倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题5倍长中线模型

解题策略

倍长中线

倍长类中线

构造全等

C

E

如图①,是△ABC的中线，延长A。至点E使QE=,易证:△ACC丝SAS).

如图②，。是8c中点，延长F£＞至点E使Z)E=FZ),易证：△FD8丝ZXEDC(SAS)

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对

已知条件中的线段进行转移.

经典例题

\zuzu•吠四咸阳•一模)问题提出

(1)如图，4D是AABC的中线,则4B+AC2AD；(填〈”或“=”)

BDC

问题探究

(2)如图，在矩形4BCO中，C。=3,BC=4,点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当

△4EF的周长最小时，求CF的长；

HC

问题解决

(3)如图，在矩形4BCD中，4C=4,BC=2,点。为对角线4c的中点，点P为4B上任意一

点，点Q为4c上任意一点，连接P。、PQ、BQ,是否存在这样的点Q,使折线OPQB的长度

最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)>:(2)CF=1：(3)当点Q与4C的中点。重合时，折线OPQB的长度最小,

最小长度为4.

【分析】(1)如图(见解析)，先根据三角形全等的判定定理与性质得出A8=EC,再根据

三角形的三边关系定理即可得；

(2)如图(见解析)，先根据矩形的性质得出AB=3/B=4BCC=90。,48〃6,从而可

得AE的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出A4EF的周长最小时，点F

的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；

(3)如图(见解析)，先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线OPQB的长度最小时，

B',Q,P,。'四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出NB4C=30°,AB=2百，

A0=2,然后利用轴对称的性质、角的和差可得4夕=26,4。，=2,/.B'AO'=90°,由此

利用勾股定理可求出B'。'的长，即折线0PQ8的最小长度；设夕。交4c丁点。，根据等边三

角形的判定与性质可得力Q'=2,从而可得力Q'=A0,由此即可得折线。PQ8的长度最小时，

点Q的位置.

【详解】(I)如图，延长AD,使得=连接CE

•••4D是AABC的中线

•••BD=CD

AD=ED

在△ABD和△ECC中，\/_ADB=Z.EDC

BD=CD

ABDWAECD(SAS)

•••AB=EC

在A4CE中，由三角形的三边关系定理得：EC+AOAE,即EC+4C>AZ)+DE

•,*AB+AC>2.AD

故答案为：>：

(2)如图，作点E关于CD的对称点G,连接FG,则CE=CG

•••四边形ABCD是矩形，C0=3,8C=4

AB=CD=3,NB=ABCD=9V,AB“CD

DC垂直平分EG

EF=FG

・••点E是BC的中点

1

•••BE=CE=—BC=2

2

AE=7AB2+BE2=V13.CG=CE=2,BG=BC+CG=6

则4尸的周长为ZE+EF+AF=V13+EF+AF=V13+FG+AF

要使AAEF的周长最小，只需/G+4F

由两点之间线段最短可知，当点4F,G共线时，尸G+4F取得最小值4G

vAB“CD

••△FCG~AABC

(3)如图，作点8关于4c的对称点夕，作点。关于SB的对称点。'，连接4B',QB',AO'.PO',B'O',

贝=QB',OP=O'P

：.折线OPQB的长度为OP+PQ+QB=O'P+PQ+QB'

由两点之间线段最短可知，O'P+PQ+QB'2B'。'，当且仅当点B',Q,P,O,四点共线时，折

线OPQB取得最小长度为B'O'

:在矩形4BC。中,AC=4,BC=2,/.ABC=90°

：.Z-BAC=30°,AB=>JAC2-BC2=2V3

:点。为AC的中点

：.AO=-AC=2

2

点B与点B'关于4c对称，点。与点。'关于4B对称

：./LB'AC=^BAC=30°,AB'=AB=273

Z.O'AB=Z.BAC=30°,AO'=4。=2

：.^B'AO'=/-B'AC+^BAC+^O'AB=90°

B'O'=>JAB'2+AO'2=J(2V3)2+22=4

设B'O'交AC于点Q'

在RtAAB'O,中，AO'=2,B'O'=4

."48'。'=30°

乙4O'B'=90°-Z.AB'0'=60°,即乙4O'Q'=60°

又•.•/OSQ'=/.BAC+LO'AB=60°

...△AO'Q'是等边三角形

：.AQ'=40，=2

"."AO=2

•••AQ'-AO

...点Q'与4C的中点。重合

综上，当点Q与4c的中点。重合时，折线OPQB的长度最小，最小长度为4.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性

质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(3),利用轴对称的性质正确找出折线

OPQB的最小长度是解题关键.

【例2】.(2021•湖北武汉•八年级期中)已知△力BC中，

(1)如图1,点E为BC的中点，连力E并延长到点F,使FE=EA,则BF与AC的数量关系

是.

(2)如图2,若力B=4C,点E为边4C一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点。，

连接40,若4O/1C=/.ABD,求证：AE=EC.

(3)如图3,点。在△ABC内部，且满足AD=BC,乙BAD=4DCB,点M在DC的延长线

上，连4M交BD的延长线于点N,若点N为4M的中点，求证：DM=AB.

A

A

【答案】(DBF=AC；(2)见解析；(3)见解析

【分析】(1)通过证明ABEFmACE4,即可求解；

(2)过点A引4F||CD交BE于点、F,通过△ABFSA得至必F=CD,再通过△AFE=△

CDE即可求解;

(3)过点M作MT||4B交BN的延长线于点7,MG||AD,在M7上取一点K,使得MK=CD,

连接GK,利用全等三角形的性质证明AB=M7、DM=MT,即可解决.

【详解】证明：(1)BF=AC

由题意可得：BE=EC

在ABEF和△CE4中

-BE=EC

乙BEF=/.CEA

.EF=AE

：.△BEF=△CEA(SAS)

.".BF=AC

(2)过点A引/F||CD交BE于点儿如下图：

由题意可得：CD1BC,且=

则4F1BC

又=AC

尸平分NBAC,

：./.BAF=/.EAF=/.ACD

.•.在△•"口△CW中

/.ABF=Z.DAC

AB=AC

.^BAF=/.ACD

：.^ABF^LCAD{ASA)

：.AF=CD

在和ACDE中

Z.FAE=乙DCE

^.AEF=Z.CED

.AF=CD

：.^AFE=^CDE(AAS)

：.AE=EC

(3)证明：过点M作MT||/B交BN的延长线于点T,MG||ADt在MT上取一点K,使得MK=

CD,连接GK,如下图：

AB||MT

，乙ABN=Z.T

•：々ANB=乙MNT,AN=MN

MANB三△MNT(44S)

:・BN=NT,AB=MT

•；MG||AD

:•乙ADN=乙MGN

\9/LAND=乙MNG,AN=NM

：,〉AND三△MNGQ44S)

：.AD=MG,DN=NG

：.BD=GT

•；^BAN=UMT/DAN=乙GMN

工乙BAD=乙GMT

,・"84D=乙BCD

:•乙BCD=乙GMK

*：AD=BC,AD=GM

：.BC=GM

又；MK=CD

：.LBCDGMK(SAS)

：.GK=BD/BDC=乙MKG

：.GK=GT,Z.MDT=Z.GKT

：.Z.GKT=4r

：.DM=MT

"：AB=MT

：.DM=AB

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性

质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

[例3].（2020•安徽合肥•二模）如图，正方形ABCD中,E为8c边上任意点,AF平分NEW,

交CD于点F.

⑴如图1,若点F恰好为C£＞中点，求证：AE=BE+2CE；

（2）在⑴的条件下，求沟勺值；

oC

（3）如图2,延长AF交8c的延长线于点G,延长AE交DC的延长线于点H,连接HG,当

CG=D/时，求证：HG.LAG.

【答案】⑴见解析；（2*（3）见解析

【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G,利用“AAS”证△ADF04GCF得AD=CG,

据此知CG=BC=BE+CE,根据EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得证；

（2）设CE=a,BE=b,则AE=2a+b,AB=a+b,在RsABE中，由AB?+BE2=AE2

可得b=3a,据此可得答案；

（3）连接DG,证^ADF^ADCG得NCDG=NDAF,再证△AFH^ADFG得竺=—,

DFFG

结合NAFD=NHFG,如△ADFs/\HGF,从而得出NADF=NFGH,根据NADF=90。即

可得证.

