寒假作业12三角形中的倒角模型（16道经典题型4道中考真题）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业12三角形中的倒角模型近年来各地中考和模拟考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）.本节就三角形中的倒角模型（“8”字模型、“A”字模型、燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型、高分线模型、双垂直模型、双角平分线等）进行专项训练，方便同学们熟练掌握.1．如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是边上的高，∴，∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，故选A．2．如图，将沿着DE翻折，使B点与B'点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解析】由折叠的性质可知，∵，∴，∴.故选C.3．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在四边形中，，∴，由题意可得：平分，平分，∴，，∴，∴.故选C．4．如图，在中，，平分，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵中，，∴设，则，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故选B．5．如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．【答案】5【解析】由角度分析易知，即，∵，∴，∵，∴.6．如图，∠ABD的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∠A=80°，则∠E的度数是_____.【答案】40°【解析】设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，则有，①2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．7．如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为．【答案】11【解析】∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝BM，EN＝CN，∵BM＋CN＝11，∴EM＋EN＝11，即MN＝11，答案为：11．8．如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．【解析】（1）对于题图1，在中，，在中，，∵，∴.（2）①∵和的平分线和相交于点P，∴，∵，，∴两式相减得：，即，∵，∴.②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案为：．9．利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF=∠A+∠B+∠C.应用上面模型解决问题：(1)如图（2），“五角星”形，求的度数.分析：图中是“A”型图，于是，所以=

___.(2)如图（3），“七角星”形，求的度数.(3)如图（4），“八角星”形，可以求得=______.【解析】（1）如图，由三角形外角的性质可得，，∵，∴，∵，∴，故答案为：180°.（2）如图，∵，∴．（3）如图，由三角形外角的性质可得，，，，，，故答案为：360°．10．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则．【答案】61°【解析】∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．11．如图，在中，，分别是的高和角平分线．(1)若，，求的度数；(2)若，，且，请直接写出与，的关系．【解析】（1），，，是的平分线，，是的高，，，，.（2），理由是：，，是的平分线，，是的高，，，．12．已知，如图，在中，，，分别在边，上，，相交于点．(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：______，结论：______．（填序号）证明：(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）【解析】（1）条件：①②，结论：③.证明：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．条件：①③，结论：②.证明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分线.条件：②③，结论：①.证明：∵是的角平分线，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴.（2）∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴．13.在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值．【解析】（1）如图1，过A作于E，∵点D是边上的中点，∴，∴.故答案为：.（2）如图2，过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴，∵，，∴.（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴.14．请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，如图1，且∠ADB=∠A＋∠B＋∠C.理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，......大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是___________；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．【解析】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）（2）如图，连接CD，并延长至F，∵∠1和∠3分别是和的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB.（3）由（2）得∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°∠C，∠CAD+∠CBD=150°∠C，∵AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°∠C=2（110°∠C），解得∠C=70°．15．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．（1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．【解析】（1）在“对顶三角形”与中，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）由题意知比大20°，+=+，设=x，=y，则=x+20°，=y20°，∵，∴∠ABC+∠ACB=180°∠A=180°=x+y，∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=x+yx20°=y20°，∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；（3）∵，是的角平分线，∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°，∵和的平分线和相交于点P，∴∠CEP=(180°2yx)，∠CDP=(180°2xy)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，∴∠P=(180°2yx)+y(180°2xy)=x+y=45°，即：∠P=45°．16．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴，，∴，∴.（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．【解析】（1）探究2的结论：∠BOC=.理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，，∵∠ACD是△ABC的一个外角，，，∵∠2是△BOC的一个外角，.（2）探究3的结论：∠BOC=90°－.∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，∴，∵∠DBC=2∠OBC=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ABC+∠A，两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ACB+∠ABC+2∠A，即，∴，整理得：∠BOC=90°－.（3）拓展结论：.∵BO和CO分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，∴，∴∠OBC+∠OCB，在△BOC中，，∴，∴.（4）运用：∵CP和DP分别是∠DCF和∠GDC的角平分线，∴，∴，∴，∵，∴.在△CPD中，.故答案为：95.17．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，

∵，∴，∵，∴，由题意知，，∴，∴，即旋转角的度数是．故选C．18．（2021·河北·中考真题）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少，10【解析】∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度.故答案为：减少，10．19．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．【答案】或或【解析】由折叠的性质知，，当时，，

由三角形的外角性质得，即，此情况不存在；如图1，当时，，，由三角形的外角性质得，解得；图1如图2，当时，，∴，由三角形的外角性质得，解得；图2如图3，当时，，∴，∴.图3综上，的度数为或或．故答案为：或或．20．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三