专题：与绝对值有关的九种常见题型（解析版）

与绝对值有关的九种常见题型题型01绝对值的定义在找规律中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算：．【答案】2【分析】此题主要考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．【详解】解：，故答案为：25【例1-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知：，…照此规律(1)______；(2)计算：；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据绝对值计算解答即可；（2）根据绝对值计算解答即可；（3）根据绝对值计算解答即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题主要考查了有理数的减法以及绝对值的定义．熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键【例1-3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：；；；．(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①________；②________．(2)用简单的方法计算：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】（1）解：①∵，∴；②∵，∴；故答案为：；；（2）解：，．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）①正数：，；②负数：，；③零：；（2）根据（1）中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是数．【答案】5127150非负【分析】（1）①根据绝对值的定义求解即可；②根据绝对值的定义求解即可；③根据绝对值的定义求解即可；（2）由绝对值表示数轴上的某点到原点的距离可得答案．【详解】解（1）①正数：5，12；②负数：7，15；③零：0；（2）根据（1）中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是非负数．故答案为：（1）①5；12；②7；15；③0；（2）非负【点睛】本题考查的是求解一个数的绝对值，绝对值的非负性的含义，理解绝对值的非负性是解本题的关键．【变式1-2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题：(1)有最______值______；有最______值______；(2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值；(3)若，求的值．【答案】(1)小,,大,(2)当时,有最小值(3)【分析】(1)根据有最小值为,有最大值为进去求解；(2)根据当时有最小值为进行求解；(3)先由题意得,确定出，的值，再代入计算.【详解】（1）∵有最小值为,有最大值为,∴有最小值,有最大值,故答案为:小,,大,；（2）∵当,即时,有最小值，∴当时,有最小值；（3）由题意得,,∴且,解得,.【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，关键是能准确理解并运用绝对值的非负性进行求解【变式1-3】（七年级上·湖南永州·期末）（1）填空：①正数：，；②负数：，；③零：；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是数，即（3）请认真阅读下列材料，求的最小值解：，当，即时，的最小值是2解答下列问题①求的最小值；

②有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a的值【答案】（1）①，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a=5【分析】（1）根据绝对值的意义即可得出答案；（2）分析（1）中的结论，即可得到（2）中的答案；（3）①要使有最小值，则需使x最小，结合（2）中结论有，可得出时，最小，即可得出答案；②由，得出当时，原式有最大值，求出a的值，代入即可得出答案．【详解】解：（1）①正数：，8；②负数：0.7，12；③零：0；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即；（3）①当即时∴有最小值是2020②有最大值．当，即a=5时有最大值25，此时a=5．【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

题型02绝对值在比较大小中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）下列比较大小正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了有理数的大小比较，A，B先化简，再比较，C，D直接根据两个负数绝对值大的反而小比较．【详解】解：A．∵，∴，故不正确；B．∵，∴，故正确；C．∵，∴，故不正确；D．∵，∴，故不正确；故选B【例2-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）比较大小：（填“>”“<”或“”）．【答案】<【分析】本题主要考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：<【例2-3】（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．比较a、b、c、-a、、的大小，用“<”连接起来；【答案】【分析】本题考查数轴、有理数的大小比较、绝对值的化简，根据数轴可得，，再进行大小比较即可；【详解】解：由数轴可得，，，∴．【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列四组有理数的大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较；根据绝对值和有理数的乘方法则进行计算，再比较大小即可．【详解】解：A.因为，，所以，错误；B.，错误；C.因为，，所以，错误；D.因为，所以，正确；故选：D【变式2-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）比较大小：（填“＞”或“＜”）【答案】＜【分析】本题考查了有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据两个负数比较大小，绝对值打的反而小，据此作答即可．【详解】，∵，∴，即，故答案为：＜．【变式2-3】（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）请在数轴上表示出有理数，，，所在的点，并用“＞”比较它们的大小．【答案】，数轴表示数见详解．【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先化简，再在数轴上把各个数表示出来，再比较即可．【详解】解：，在数轴上表示如下：因此它们的大小如下：

题型03绝对值的非负性再求字母取值范围中的应用【典例分析】【例3-1】（七年级上·广东广州·期中）若，则a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的代数意义或绝对值的非负性解题．【详解】解：【方法1】正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，由此可知，当时，，即．选B．【方法2】任何数的绝对值都是非负数，即．∵，∴，即．故选B．【点睛】绝对值的非负性是指在中，无论a是正数、负数或者0，都是非负数（正数或0）．这样的非负数我们在后面的学习中会陆续接触到．绝对值的非负性主要应用在解决“若几个非负数的和为零，则这几个非负数都是0”等问题上【例3-2】（22-23七年级上·吉林长春·期末）若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由绝对值的非负性可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查的是绝对值的非负性的含义，绝对值的化简，掌握“”是解本题的关键【例3-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）已知，则的取值范围为.【答案】/【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于掌握绝对值的非负性．根据绝对值的非负性即可解答．【详解】故答案为：【变式演练】【变式3-1】（七年级上·江苏扬州·期中）如果，那么m的取值范围是（