【详解】解：（1）如图1，延长8c交A尸的延长线于点G,

图1

■：AD//CG,

ZDAF^ZG,

又/平分/D4E,

：.ZDAF=ZEAFf

：.ZG=ZEAF,

：.EA=EG,

・・•点尸为。的中点,

・•・CF=DF,

又*：/DFA=/CFG,ZFAD=ZGf

：.△A。金△GCF(AAS),

:.AD=CG9

：.CG=BC=BE+CE,

：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；

⑵设BE=b,则4E=2a+b,AB=a+b,

在R3ABE中，A¥+3氏A£,BP(«+/?)W=(2«+fe)2,

解得b-3afb=-a(舍)，

.CE_a_1

**BC-a+b-4；

(3)如图2,连接OG,

*：CG=DF,DC=DA,/ADF=/DCG,

：.AADF注ADCG(SAS),

・•・ZCDG=ZDAFf

：・/HAF=/FDG,

又•:NAFH=/DFG,

：.XAFHSADFG,

.AF_FH

・.DF一FG，

又；NAFD=NHFG,

：.△ADFS/\HGF,

・•・/ADF=/FGH,

'：ZADF=90°f

NFGH=90。,

：.AG±GH.

【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三

角形的判定与性质等知识点.

【例4】.(2020•江西宜春•一模)将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，。4=OB.OC=

OD./.AOB=/.COD=90°,连接4C,8D.

(1)如图1,若4。、。三点在同一条直线上，则AC与BO的关系是；

(2)如图2,若4、。、。三点不在同一条直线上,AC与相交于点E,连接OE,猜想

AE.BE、OE之间的数量关系，并给予证明；

(3)如图3,在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF,直接写出4D与OF之间的关系.

【答案】(1)/^=80且4。_18。；(2)4£=8后+夜0已证明见解析；(3)AD=2OFB.

AD1OF.

【分析】(1)根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C进行角的等

量代换进行分析即可；

(2)根据题意在4E匕截取4M=BE,连接0M,并全等三角形的判定证明ZL40C=Z1B0D和

2

AAMOmABEO,进而利用勾股定理得出。M?+0E=ME?进行分析求解即可；

(3)过点B作BM〃OC,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,证明ABFlVImACFO,

AAODWAOBM,进而即可得到结论.

【详解】解：(l)V04=OB.OC=ODjAOB=/.COD=90°,

A△AOC=^BOD(SAS),AC=BD,

延长AC交BD于点C，，如下图:

Ml

△AOC=△BOD,乙4co=Z.BCC,

/.ACO+Z.CA0=乙BCG+乙CBC'=90°,Z.BCC=90°,

即AC1BD,综上4c=BDQ.AC1BD,

故答案为：AC=BDS.AC1BD；

(2)AE=BE+42OE

证明:在力E上截取4M=BE,连接OM

B

"Z.AOB=4COD=90°

•••4AOB+Z.BOC=4COD+乙BOC

••Z-AOC=乙BOD

在440。和4B0D中

AO=BO

[Z.AOC=乙BOD

OC=OD

AAOC公ABODQSAS)

•••Z-CAO=Z-DBO

在zMM。和dBE。中

AM=BE

[^LMAO=Z-EBO

AO=BO

AAMO=ABEO(SAS)

・•・OM=OE,/-AOM=乙BOE

•・・乙AOM+4MOB=90°

••・乙BOE+乙BOM=90

OM2+OE2=ME2

即2OE2=ME2

V20E=ME

vME+MA=AE

・•・y/20E+BE=AE;

(3)4。=20F且/。1OF,理由如下：

过点B作BM〃OC,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,

VBM/7OC,

/.ZM=ZFOC,

YNBFM=NCFO,BF=CF,

.'.△BFM=ACFO(AAS),

AOF=MF,BM=CO,

VDO=CO,

・・・DO=BM,

VBM/7OC,

.\ZOBM+ZBOC=180°,

ZBOC+ZAOD=360°-90°-90°=180°,

.'.ZOBM=ZAOD,

又YAO二BO,

.*.AAOD=AOBM(SAS),

.'.AD=OM=2OF,ZBOM=ZOAD,

'/ZBOM+ZAON=180°-90°=90°,

.'.ZOAD+ZAON=90°,即OF_LAD.

：.AD=2。尸且AD1OF.

【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角

形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.

培优训练

X______________________________Z

一、解答题

1.（2022・全国•八年级）如图1,在AABC中，若4B=10,BC=8,求AC边上的中线8。

的取值范围.

（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED咨AABD.

①请证明^CED^/XABD-,

②中线BD的取值范围是.

（2）问题拓展：如图2,在△ABC中，点。是AC的中点，分别以AB,BC为直角边向△ABC

外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形8cM其中，AB=BM,BC=BN,NABM=

NNBC=/90°,连接MN.请写出80与MN的数量关系，并说明理由.

【答案】（I）①见解析；②1<8。<9；（3）MN=28。，理由见解析

【分析】（1）①只需要利用SAS证明ACED丝△ABO即可；

②根据△CEZ）丝△AB。可得AB=CE,由三角形三边的关系可得CE-BC<BE<CE+BC即

AB-BC<BE<AB+BC则2<BE<18,再由BE=2BD,可得1<BD<9；

（2）,延长8。到E使得DE=8D,同（1）原理可证△得至U/D4E=NOC8,

AE=CB,然后证明NBAE=NMBN,则可证△BAE丝ZiMBN得到MN=8E,再由

BE=BD+ED=2BD,可得MN=2BD.

【详解】解：（1）①•••8。是三角形ABC的中线，

：.AD=CD,

XVZABD=ZCDE,BD=ED,

:.2CED迫4ABD（SAS）；

②瓦模△A8。，

：.AB^CE,

,：CE-BC<BE<CE+BC,

：.AB-BC<BE<AB+BCUP2<BE<18,

又,：BE=BD+DE=2BD,

AlVBDV9；

故答案为：1<BD<9；

如图所示，延长8及至IJE使得。E=B。，

同(1)原理可证△AOEgaCDB(SAS),

；.NDAE=NDCB,AE=CBf

♦；BC=BN,

:,AE;BN,

*.*/ABM=NNBC=900,

：.ZMBN+ZABC=3600-ZABM-ZNBC=180°,

・・•ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

・・・ZABC+ZBAC+ZDAE=180°,

AZBAE+ZABC=180°,

，NBAE=NMBN,

又〈AB=BM,

:ABAE学4MBN(SAS),

：・MN=BE,

'：BE=BD+ED=2BD,

：.MN=2BD.

【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，

解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等.

2.（2022・全国•八年级课时练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB=7,AC=5,点。为

8c的中点，求A。的取值范围.

小明的解法如下：延长A。到点E,使QE=A。，连接CE.

'BD=DC

在4ABD与4ECD中卜力。8=4EDC

,AD=DE

.’.△ABDSECD（SAS）

.'.AB=.

XVAAEC+EC-AC<AE<EC+AC,而AB=EC=7,AC=5,

<AE<.

又,.•AE=2AD.

<AD<.

【探索应用】如图②，ABnCD,AB=25,CD=8,点E为BC的中点，NDFE=NBAE,求

OF的长为.（直接写答案）

【应用拓展】如图③，ZBAC=60°,ZCDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为

BE的中点，求证：AP±DP.

【答案】观察发现：EC,2,12,L6；探索应用：17；应用拓展：见解析

【分析】观察发现：由“SAS'可证AABD丝△ECO,可得AB=EC,由三角形的三边关系可求

解；

探索应用：由“SAS'可证A/WE丝△，（“，可得A3=C//=25,即可求解；

应用拓展：由“SAS'可证△8粗丝凡可得A8=FE,NPBA=NPEF,由“SAS'可证

^ACD^AFED,可得A£>=F£>,由等腰三角形的性质可得结论.

【详解】观察发现

解：如图①，延长4）到点E,使OE=AQ,连接CE,

在448。与4ECZ）中，

BD=DC

LADB=乙EDC>

.AD=DE

:•△ABgAECD（SAS）,

:・AB=EC,

在AAEC中，EC-AC<AE<EC+ACfffi]AB=EC=lfAC=5f

：.2<AE<12,

又・.・AE=2A。，

A1<AD<6,

故答案为：EC,2,12,1,6；

探索应用

解：如图2,延长AE,CD交于H,

A

：.BE=CE,

u

：CD//ABf

:・NABE=/ECH,/H=/BAE,

：.AABE^AHCE(A4S),

；・AB=CH=25,

：.DH=CH-CD=\Jf

,?NDFE=NBAE,

：.ZH=ZDFEf

：.DF=DH=\7,

故答案为：17；

应用拓展

证明：如图2,延长A尸到点R使P/H4P,连接。凡EF,AD,

在^B必与△EPF中,

PF=AP

乙EPF=/LBPA，

PE=PB

：./\BPA^/\EPF(SAS),

:・AB=FE,NPBA=NPEF,

VAC=BC,

：・AC=FE,

在四边形BADE中,ZBAD+ZADE+ZDEB+ZEBA=360°,

VZBAC=60°,ZCDE=120°,

・•・NC4D+NAQC+N£>E8+NEBA=180。.

NCAQ+NAQC+NAC0=18O。，

:.ZACD=ZDEB+ZEBA,

・・・ZACD=ZFED,

在△4。。与4FED中,

AC=FE

乙ACD=乙FED，

.CD=DE

：.AACD^AFED(SAS),

：.AD=FDf

•；AP=FP,

APIDP.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出

恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键.

3.(2022・江苏•八年级课时练习)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你

来加入.

【探究与发现】

如图1,延长ZkABC的边3C到。，使OC=BC,过。作。E〃A5交AC延长线于点E,求

证：△ABC空△££)€■.

【理解与应用】

如图2,已知在AABC中，点E在边BC上且/CAE=/B,点E是C。的中点，若AO平分

NBAE.

(1)求证：AC=BD；

(2)若BO=3,AD—5,AE—x,求尤的取值范围.

【答案】［探究与发现］见解析；［理解与应用］(1)见解析：(2)l<x<4

【分析】［探究与发现］由4SA证明“8C盘△《火1即可；

［理解与应用］(1)延长AE至I」F,使EF=EA,连接DF,证△£)£：/丝△CE4(SAS),得AC=FD,

再证尸。(AAS),得BD=FD,即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得A8=AF=2x,再由三角形的三边关系得AQ-BOVAB<AC+BQ,

即5-3V2xV5+3,即可求解.

【详解】解：［探究与发现］

证明：'：DE//AB,

:.NB=ND,

又,：BC=DC,ZACB=ZECD,

：./\ABC^/^EDC(4SA)；

［理解与应用］

(1)证明：如图2中，延长AE到F,使EF=E4,连接OF,

:点E是C£>的中点,

：.ED=EC,

在△/）£：尸与ZkCEA中,

EF=EA

乙DEF=Z.CEA，

.ED=EC

：./\DEF^/\CEA（SAS）,

：.AC=FDf

：.ZAFD=ZCAEf

:/CAE二NB,

：.ZAFD=ZB,

•・・AD平分N8AE,

:・/BAD=/FAD,

在ZUBD与△4FO中，

Z.B=Z-AFD

Z.BAD=乙FAD,

.AD=AD

：.AABD^AAFD（A45）,

:.BD=FD,

:・AC=BD；

（2）解：由（1）得：AF=2AE=2xfAABD^AAFD,

.'.AB=AF=2x,

・；BD=3,AD=5t

在“BD中，由三角形的三边关系得：AD-BD<AB<AD+BDf

即5-3<2x<5+3,

解得：1VXV4,

即x的取值范围是lVx<4.

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分

线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

4.（2022•全国•八年级课时练习）已知：多项式N+4x+5可以写成（x-1）?+〃（X-1）+匕的

形式.

⑵△A8C的两边BC,AC的长分别是a,b,求第三边AB上的中线C£>的取值范围.

【答案】（l）a=6,8=10

(2)2<C£X8

【分析】(1)把(％—1尸+a(%一1)+b展开，然后根据多项式无2+4X+5可以写成(x-1)2+a

(x-l)+匕的形式，可得即可求解；

(1—Q+b=5

(2)延长CD至点〃，使CD=DHt连接AH,可得△CDB丝4HAD,从而得到BC=AH=a=6,

再根据三角形的三边关系，即可求解.

(1)

解:V(x-l)2+a(x-l)+&

=%2-2x+l+ax—a+b

=x2+(a—2)%+1—a+b,

根据题意得:x2+4x+5=(x-1)2+a(x-1)+b

••・fl解得：=*;

(1-a+b=55=10

(2)

解：如图，延长CO至点从使CD=DH,连接AH,

•；CO是A8边上的中线，

：.BD=AD,

在4HDA中，

CD=DH,ZCDB=ZADH,BD=DA,

:.XCDB沿XliDA(SAS),

BC=AH=a=6,

在△AC”中，AC-AH<CH<AC+AH,

：.10-6<2CD<10+6,

：.2<CD<S.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三

角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是

解题的关键.

5.(2022•山东淄博•八年级期末)如图，。为四边形ABCZ)内一点，E为A8的中点，OA=

OD,OB=OC,ZAOB+ZCOD=180°.

(1)若NB0E=N8A。，AB=26求的长；

(2)用等式表示线段0E和C£＞之间的关系，并证明.

