2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十四第六章概率3.2离散型随机变量的方差含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE四十四离散型随机变量的方差1．已知随机变量ξ满意P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则Eξ和Dξ的值分别为()A．0.60.7 B．1.70.09C．0.30.7 D．1.70.21【解析】选D.Eξ＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，Dξ＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.2．随机变量ξ的分布列如表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝()ξ01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)A.0.36B．0.52C．0.49D．0.68【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p＝eq\f(1,2).由Eξ＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋eq\f(3,10)x＝1.1，得x＝2.所以Dξ＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.3．(2024·邢台高二检测)已知随机变量X，Y满意Y＝aX＋b，且a，b为正数，若DX＝2，DY＝8，则()A．b＝2B．a＝4C．a＝2D．b＝4【解析】选C.由方差的性质可得，DY＝D(aX＋b)＝a2DX，因为DX＝2，DY＝8，所以8＝2a2，又a为正数，所以a＝2.4．若随机变量X的分布列如下表，且EX＝2，则D(2X－3)的值为________．X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)【解析】由题意可得：eq\f(1,6)＋p＋eq\f(1,3)＝1，解得p＝eq\f(1,2)，因为EX＝2，所以0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，解得a＝3.DX＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1.D(2X－3)＝4DX＝4.答案：45．随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝eq\f(a,n2＋n)(n＝1，2，3)，其中a是常数，求D(aX).【解析】由题意得eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)))＝eq\f(3,4)a＝1，则a＝eq\f(4,3)，所以P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\f(1,9)，则EX＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,9)，DX＝×eq\f(2,3)＋×eq\f(2,9)＋×eq\f(1,9)＝eq\f(38,81)，所以D(aX)＝a2DX＝eq\f(608,729).一、单选题(每小题5分，共20分)1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0，1)，则EX和DX的值分别为()A．01 B．pp2C．p1－p D．p(1－p)p【解析】选D.由题意知随机变量X满意两点分布，所以EX＝p，DX＝(1－p)p.2．(2024·太原高二检测)若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2.又已知EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9)，则2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的值为()A．9B．6C．5D．4【解析】选B.由题设EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9).可得EX＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,3)×＋eq\f(1,3)×＝eq\f(2,3)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eq\f(1,3)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－eq\f(16,9)＝eq\f(2,9)，故2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝6.3．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pb－aba则Dξ最大值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．不是定值【解析】选B.由随机变量ξ的分布列得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5，0≤a≤0.5，所以Eξ＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.Dξ＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋eq\f(1,4)＝－4＋eq\f(1,2)，当a＝eq\f(1,4)时，Dξ取得最大值eq\f(1,2).4．已知a，b∈R，随机变量X，Y的分布列是X－101Peq\f(1,3)abY－101Pabeq\f(1,3)则随着a的增大，D(X＋Y)()A．始终增大 B．始终减小C．先增大后减小 D．先减小后增大【解析】选C.由题意可得，a＋b＝eq\f(2,3)，则b＝eq\f(2,3)－a，0<a<eq\f(2,3)，所以EX＝－1×eq\f(1,3)＋0×a＋1×b＝b－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)－a，EY＝－1×a＋0×b＋1×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)－a，则DX＝eq\f(1,3)＋a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝eq\f(1,3)＋＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝－a2－eq\f(1,3)a＋eq\f(8,9)，DY＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＋eq\f(1,3)＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＋eq\f(1,3)＝－a2＋eq\f(5,3)a＋eq\f(2,9)，因为X，Y是两个相互独立的随机变量，所以D(X＋Y)＝DX＋DY＝－2a2＋eq\f(4,3)a＋eq\f(10,9)，因为函数y＝－2a2＋eq\f(4,3)a＋eq\f(10,9)是开口向下，对称轴为a＝eq\f(1,3)的二次函数，且0<a<eq\f(2,3)，所以函数y＝－2a2＋eq\f(4,3)a＋eq\f(10,9)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))上单调递增，因此随着a的增大，D(X＋Y)先增大后减小．二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．(2024·泰安高二检测)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满意Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2【解析】选ACD.因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2故D正确．6．(2024·烟台高二检测)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则()A．抽取2次后停止取球的概率为eq\f(3,5)B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为eq\f(9,10)C．取球次数ξ的期望为2D．取球次数ξ的方差为eq\f(9,20)【解析】选BD.设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1，2，3，则P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10).对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的期望为Eξ＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2)，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为Dξ＝(1－eq\f(3,2))2×eq\f(3,5)＋(2－eq\f(3,2))2×eq\f(3,10)＋(3－eq\f(3,2))2×eq\f(1,10)＝eq\f(9,20)，D选项正确．三、填空题(每小题5分，共10分)7．若事务在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事务在一次试验中发生的概率为________．【解析】在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ听从两点分布，则Dξ＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.58．(2024·泰安高二检测)已知X的分布列如图所示，则X－101P0.20.3a(1)EX＝0.3，(2)DX＝0.583，(3)P(X＝1)＝0.4，其中正确的个数为________．【解析】由题意知：a＝1－0.2－0.3＝0.5，即P(X＝1)＝0.5；所以EX＝－1×0.2＋0×0.3＋1×0.5＝0.3，DX＝0.2×(－1－0.3)2＋0.3×(0－0.3)2＋0.5×(1－0.3)2＝0.338＋0.027＋0.245＝0.61.综上，故(1)正确，(2)(3)错误，正确的个数是1.答案：1四、解答题(每小题10分，共20分)9．某种类型的题目有A，B，C，D，E共5个选项，其中有3个正确选项，满分5分．赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”．在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题目，已知此题的正确答案为ACD，假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个．(1)若甲同学无法推断全部选项，他确定在这5个选项中任选3个作为答案，求甲同学获得0分的概率．(2)若乙同学只能推断选项AD是正确的，现在他有两种选择：一种是将AD作为答案，另一种是在B，C，E这3个选项中任选一个与AD组成一个含有3个选项的答案，则乙同学的最佳选择是哪一种，请说明理由．【解析】(1)甲同学在这5个选项中任选3个作为答案得分为0分，只有一种状况，那就是选了1个正确答案2个错误答案．所以，所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,10).(2)乙同学的最佳选择是选择AD.理由如下：设乙同学此题得分为X分，①若乙同学仅选择AD，则X＝4，X的均值EX＝4；②若乙同学选择3个选项，则他可能的答案为ABD，ACD，ADE，共3种．其中选择ABD，ADE，得分均为1分，其概率为eq\f(2,3)；选择ACD，得分为5分，其概率为eq\f(1,3).所以均值EX＝eq\f(2,3)×1＋eq\f(1,3)×5＝eq\f(7,3).由于4>eq\f(7,3)，所以乙同学的最佳选择是选择AD.10．(2024·朔州高二检测)为迎接2024年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望Eξ，方差Dξ.【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，两人都付40元的概率为P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，两人都付80元的概率为P3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,24).则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以随机变量ξ的分布列为ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)所以Eξ＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80，Dξ＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq