2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价第5章函数概念与性质5.4.1函数奇偶性的概念含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价二十五函数奇偶性的概念(15分钟35分)1.函数f(x)=QUOTE-x的图象关于 ()A.y轴对称 B.直线y=-x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)=QUOTE-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是 ()【解析】选B.A,D不是函数;C是偶函数.3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于 ()A.-26 B.-18 C.-10 D.10【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx,函数f(x)的定义域为R.因为对于随意x∈R,都有-x∈R,且g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10⇒g(-2)=18.所以g(2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.4.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,则实数a的值为 ()A.±1 B.-1 C.1 D.0【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数,所以1-a2=0.所以a=±1.当a=1时,f(x)=x2-1,在(0,+∞)上是增函数,满意条件;当a=-1时,f(x)=-x2+1,在(0,+∞)上单调递减,不满意条件.5.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+QUOTE,则f(-1)=________.

【解析】当x>0时f(x)=x2+QUOTE,所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-2.答案:-26.(2024·南京高一检测)设函数f(x)=x2-4|x|+3,(x∈[-4,4]).(1)求证:f(x)是偶函数;(2)画出函数y=|f(x)|的图象,指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(不须要证明)(3)求函数|f(x)|的值域.【解析】(1)函数的定义域关于原点对称,f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)是偶函数.(2)由f(x)=x2-4|x|+3>0得|x|>3或|x|<1,即y=|f(x)|=QUOTE则对应的图象如图:由图象知函数的增区间为[-3,-2],[-1,0],[1,2],[3,4],减区间为[-4,-3),(-2,-1),(0,1),(2,3).(3)当x=0或x=4或x=-4时,函数|f(x)|取得最大值为|f(0)|=3,函数的最小值为0,即函数|f(x)|的值域为[0,3].(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点肯定在y=f(x)图象上的是 ()A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))【解析】选B.因为f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.2.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= ()A.3 B.1 C.-1 D.-3【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.3.已知函数f(x)=ax3+bx+QUOTE+5,满意f(-3)=2,则f(3)的值为 ()A.8 B.-8 C.10 D.-10【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx+QUOTE+5,所以f(-x)=-ax3-bx-QUOTE+5,即f(x)+f(-x)=10.所以f(-3)+f(3)=10,又f(-3)=2,所以f(3)=8.4.(多选题)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为 ()A.y=-x B.y=-x2C.y=QUOTE D.y=-x|x|【解析】选AD.A项,函数y=-x既是奇函数又是减函数;B项,y=-x2是偶函数,故B项错误;C项,函数y=QUOTE是奇函数,但是y=QUOTE在(-∞,0)或(0,+∞)上是减函数,在定义域上不具有单调性,故C项错误;D项,函数y=-x|x|可化为y=QUOTE其图象如图:故y=-x|x|既是奇函数又是减函数,故D项正确.【光速解题】分别推断4个选择项的奇偶性,解除B,再推断A、C、D的单调性,解除C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+mx+1,若f(2)=3f(-1),则m=________.

【解析】因为x>0时,f(x)=x2+mx+1,所以f(2)=5+2m,f(1)=2+m,又f(-1)=-f(1)=-2-m,所以5+2m=3(-2-m),所以m=-QUOTE.答案:-QUOTE6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=________,f(0)=________.

【解析】由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0.答案:-50三、解答题7.(10分)(2024·南京高一检测)已知函数f(x)=x+QUOTE(a∈R,x≠0).(1)探讨f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)依据题意,对于函数f(x)=x+QUOTE,若a=0,则f(x)=x,易得f(x)为奇函数,若a≠0,则f(x)=x+QUOTE,其定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x+QUOTE,有f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),f(x)为非奇非偶函数;(2)依据题意,当x≥1,则有f(x)=x+QUOTE,设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=QUOTE-Q