【答案】(I)2；(2)OE=\CD,理由见解析

【分析】(1)由已知条件/80E=NBA。，且公共角NOBE=/.ABO,证明△OBEs丛ABO,

进而列出比例式，代入数值即可求得08；

(2)延长0£到点尸，使得EF=0E,连接证明△A。尸丝△OOC,进而可得OF=CD,

即OE=(CD

【详解】(1)解：:NBOE=NBAO,乙OBE=UB0,

.♦.△OBEs△AB。，

・BEOB

••=，

OBAB

,:AB=2ME为A8的中点，

BE=近

.V2OB

••----――9

OB2^/2

：.0B=2(舍负).

(2)线段OE和CO的数量关系是：OE=TC。，理由如下，

证明：如图，延长0E到点F,使得EF=OE,连接AF,FB.

F

9：AE=BE

・•・四边形AF8。是平行四边形,

：.AFnOB,AF=OB,

・・・Z_F40+Z7108=180。，

*.•NAO8+NCOO=180。，

：./LFAO=LCOD,

OB=OC,

：.AF=OC,

在△40尸和4DOC中，

'OA=OD

4FAO=乙COD,

AF=OC

△AO尸丝△one,

：.OF=CD

：.0E=CD.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性

质与判定，第(2)小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.

6.(2022•江苏•八年级课时练习)如图，在锐角AABC中，41=60。，点D,E分别是边48,

4c上一动点，连接8E交直线CD于点凡

(1)如图1,^AB>AC,且BD=CE,乙BCD=4CBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若4B=4C,且BC=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线

段CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN.在点。，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN

之间存在的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】(I)NEFC=60°

(2)BF+CF=2CN,证明见解析

【分析】(1)在射线CD上取一点K,使得CK=BE,证明AC8E三ABCK,求出ZTEB=

乙BKD=乙BDK=AADF,然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案；

(2)证明△ABE三△BCD,求出N8FC=120°,倍长CN至Q,连接FQ,PQ,证明ACNM三

△QNF,求出FQ=CM=BC,在CF上截取FP=FB,连接8P,易得△PBF为正三角形，

然后求出NPFQ=4P8C,iiEAPFQ=^PBC,可得PQ=PC,NQPF=NCPB=60°,则可

得4PCQ为正三角形，然后由BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN得出结论.

A

(1)解:如图1,在射线CD上取一点K,使得CK=■:乙BCD=乙CBE,

BC=BC,.MCBEBCK(SAS),：.BK=CE=BD,：.乙CEB=4BKD=4BDK=4IDF,

；.4ADF+Z.AEF=Z.AEF+乙CEB=180。，."4+Z.DFE=180。，,.Z=60°,：.Z.DFE=

120°,：.Z.CFE=60°；

(2)BF+CF=2CN,证明：,：AB=AC,=60。，.'.△ABC是正三角形，：.AB=BC

=AC,/A=NO8C=60°,又〈BD=AE,；.4ABE三4BCD(SAS'),，乙BCF=LABE,

：.^LFBC+Z.BCF=60°,：./.BFC=120°,倍长CN至Q,连接fQ,PQ,

Q

图2

,:CN=QN,NQNF=NCNM,NF=NM,：.ACNM34QNF(SAS),:.FQ=CM,NQFN

=ZCMN,由旋转的性质得AC=CM,，FQ=CM=BC,在CF上截取FP=FB,连接BP,

VzBFC=120°,：.^BFP=60°,；.△PB尸为正三角形，/.ZBPF=60°,4PBC+乙PCB=

^PCB+Z.FCM=120°,:.乙FCM=APBC,,:NQFN=NCMN,:.FQ//CM,:.乙PFQ=

乙FCM,：.APFQ=4PBC,又,：PB=PF,FQ=BCMPFQPBC(SAS),：.PQ=PC,

NQPF=NCPB=60。，，△PCQ为正三角形，：.BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN,

即BF+CF=2CN.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和

性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，利用全等三角形转换线段和角的关系从

而解决问题，属于压轴题.

7.(2022•全国•八年级专题练习)如图1,在△4BC中，CM是48边的中线，乙BCN=4BCM交

48延长线于点N,2CM=CN.

A

A

(1)求证4c=BN；

(2)如图2,NP平分乙ANC交CM于点、P,交8C于点。，若乙AMC=120°,CP=kAC,求是的

CM

值.