）A． B． C．m≥3 D．【答案】A【分析】根据绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵，是非负数，∴是非负数，∴，故选：A．【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，解题关键是明确绝对值的非负性【变式3-2】（20-21七年级上·天津南开·阶段练习）如果，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，进行解答即可得．【详解】解：∵∴，∴，故选B．【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的非负性【变式3-3】（七年级上·全国·课后作业）若，则x的取值范围是；若，则x的取值范围是.【答案】【分析】根据绝对值的求法以及分式进行计算，即可得到答案.【详解】因为，所以x的取值范围是；因为，则，且，所以.【点睛】本题考查绝对值和分式，解题的关键是掌握绝对值的求法.

题型04绝对值的几何意义再求字母值中的应用【典例分析】【例4-1】（23-24七年级上·四川眉山·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得．【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和，由数轴可知，当取最小值时，，则所有满足条件的整数的和为，故选：C【例4-2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：若的最小值是，则为．【答案】或/8或-2【分析】根据数轴上两点之间的距离的计算方法，分类讨论，图形结合分析即可求解．【详解】解：∵代数式的几何意义是“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”，∴的几何意义是“数轴上所对应的点与-a所对应的点之间的距离”与“数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离”之和为，如图所示，

∴当所对应的点在点左边时，，解得，a=-2；当所对应的点在点右边时，，解得，；∴的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，掌握以上计算方法，图形结合分析是解题的关键．【例4-3】（23-24七年级上·山西晋城·期中）阅读下列材料，完成后面任务：我们知道x的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即x=x-0，也可以说，x表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为x1-x2表示数轴上数例1：已知x=2，求的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以的值为或2．例2：已知x-1=2，求的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以的值为3或．任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．(1)．(2)．【答案】(1)或8(2)8或【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程；（1）根据x可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得；（2）可表示数轴上x表示的点与2对应的点的距离，据此求解可得．理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键．【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为8的点表示的数为和8，∴x的值为或8．（2）解：在数轴上与2对应的点的距离为6的点表示的数为8和，∴x的值为8或【变式演练】【变式4-1】（23-24七年级上·四川眉山·期中）问题背景数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起—一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则AB之间的距离可表示为．问题探究（1）若，则．（2）若，则．【答案】4或2或5【分析】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义．（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可；（2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可．【详解】解：（1）∵；∴或；解得：或；故答案为：4或2．（2）当时，；化简得：，解得；当时，；化简得：，此方程无解；当时，；化简得：，解得；∴或；故答案为或5【变式4-2】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为．(1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；(2)利用数轴探究：①的最小值是______；②求的最小值以及此时的值．【答案】(1)①；②最小值为，【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义．（1）分别表示，，即可求解；（2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离；②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离．【详解】（1）解：，，点到点的距离与点到点的距离之和为，故答案为：；（2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，的最小值是，故答案为：；②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，在时取最小值，最小值为．【变式4-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）我们知道，|a|可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A用数a表示，则①若，那么a的值是_________．②当_________时，有最小值，最小值是_________；③有最小值，最小值是_________；【答案】(1)5，2(2)①或；②，0；③；④【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得；（2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的意义可得；③的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短即可求得答案；【详解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是，数轴上表示数-1的点和表示数的点之间的距离是，故答案为：5，2；（2）数轴上点A用数a表示，①若，则或，∴或，故答案为：或；②∵表示数轴上到表示点a的数的点和表示的点的距离，∴当时，有最小值，最小值是0；故答案为：，0③∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短可知：当时，有最小值，最小值为，故答案为；【点睛】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键

题型05绝对值在数轴中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24七年级上·云南楚雄·期末）若数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系式：①|a|>|b|；②；③；④；⑤．其中正确的有（）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】本题考查了数轴，有理数的加减，绝对值，数轴上数的大小比较．由数轴得，，|a|>|b|，进而得出，再根据有理数的加减法则判断即可．【详解】解：由数轴得，，|a|>|b|，①正确；②，正确；③，正确；④，正确；⑤，正确．其中正确的有5个，故选：A．【例5-2】（23-24七年级上·山西临汾·期末）已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则．【答案】【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先根据数轴上点的位置得到，进而得到，据此化简绝对值即可得到答案．【详解】解：由数轴上点的位置可知，∴，∴，故答案为；【例5-3】．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、、，其中，且．(1)则的长为________；(2)若点对应的数是2，点、、所对应的数分别为、、，求的值．【答案】(1)2(2)2【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是计算出线段的长度．（1）根据已知条件可以直接求出．（2）根据已知条件得出A、B、C、D之间的距离为2，因为点C对应的数是2，得出其他各点表示的数，代入计算即可．【详解】（1）解：2（2）因为，，所以．若点对应的数是2，则a=-2，，d=4，

