15解直角三角形（A卷基础巩固）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

1.5解直角三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．（2021·大连市九年级月考）在中，，则的值为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】根据三角函数值确定BC和AB的关系，再利用勾股定理求解即可．【详解】∵，∴，即，∵∴，，解得，（负值舍去），故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形边之间的关系．2．（2021·杭州市九年级二模）如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B，∠C所对的边分别为4，3，5，所以sinB=，即3=5sinB，因此选项A不符合题意，选项B符合题意，tanB=，即3=4tanB，因此选项C不符合题意，选项D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键．3．（2021·江苏扬州市九年级月考）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；D不能表示tanB；故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．4．如图，在中，，，是的平分线，交于点，若，则的长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用是的平分线，求出，得出，再计算的长即可．【详解】解：在中，，，，是的平分线，，，在中，，在中，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，属于简单题．′5．（2021·广东九年级三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】取格点D，连接，根据，求解即可.【详解】如图，取格点D，连接，在中，．故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．（2021·甘肃兰州市中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（）A．4 B．3 C． D．2【答案】A【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得，进而根据，可得，进而可得,根据，，，即可求得．【详解】四边形是菱形，,，，是等边三角形，，，，，，，，即，，．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．7．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为，在A点测得D点的仰角为，在B点测得D点的仰角为，则乙建筑物的高度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．【详解】如图，过点A作于点F，在中，，，∴，在中，，∴，∴，即乙建筑物的高度为．故答案选：B．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．8．（2021·浙江九年级月考）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，得BD=CD，∠BCD=45°，求出∠ACD=30°，由直角三角形的性质得AD=AC=3，BD=CD=AD=3，即可得出答案．【详解】解：作CD⊥AB于D，如图所示：则∠BDC=∠ADC=90°，∵∠B=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，∠BCD=45°，∵∠ACB=75°，∴∠ACD=∠ACB∠BCD=30°，∴AD=AC=×6=3，CD==3，∴BD=CD=3，∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．二、填空题9．在中，，（1）已知：，则__，___，________；（2）已知：，则_______，_______；（3）已知：，则______，_______，________；（4）已知：，则_______．【答案】45°45°681260°45°【分析】（1）先利用勾股定理求出a，然后分别求出sinA，sinB即可得到答案；（2）根据，，先求出b，然后求出a即可；（3）根据，，即可得到，，，由此求解即可；（4）根据，得到，即，即可求解.【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，，，∴，，，∴∠A=45°，∠B=45°，故答案为：45°，45°，；（2）∵，，∴，∴，故答案为：6，8；（3）∵，，∴，，，∠A=60°∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：12，，60°；（4）∵，∴，∴，∴∠A=45°，故答案为：45°.【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．在中，边上的高，则__________．【答案】【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解．【详解】解：如图，∵AD⊥BC，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键．11．（2021·北京市九年级开学考试）在中，，，，那么__________．【答案】【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，再根据三角函数的定义求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，∴cosA=，故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，要熟练掌握余弦的定义．12．如图，在梯形中，，，则下底的长为________．【答案】8【分析】平移一条腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．【详解】如图，作交于点E，则四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：8．【点睛】本题考查与梯形有关的问题，平移一条腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四边形的性质和三角形的性质进行分析．13．如图，在中，，则的面积为_______．【答案】30【分析】如图，过点B作，交于点D，由题意可得，设，则，再在中运用勾股定理求得x，进而求得CD=x，然后在中运用勾股定理求得x，再求得BD、AC的长，最后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点B作，交于点D，在中，，设，则，在中，，∴，在中，，即，解得（负值舍去），∴，∴．故填30．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形以及根据勾股定理列方程求解成为解答本题的关键．14．（2021·贵阳市九年级月考）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为___________．【答案】8【分析】根据∠ABC=60°，及△ACD为等边三角形，可得AC=CD，可以导出∠CAB=∠DCE，进而构造全等三角形，将线段AB一分为二，分别求出两段的长度，进而求出BC的长度【详解】解：∵∠ABC=60°，

∴∠CAB+∠ACB=120°．

∵△ACD为等边三角形，

∴AC=CD，∠ACD=60°．

∴∠ACB+∠DCE=120°．

∴∠CAB=∠DCE．

过点C作CP⊥AB于点P，

∴∠APC=90°．

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°．

在△DCE和△CAP中，∴△DCE≌△CAP（AAS）．

∴CE=AP=2．

∵AB=6，

∴BP=4．

在Rt△BPC中，∠B=60°，

∴BC=2BP=8．

故答案为：8．【点睛】本题考查的是等边三角形的综合应用，利用已知构造全等，灵活运用勾股定理以及含有特殊角度的直角三角形的性质求解，是本题的解题的关键．三、解答题15．在中，，所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到）；（1）已知；（2）已知；（3）已知．【答案】（1），，；（2），，；（3），，【分析】（1）先根据勾股定理求出c，然后求出∠A的三角函数值，从而得出角度即可；（2）先利用三角函数值求出a，c，然后根据直角三角形两锐角互余得出角度即可；（3）先利用三角函数值求出a，b，然后根据直角三角形两锐角互余得出角度即可．【详解】解：（1）由题意，c为斜边，则，∴，则，∴，∴，，；（2）∵，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，；（3）∵，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的基本性质，理解锐角三角函数的基本定义是解题关键．16．（2021·北京市九年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．【答案】BC＝．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠A＝105°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．∴∠DAC═∠C＝45°．∵sinC，∴AD．∴AD＝CD．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵AD，∴AB＝2．∴由勾股定理得：BD．∴BC＝BD+CD．【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．（2021·杭州市九年级开学考试）如图，，，于点E，于点F．（1）求证：；（2）已知，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据平行线性质得∠ABC=∠BCD，即可求证△ABC∽△BCD；（2）设BC=k，则AC=2k，根据勾股定理可求得AB，再根据△ABC∽△BCD得对应边比值相等即可解题．【详解】（1）∵，∴，又∵∴；（2）∵∴可设，则，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵于点E，于点F，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．18．（2021·深圳市九年级模拟预测）如图，在平行四边形中，点为中点，连接并延长交延长线于点，连接、，若，（1）求证：四边形为矩形．（2）在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，求．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得CP＝BD，BPCD，BP＝CD，证△AOB≌△COD（AAS），得AB＝CD，证出四边形ABCD是平行四边形，再证出AC＝BD，即可得出结论；（2）由矩形的性质得OA＝OB，由勾股定理得AC＝15，则OA＝，作OG⊥AB于G，证出OG是△ABD的中位线，得GOAD，GO＝AD＝6，再求出EG，根据正切的定义即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形BPCD是平行四边形，∴CP＝BD，BPCD，BP＝CD，∴∠OAB＝∠OCD，ABCD，∵点O为BD中点，∴OB＝OD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∵ABCD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝CP，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴OA＝OB，AC＝＝15，∴OA＝，作OG⊥AB于G，如图所示：则AG＝BG＝=，∴OG是△ABD的中位线，∴GOAD，GO＝AD＝6，∵AE＝3，∴GE＝AE＋AG＝3＋＝，∵GOAD∴∴=．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形的中位线是解题的关键．19．（2021·珠海市斗门区九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM为△ABC的角平分线，将线段BM绕点B顺时针方向旋转使点M刚好落在AM的延长线上的点N处，此时作ND⊥BC于点D．（1）求证：∠ABN＝90°；（2）求证：CM＝BD；（3）若，AB＝10，求线段BN的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；