【答案】(1)见解析；(2)金

k+1

【分析】(1)延长CM至点。，使CM=DM,可证Z4CMW4BDM,由全等三角形的性质从

而得出"=BD,根据题目已知，可证ZDCB=ANCB,由全等三角形的性质从而得出BN=

BD,等量代换即可得出答案；

(2)如图所示，作CQ=CP,可证ZCP。三ACQ0,由全等三角形的性质相等角从而得出41=

42=43,进而得出44=45,故可证/NOBS4N0Q等量转化即可求出芸的值.

CM

【详解】(1)如图1所示，延长CM至点。，使CM=DM,

在△4CM与ABOM中，

CM=DM

乙AMC=乙BMD,

.AM=BM

・•・AACM=ABDM,

:.AC=BD,

・・・2CM=CN,

・•.CD=CN,

在ADCB与ANCB中,

CD=CN

Z-DCB=(NCB,

CB=CB

:.ADCBwANCB,

・•・BN=BD,

AC=BN；

D

(2)如图所示,v2LAMC=120°,

•••乙CMN=60°,

•:NP平分乙MNC,4BCN=4BCM,

乙PNC+乙BCN=-Z.AMC=60°,

2

・•・乙CON=120°,4cop=60°,

・•・乙CMN+乙BOP=180°,作CQ=CP,

在△CP。与△CQ。中，

CQ=CP

Z.QCO=乙PCO，

CO=CO

:"CPO三ACQO,

:.z.1=z2=z3»

二z4=z5,

在ANOB与ANOQ中,

Z4=Z.5

乙BNO=Z.QNO,

NO=NO

：,ANOB三ANOQ,

ABN=NQ,

/.CN=CP+NB,

-.2CM=CPAC,

设4C=Q,

•••CP=ka,CM=

2

CP2k

••---=-----.

CMk+1

M

P

N

【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

8.(2021•全国•八年级单元测试)⑴如图1,△ABC中，AO为中线，求证：AB+AO2AD；

图2

(2)如图2,4ABe中，。为BC的中点，DELDF交AB、AC于E、F.求证：BE+CF>

EF.

【答案】(【)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)延长4。至点E,使EC=4D.由为中线可知BD=CD,即易证△4BCWA

ECD(SAS),得出4B=EC.利用三角形三边关系可知AC+EC>AE,即可证明4C+AB>

2AD.

(2)延长ED至点G,使DG=ED,连接CG,EG.由40为中线可知BD=CD.即易证△BDE£

△CDG(S4S),得出BE=CG.由题意可得NEDF=NGDF=90。，即易证

GZ)F(S4S),得出EF=GF.利用三角形三边关系可知CG+CF>FG,即可证明BE+CF>EF.

【详解】(I)如图，延长4。至点E,使

为中线，

：.BD=CD.

BD=CD

.•.在△48。和△£(7£)中,乙ADB=乙EDC,

AD=ED

：.^ABD三△ECD(S4S),

：.AB=EC.

:在△4CE中，AC+EOAE,

・MC+AB>2AD.

(2)如图，延长EO至点G,使DG=ED,连接CG,EG.

•••AD为中线，

：.BD=CD.

BD=CD

・••在△BDE和△COG中，\^BDE=Z.CDG,

ED=GD

:.ABDE会△CDG(SAS),

:・BE=CG.

VDF1DF,

：2EDF=Z.GDF=90°,

(ED=GD

・•・在△EDF和AGOF中，zFDF=zGDF=90°,

(DF=DF

:。EDF*GDF(SAS),

：.EF=GF.

・・•在△CFG中，CG+CF>FG,

：.BE-VCF>EF.

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系.作出常

用的辅助线是解答本题的关键.

9.（2022・江苏•八年级课时练习）（1）如图1,已知△力BC中,AD是中线，求证：4B+4C>2AD；

（2）如图2,在AABC中，D,E是BC的三等分点，求证：AB+AOAD+AE；

（3）如图3,在AABC中，D,E在边BC上，且BD=CE.求证：AB+AOAD+AE.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD,然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；

（2）取DE中点”，连接并延长至。点，使得AH=QH,连接QE和。C,通过“倍长中

线，，思想全等证明，进而得到AB=CQ,AD=EQ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证

明即可得出结论；

（3）同（2）处理方式一样，取OE中点M,连接AM并延长至N点，使得AM=NM,连接

NE,CE,结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得

出结论.

