)h1h2·BC，又因为∠BAC＝∠BDC＝60°，考虑圆的一条弦对的圆周角相等，当两边相等时顶点究竟边距离最大．由题意可知，当AB＝AC，BD＝CD时，三棱锥A­BCD的体积最大，此时，△ABC与△BDC是等边三角形，如图所示．取BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC；又平面ABC⊥平面BCD，则AO，DO，BC两两相互垂直，设O为坐标原点，OD，OC，OA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.设BC＝2a，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\r(3)a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－a，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)a，0，0))，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－a，－\r(3)a))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)a，－a，0))，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