【变式演练】【变式5-1】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，数轴上的三个点表示的数分别是，且，则下列结论：；；a+c<0；．其中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了数轴的特征和应用，绝对值的含义和求法，中点定义，根据a=b可得，b>0，与互为相反数，即可判断，由，得点表示的数为或，即或，即可判断，熟练掌握用数轴表示数的方法及数轴上点的特点是解题的关键．【详解】解：∵a=∴由数轴可知，，b>0，与互为相反数，∴，，故错误，正确；∵，∴点表示的数为或，即或，∴，故错误；，故正确；综上可知，正确，故选：【变式5-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简．【答案】【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，通过数轴上数的大小去绝对值，整式的加减运算，熟悉掌握数轴的定义是解决本题的关键．由数轴可得，并从数轴上可得出，，绝对值的大小，从而可以得出各项式子的正负，去绝对值可得出答案．【详解】解：由数轴得，，且，∴a+c<0，，，．故答案为：【变式5-3】（22-23七年级上·河南洛阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．那么在数轴上表示、两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：(1)在数轴上，如果表示的是，表示的是2，则两点之间的距离为______．(2)数轴上表示和1两点之间的距离为______．表示和两点之间的距离为______．(3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0．【答案】(1)8(2)，(3)＞；＜；＞【分析】（1）求两个数的差的绝对值即可；（2）利用绝对值的定义，再根据数轴上两点的距离解答即可；（3）根据、、在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再判断出各式的符号即可．【详解】（1）如果表示的是，表示的是2，则两点之间的距离为．故答案为：；（2）和1两点之间的距离为，和两点之间的距离为．故答案为：，；（3）由题意可知，，，∴c-b>0，a-b<0，．故答案为：＞，＜，＞．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键

题型06绝对值的非负性在求值中的应用【典例分析】【例6-1】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键．【详解】解：∵，，∴∴∴a+b=1故选：A【例6-2】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知，求的值为．【答案】【分析】本题考查绝对值的非负性，代入求值，先根据绝对值得非负性求出，的值，然后代入解题即可．【详解】解：由题可得：，解得，∴，故答案为：【例6-3】（22-23七年级下·广东河源）已知：，求的值．【答案】8【分析】由，根据非负数的性质，可求得a与b的值，然后代入a与b的值即可得答案．【详解】解：∵，∴，解得，∴当时，原式，即的值是8．【点睛】此题考查了非负数的性质，此题比较简单，关键是求得a与b的值．【变式演练】【变式6-1】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）若，则的值是（

）A．−1 B．1 C．−2023 D．2023【答案】A【分析】本题考查绝对值平方得非负性，代数式求值．根据题意计算出，再代入代数式即可得到本题答案．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，故选：A【变式6-2】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）若与互为相反数，求的值为．【答案】【分析】根据相反数的定义以及绝对值、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，而∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查相反数，绝对值以及偶次方的非负性，掌握绝对值、偶次方的非负性是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键【变式6-3】（21-22七年级上·广西柳州·期中）若，求的值【答案】1【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后代入计算即可．【详解】解：由|a+2|+（b﹣3）2＝0，得a+2＝0，b﹣3＝0．解得a＝﹣2，b＝3．（a+b）2021＝12021＝1．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和乘方运算，熟练掌握非负数的性质是解题的关键

题型07绝对值的非负性在化简中的应用【典例分析】【例7-1】（21-22七年级上·安徽安庆·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简2|a+b|+|b﹣a|＝．【答案】﹣3a﹣b/-b-3a【分析】根据绝对值都是非负数，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：从数轴可以看出，，且a>b，∴，，∴原式＝﹣2（a+b）+b﹣a＝﹣2a﹣2b+b﹣a＝﹣3a﹣b，故答案为：﹣3a﹣b．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题关键【例7-2】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：

(1)求a、b、c的值．(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在AB之间运动时（即时），请化简式子：．【答案】(1)a的值为，的值为1，的值为5；(2)【分析】本题考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键．（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解；（2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算．【详解】（1）解：是最小的正整数，，，，a+b=0，，，的值为，的值为1，的值为5；（2）解：，，，，【例7-3】（22-23七年级上·四川南充·期中）已知：b最小的正整数且a、b满足，试回答问题．(1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______．(2)a、b、c对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）．

