黑龙江省大庆市实验中学实验二部高三下学期5月月考试题数学

黑龙江省大庆市实验中学实验二部20232024学年高三下学期阶段考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．2．如图，在三棱柱中，E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（）A．E，F，G，H四点共面 B． C．三线共点 D．3．二项式的二项式系数和为256，将其展开式中所有项重新排成一列，有理项不相邻的排法种数为（）A． B． C． D．4．已知函数的部分图象如图所示，，则（）A．4 B． C． D．5．设，将的图像向右平移个单位，得到的图像，设，，则的最大值为（）A． B． C． D．6．已知直线与曲线有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线的方向向量的坐标是（）．A． B． C． D．7．已知，则（）A． B． C． D．8．设无穷等差数列的公差为，集合．则（）A．当且仅当时，只有1个元素 B．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为C．当时，可能有4个子集D．当时，最多有个元素，且这个元素的和可能不为0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的存（）A．服从，若，则；B．，则与互斥C．已知，若A，B互斥，则D．可能成立10．如图，平面为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为，点为平面内的动点，则（）A．以为球心，半径为2的球面在平两上的截痕长为B．若到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线C．若到直线MN的距离为1，则的最大值为D．满足的点的轨迹是椭圆11．在平面内有三个互不相交的圆，三个圆的半径互不相等．三个圆的方程分别为．其中圆与圆的公切线相交于点，圆与圆的公切线相交于点，圆与圆的公切线相交于点表示直线AB的斜率，表示直线AC的斜率，表示直线BC的斜率．下列说法正确的是（）A．存在，使得B．对任意，使得C．存在点到三个圆的公切线长相等D．直线上存在到与的切线长不相等的点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设全集，集合，则______.13．已知曲线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为______.14．若实数a，b分别是方程的根，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥中，平面，为BC中点，点在棱PB上（不包括端点）（1）证明：平面平面PAD；（2）若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.16．（15分）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且；（1）求的大小；（2）求面积的最小值；17．（15分）设点是抛物线外一点，过点向拋物线引两条切线TM，TN，切点分别为M，N，焦点，（1）若点的坐标为，证明：以TM为直径的圆过焦点；（2）若点的坐标为，证明：．18．（17分）在平面直角坐标系xOy中有一个点阵，点阵中所有点的集合为，从集全中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之问的距离．（1）当时，求的分布列及期望．（2）对给定的正整数．（ⅰ）求随机变量的所有可能取值的个数：（用含有的式子表示）（ⅱ）求概率．（用含有的式子表示）19．（17分）（1）若求的取值范围；（2）证明：（3）估计的值．（保留小数点后3位）己知，

大庆实验中学2024年高三下学期阶段考试数学参考答案一、选择题序号1234567891011答案ADCBBCCCACDBCBC二、12． 13． 14．2三、解答题15．（1）证明：连接AC，如图所示，平面，，，即，又为BC中点，则，且，四边形AECD为正方形，，平面平面，又平面平面PAD，又平面平面平面PAD.（2）在中，E，F分别为BC，PB中点，，又平面平面平面PCD，点到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离，（方法一），以为原点，AE，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，设是平面PCD的法向量，取，则是平面PCD的一个法向量，点到平面PCD的距离为，即直线EF到平面PCD的距离为．（方法二）连接ED、PE，如图所示，为等腰直角三角形，，又平面是三棱锥的高，，，，，设到平面PCD距离为，则，，即EF到平面PCD的距离为．16．（1）记，则．（1）解法一：，正方形的边长为，在Rt中，，由，则，．解法二：．设，则．在Rt中，，即，.，．当时，面积的最小值为．17．证明：首先获得抛物线外一点做此抛物线的切点弦所在直线方程为（1）若点的坐标为，则切点弦方程为连接TF，易得，则，故以TM为直径的圆过焦点.（2）证明：若点T的坐标为，则切点弦方程为联立直线与抛物线方程得，解得，不妨设点，点，则直线MF为，则点到直线MF的距离为同理点到直线NF的距离为，因此，所以18．（1）当时，集合中共有4个点，则的所有可能取值为．所以，所以的分布列为1（2）（ⅰ）由题意得，集合M中任取两个不同的点之间的不同距离的总数可以转化成边长为的正方形边界上任取两个不同的点之间的不同距离的个数的总和，在边长为1的正方形中，有2个不同的距离，在边长为2的正方形中，有3个不同的距离，在边长为的正方形中，有个不同的距离，由各正方形大小不同，距离大小各不相同，得的所有可能取值的个数为．（ⅱ）由对立事件，不妨考虑的情况，①当时，取出的两点为边长为的正方形的顶点，此时，这种正方形共有4个，每个正方形中距离等于的情形有2种，所以，事件包含的样本点个数为；②当时，不妨设且，由，得，因为，所以，所以，即，a）当，即时，取出的两点为边长分别为的矩形的顶点，此时，这种矩形共有6个，每个矩形中距离等于的情形有2种，所以，事件包含的样本点个数为；b）当，即时，取出的两点为边长分别为的矩形的顶点，此时，这种矩形共有4个，每个矩形中距离等于的情形有2种，所以，事件包含的样本点个数为；c）当，即时，取出的两点为边长为的正方形的顶点，此时，这种正方形共有1个，每个正方形中距离等于的情形有2种，所以，事件包含的样本点个数为；由题知样本空间包含的所有样本点的个数为，所以由古典概