【详解】证：（I）如图所示，延长月。至尸点，使得4>2力，连接CP,

•.•AD是AABC的中线，

二。为BC的中点，BD=CD,

在与△%£>中，

•BD=CD

^ADB=乙PDC

、AD=PD

:.△ABDdPCD（SAS）,

：.AB=CP,

在"FC中，由三边关系可得AC+POAP,

：.AB+AC>24。：

（2）如图所示，取。E中点儿连接A"并延长至。点，使得连接QE和。C,

为QE中点，D、E为8C三等分点，

:・DH=EH,BD=DE=CEf

：.DH=CH9

在AABH和中，

BH=CH

乙BHA=乙CHQ

,AH=QH

：.AABHQ/\QCH〈SAS）,

同理可得：MADgXQEH,

：・AB=CQ,AD=EQf

此时，延长A区交CQ于K点,

u

：AC+CQ=AC+CK+QKfAC+CK>AKf

：.AC+CQ>AK+QKr

又•：AK+QK=AE+EK+QK,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QE,

：.AC+CQ>AK+QK>AE-^QEt

■;AB=CQ,AD二EQ,

：.AB+AC>AD-^-AE；

A

(3)如图所示，取OE中点M,连接4M并延长至N点，使得4M=NM,连接NE,CE,

•・・M为。E中点，

；・DM=EM,

"；BD=CE,

：.BM=CM,

在和△NCM中，

(BM=CM

乙BMA=乙CMN

(4M=NM

AABM^ANCM(SAS),

同理可证△'£：〃，

:・AB=NC,AD=NE,

此时，延长交CW于T点，

・；AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>ATf

：.AC+CN>AT+NTt

又•：AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,

:・AT+NT>AE+NE,

:•AC+CN>AT+NT>AE+NE,

":AB=NC,AD=NE,

：.AB+AC>AD+AE.

【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及

熟练运用三角形的三边关系是解题关键.

10.(2022•全国•八年级课时练习)在中，AM±BM,垂足为M,点。是

线段AM上一动点.

(1)如图1,点C是8M延长线上一点，MD=MC,连接4C,若80=17,求AC的长；

(2)如图2,在(1)的条件下，点E是AABM外一点，EC=AC,连接EC并延长交BC

于点凡且点尸是线段BC的中点，求证：NBDF=NCEF.

(3)如图3,当E在8。的延长上，KAEVBE,AE=EG时，请你直接写出Nl、N2、Z3

之间的数量关系.(不用证明)

【答案】⑴17；(2)见解析；(3)/3=2N1+N2

【分析】(1)根据S4S证明AAMC四由AC=B。求出AC的长；

(2)延长E尸到点G,使FG=FE,连接8G,证明△8尸可得EC=GB,NG

=/CEF,再由3£>=BG可得/G=N8DF,从而证得结论；

(3)延长AE、8M交于点C,作4c于点”，作MEL8G于点凡证明

=45。及AAEM丝△GEM,再证明根据三角形的外角等于与它不相邻的两个

内角的和即可推导出/3=2/l+N2.

【详解】解：（1）如图1,

,.,AM=8M,MD=MC,

：./XAMC^ABMD(SAS),

：.AC=BD=]7.

(2)证明：如图2,延长EF到点G,使FG=FE,连接8G,

0图2

•；F为BC中点,

:・BF=CF,

■:/BFG=/CFE,

:.△BFG9ACFE(SAS),

：.BG=ECfNG=NCEF,

又・・・8Z)=AC,EC=AC,

:・BD=EC,

:.BG=BD,

：.ZG=ZBDFt

:・/BDF=/CEF.

(3)如图3,延长AE、8M交于点C,作MH_L4C于点”，作M8G于点”,

•；AM_LBM,AELBE,

:.NBEC=ZAMC=90°,

JZMBF=900-ZC=ZMAHt

,/ZBFM=NAHM=90。,BM=AM,

•••△BFM丝AAHM(A4S),

；.FM=HM,

VZEFM=ZEHM=90°fEM=EM,

：.RtAEMFgRSEMH(HL),

♦；NFEH=90。,

：.NFEM=NHEM=+/FEH=45。,

2

,/ZAEB=ZGEC=90°f

：.ZAEM=ZG£M=90°+45°=135°,

9：AE=EG,EM=EM,

:.XAEMOGEM(SAS),

・・・/AME=NGME,

'：ZBEM=ZBAM=45%

：.ZAME=