2024八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边关系上课课件新版华东师大版

14.1勾股定理第1课时

直角三角形三边关系第14章

勾股定理1、掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法；2、通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.

1955年希腊发行的一枚纪念邮票.

这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.

观察这枚邮票上的图案，数数图案中各正方形中小方格的个数，你有什么猜想？知识点一

直角三角形三边的关系（图中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面积是

平方厘米；（2）正方形Q的面积是

平方厘米；（3）正方形R的面积是

平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2上面三个正方形的面积之间有什么关系？观察正方形瓷砖铺成的地面.

这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方

那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?想一想填一填.观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.A的面积B的面积C的面积左图右图4

？怎样计算正方形C的面积呢？9

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直角三角形三边关系的证明方法：方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.SA+SB=SC猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？ABCacba2+b2=c2由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，abc这种关系我们称为勾股定理.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.概念总结思考：怎样证明勾股定理？左图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.大正方形的面积=c2.四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和=.即a2+b2=c2.做一做用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.证明：大正方形的面积=(a+b)2.四个个全等的直角三角形和小正方形的面积之和=.由题可知(a+b)2=2ab+c2，化简可得a2+b2=c2.我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.典例精析【例1】求出下列直角三角形中未知边的长度.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2x2=100x2=62+82∵x>0，

y2+52=132

y2=132-52y2=144∴y=12.(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得:AC2+BC2=AB2∵y>0，A68xCB5y13CAB∴x=10.(1)(2)练一练（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是________.131510或2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．c2＝a2＋b2C3.如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.

勾股图中的面积关系:

以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图.对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2.与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.1.求下列图中未知数x、y、z的值.x=15y=5z=78116xy144169z6255762.如图，一个高3米，宽4米的大门，需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为()A.3米B.4米

C.5米D.6米C34CBA3.如图，正方形中的数据表示它的面积，则第三个正方形的面积为(

)A.69 B.18 C.19 D.20C2544ABC4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)若c=15，b=12，求a的长;(2)若a=11，b=60，求c的长;(3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的长.解：(1)∵a2+b2=c2，∴a2=c2-b2=152-122=81.∴a=9.(2)∵a2+b2=c2，∴c2=112+602=3721.

∴c=61.(3)∵a∶b=3∶4，∴设a=3x，b=4x(x>0).∵a2+b2=c2，∴(3x)2+(4x)2=102,整理，得25x2=100，∴x2=4.∴x=2.∴a=3x=6，b=4x=8.5.如图，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24cm.求△ABC的面积.BACM

6.如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD的面积与周长.(精确到0.1)解：S大正方形=5×5=25，所以S四边形ABCD=25-12.5=12.5.四个直角三角形的面积之和=1×2×+2×4×+3×3×+2×3×=12.5