【答案】(1)，1，5(2)10或【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据x的范围，确定，，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简．【详解】（1）∵b是最小的正整数，∴．∵∴，∴，，c=5；（2）∵，∴，，当时，，当时，，∴当时，；当时．综上所述，的值为10或．【点睛】本题考查了数轴与绝对值：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数；③当a是零时，a的绝对值是零【变式演练】【变式7-1】（21-22七年级上·湖北随州·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足．（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：．（写出化简过程）【答案】（1），，c=5；（2）当时，；当时，．【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性计算即可；（2）根据绝对值的性质化简即可；【详解】（1）∵b是最小的正整数，∴∵，∴，a+b=0，∴c=5，；（2）当时，，，x+3>0，∴，，，；当时，，，x+3>0，∴，，，；【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式加减运算，准确计算是解题的关键【变式7-2】（23-24七年级上·湖北孝感·期中）已知是最小的正整数，且满足．(1)填空：_________，_________，_________；(2)数在数轴上对应的点分别是，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在1到2之间运动时（即），请化简式子：；(3)在（2）的条件下，点在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若在运动过程中的值保持不变，求的值．【答案】(1)，1，5(2)(3)【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点，化简绝对值，（1）根据最小的正整数、绝对值和平方的非负性质即可得到结论；（2）根据x的取值范围，去绝对值进行计算即可得；（3）首先求出A，B，C所在位置，然后计算出BC和AB，即可得到结论．【详解】（1）解：∵是最小的正整数，∴，∵，∴a+b=0，，解得．（2）∵，∴，∴原式，，，，．（3）由题意知：秒后对应的数分别为．所以，．，，．∵的值不变，∴．解得【变式7-3】（22-23七年级上·全国·单元测试）已知是最大的负整数，且，，满足，试回答问题：(1)请直接写出，，的值；(2)若在数轴上所对应的点为，点为数轴上一动点，其对应的数为，点在原点到点之间运动时（包括原点和点），请化简式子：．【答案】(1)；(2)8【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出a，b，c的值；（2）利用绝对值的性质化简得出答案．【详解】（1）解：∵b是最大的负整数，，∴；（2）解：由题意得，∴，∴．【点睛】此题主要考查了绝对值，正确利用绝对值的性质化简是解题关键．

题型08绝对值的非负性在求最值中的应用【典例分析】【例8-1】（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可.【详解】解：∵，∴，∴．当时，取，，则且，满足题目条件，故所求n的最小值为20．故选B【例8-2】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当时，|a-1|的值最小，最小值为．【答案】10【分析】本题考查绝对值的意义．由绝对值的意义可知，即说明当时，|a-1|的值最小，据此即可求解．【详解】解：∵，∴当时，|a-1|的值最小，∴，|a-1|的最小值为．故答案为：1，0．【例8-3】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）式子有没有最小值，如果有，请你求出这个最小值和的值，如果没有，请你说明理由．【答案】当时，有最小值．【分析】根据绝对值的非负性即可求解．【详解】解：∵，∴，∴当时，有最小值．【点睛】此题考查了绝对值的知识，解题的关键理解任何数的绝对值都是非负数【变式演练】【变式8-1】（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可求解．【详解】解：∵a是有理数∴可为正数、负数、零由绝对值的非负性可知：∴即：的最小值是故选：C【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可【变式8-2】（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）已知，则的最大值为.【答案】【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，根据绝对值的意义可得，得出，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值为，故答案为：【变式8-3】（23-24七年级上·广东广州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，并且的立方等于它本身．(1)试求值；(2)若，且，，试求的值．(3)若，则的最小值为．【答案】(1)(2)(3)2024【分析】（1）根据题意得a+b=0，进而有即可求得答案；（2）根据和之间的关系求得2a-3b、和的正负，求得代入代数式即可求得．（3）根据条件求出m的值，代入即可转化为三个绝对值求最值，利用绝对值的意义即可求得．【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，，，∴，．（2），a+b=0，，∴，，的立方等于它本身，∴，∵，，∴，，，∴．（3）∵，∴，无论还是都有，根据绝对值的意义为x到、和的距离之和，只有可以取得最小值，则．故最小值为2024．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、绝对值性质及其意义、相反数和倒数的定义，解题的关键是绝对值的正负和到特定点之间的距离

题型09绝对值在实际问题中的应用【典例分析】【例9-1】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则最接近标准质量的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答．【详解】解：依题意，得，，，∵，∴最接近标准质量的是“”，故选：C．【例9-2】（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）装牛奶的标准质量为克，现抽取袋进行检测，超过标准的质量记为正数，不足的记为负数，结果如下表所示：（单位：克）．其中，质量最标准的是号（填写序号）袋号①②③④⑤质量+3【答案】④【分析】找出